衍射光栅
目录
1 多缝夫琅和费衍射 2
1.1 黑白光栅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 缝间干涉因子与单缝衍射因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 缝间干涉因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 单缝衍射因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 正弦光栅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 非垂直入射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 光栅光谱仪 6
3 闪耀光栅 8
1
1 多缝夫琅和费衍射
光栅: 具有周期性空间结构或光学性能的衍射屏统称为光栅
1.1 黑白光栅
经过光栅的所有光波, 进行相干叠加. 先分析单个单元的衍射, 再分析单元之间的干涉
考察 𝑁 缝衍射的振幅和强度分布
将每一个单元衍射的复振幅用一个矢量表示为 a
(𝑘)
𝜃
, 相邻的单元衍射具有相位差 Δ𝜑. 由缝间光程差可以
导出相位差
Δ𝐿 = 𝑑 sin 𝜃 ⇒ 𝛿𝜑 = 𝑘Δ𝐾 =
2𝜋𝑑
𝜆
sin 𝜃
同样使用矢量叠加法 (图中的 𝛿 即 𝛿𝜑)
于是
2𝛽 = 𝛿 ⇒ 𝛽 =
𝜋𝑑
𝜆
sin 𝜃
由圆周上的弦长得到
𝐴
𝜃
= 𝑂𝐵
𝑁
= 𝑎
𝜃
sin 𝑁 𝛽
sin 𝛽
于是平方即可得到光强
𝐼 (𝜃) = 𝐴
2
𝜃
= 𝑎
2
0
(
sin 𝛼
𝛼
)
2
(
sin 𝑁 𝛽
sin 𝛽
)
2
, 𝛼 =
𝜋𝑎
𝜆
sin 𝜃, 𝛽 =
𝜋𝑑
𝜆
sin 𝜃
其中第一项为单缝衍射因子, 第二项为缝间干涉因子
1.2 缝间干涉因子与单缝衍射因子
1.2.1 缝间干涉因子
缝间衍射因子为
(
sin 𝑁 𝛽
sin 𝛽
)
2
, 𝛽 =
𝜋𝑑
𝜆
sin 𝜃
当 sin 𝑁 𝛽 与 sin 𝛽 同时为零时取极大值 𝑁, 也就是说有极大值点 (
𝑗 级亮纹
)
𝛽 = 𝑗 𝜋 ⇒ 𝑑 sin 𝜃 = 𝑗𝜆
极小值就是使得 sin 𝑁 𝛽 为零但是 sin 𝛽 不为零. 考察极大值点 𝛽 = 𝑗 𝜋 附近, 显然有极小值点
𝛽 = 𝑗 𝜋 ±
1
𝑁
𝜆
𝑑
也就是
𝑑 sin(𝜃 ± Δ𝜃) = 𝑗𝜆 ±
1
𝑁
𝜆
与极大值点的方程 𝑑 sin 𝜃 = 𝑗𝜆 相减, 由于 Δ𝜃 很小, 利用微分就得到
𝑑 cos 𝜃Δ𝜃 =
1
𝑁
𝜆
定义光栅的有效宽度 𝐿 = 𝑁𝑑 , 那么 Δ𝜃 就有
Δ𝜃 =
𝜆
𝑁𝑑 cos 𝜃
=
𝜆
𝐿 cos 𝜃
称其为主极大的半角宽, 是中心到邻近暗线之间的角距离.
有效宽度指的是光栅上入射光斑的宽度
1.2.2 单缝衍射因子
单缝衍射因子的作用如图, 它起一个调制极大值强度的作用. 需要注意的是, 当干涉极大位置和衍射极小位
置重合时会出现缺级现象
有干涉极大:sin 𝜃
1
= 𝑗
𝜆
𝑑
, 衍射极小:sin 𝜃
2
= 𝑗
′
𝜆
𝑎
, 由 𝜃
1
= 𝜃
2
就得到了缺级发生的位置
𝑗
𝑗
′
=
𝑑
𝑎
1.3 正弦光栅
正弦光栅的透过率函数为 1 + cos
2 𝜋 𝑥
𝑑
, 那么就可以积分得到单缝衍射因子
˜
𝑢(𝜃) ∝
∫
𝑑/2
−𝑑/2
(
1 + cos
2𝜋𝑥
𝑑
)
𝑒
−𝑖𝑘 𝑥 sin 𝜃
𝑑𝑥
=
∫
𝑑/2
−𝑑/2
(
1 +
1
2
𝑒
𝑖2 𝜋 𝑥/𝑑
+
1
2
𝑒
−𝑖2 𝜋 𝑥/𝑑
)
𝑒
−𝑖𝑘 𝑧 sin 𝜃
𝑑𝑥
∝
sin 𝛽
𝛽
+
1
2
sin(𝛽 − 𝜋)
𝛽 − 𝜋
+
1
2
sin(𝛽 + 𝜋)
𝛽 + 𝜋
, 𝛽 =
𝜋𝑑
𝜆
sin 𝜃
𝐼 (𝜃) = 𝐼
0
[
sin 𝛽
𝛽
+
1
2
sin(𝛽 − 𝜋)
𝛽 − 𝜋
+
1
2
sin(𝛽 + 𝜋)
𝛽 + 𝜋
]
2
(
sin 𝑁 𝛽
sin 𝛽
)
2
因而正弦光栅的单缝衍射因子有三个主极大, 分别是 𝛽 = 0, −𝜋, +𝜋, 正好与缝间干涉因子的 0, −1, +1 级重
合. 因此衍射只有三个峰, 并且0 级的振幅是其他两级的两倍
1.4 非垂直入射
当入射光非垂直入射时, 即增加了一个附加相位. 先考察透射光栅
那么相邻单元间的光程差为
Δ𝐿 = 𝑑(sin 𝜃 ± sin 𝜃
0
)
那么此时的光栅方程就是
𝑑(sin 𝜃 ± sin 𝜃
0
) = 𝑘𝜆
± 取正负与入射光的位置有关. 当入射光使得光程差进一步增大时取 + , 反之取 - , 也就是
1. 入射光与衍射光在光栅法线同侧取 +
2. 入射光与衍射光在光栅法线异侧取 -
对于反射光也是同样的
无论透射还是反射, 正负号的选取都是
1. 入射光与衍射光在光栅法线同侧取 +
2. 入射光与衍射光在光栅法线异侧取 -
2 光栅光谱仪
如果入射光栅的是一束非单色光, 假定波长集中在 𝜆 附近. 每一个不同的波长极大的位置不一样, 同一级
数的衍射会出现些许的偏差, 那么不同波长的光在同一级衍射中就被分开了, 称为光栅的色散
为了描述色散的大小, 需要定义色散本领. 假定入射光垂直光栅平面, 有光栅公式
𝑑 sin 𝜃 = 𝑗𝜆
两端微分得到
𝑑 cos 𝜃𝛿𝜃 = 𝑗 𝛿𝜆
定义角色散本领 (角色散率), 即用角度描述在第 𝑗 级附近将波长散开的能力
𝐷
𝜃
≡
𝛿𝜃
𝛿𝜆
=
𝑗
𝑑 cos 𝜃
𝑗
由于零级光程差为零, 不色散
定义线色散本领 (线色散率), 即用长度描述在第 𝑗 级附近将波长散开的能力
𝐷
𝑙
≡
𝛿𝑙
𝛿𝜆
≈
𝑓 𝛿𝜃
𝛿𝜆
=
𝑗 𝑓
𝑑 cos 𝜃
𝑗
若入射光具有” 双线结构, 即由两个相近波长的光构成. 当两个波长足够接近时, 衍射后形成的两个光斑
就不可分辨了. 由瑞利判据可以界定能否分辨, 即两个光斑的角间隔大于半角宽度时可以分辨
半角宽度为
Δ𝜃 =
𝜆
𝑁𝑑 cos 𝜃
𝑁 为缝数
于是有 最小分辨波长
𝛿𝜆 =
𝛿𝜃
𝐷
𝜃
=
Δ𝜃
𝐷
𝜃
=
𝑑 cos 𝜃
𝑗
·
𝜆
𝑁𝑑 cos 𝜃
=
𝜆
𝑗 𝑁
于是可以定义色分辨本领
𝑅 ≡
𝜆
𝛿𝜆
= 𝑗 𝑁
并不是所有波长的光都能经过光栅形成主极大. 若是波长太大, 光栅无法满足光程差的要求, 自然也就无
法形成主极大. 定义光栅的量程为
最大能分辨的入射光波长
, 由光栅方程
𝑑(sin 𝜃 ± sin 𝜃
0
) = 𝑗𝜆
认为 sin 𝜃 ± sin 𝜃
0
≤ 2, 于是
𝜆 ≤ 2
𝑑
𝑗
考虑平行光入射则有 sin 𝜃
0
= 0
𝜆 ≤
𝑑
𝑗
再考察一级光谱 𝑗 = 1, 就定义光栅的量程
𝜆
𝑀
= 𝑑
当级数增大时, 色散本领增大. 因而相邻级数的光斑可能会重合, 定义自由光谱范围为不会重叠的光谱范
围, 记
𝜆
𝑀
= 𝜆
𝑚
+ Δ𝜆
𝑗 级光谱不与 𝑗 + 1 级重叠即 𝑗 级光谱中 𝜆 + Δ𝜆 的角度小于 𝑗 + 1 级光谱种 𝜆
𝑚
的角度, 利用光栅方程得到
𝑗 (𝜆
𝑚
+ Δ𝜆) < ( 𝑗 + 1)𝜆
𝑚
于是 Δ𝜆 < 𝜆
𝑚
/ 𝑗. 最基本的要求是一二级光谱不能重叠, 令 𝑗 = 1 得到
𝜆
𝑀
< 2𝜆
𝑚
就得到了自由光谱范围
3 闪耀光栅
考察光栅的衍射光强
𝐼 (𝜃) = 𝐴
2
𝜃
= 𝑎
2
0
(
sin 𝛼
𝛼
)
2
(
sin 𝑁 𝛽
sin 𝛽
)
2
, 𝛼 =
𝜋𝑎
𝜆
sin 𝜃, 𝛽 =
𝜋𝑑
𝜆
sin 𝜃
由单缝衍射, 单缝衍射因子的 𝜃 应该是相对于几何像点即反射面法线的角度; 而由多缝夫琅和费的矢量
叠加法, 多缝干涉因子的 𝜃 应该是相对于整个光栅平面法线的角度. 若构造一种特殊的反射光栅, 其反射
面不是光栅法平面, 就可以使单缝衍射因子和缝间干涉因子错开, 使得单缝衍射极大处与想要考察的多缝
干涉级数对齐
用图例说明即
注意此处入射角不为零, 用图中的符号表达衍射光强分布即
𝐼 (𝜃) = 𝐴
2
𝜃
= 𝑎
2
0
(
sin 𝛼
𝛼
)
2
(
sin 𝑁 𝛽
sin 𝛽
)
2
, 𝛼 =
𝜋𝑎
𝜆
(sin 𝜃
′
± sin 𝜃
′
0
), 𝛽 =
𝜋𝑑
𝜆
(sin 𝜃 ± sin 𝜃
0
)
在图中所示情况下,
±
应该取 − 由此不难得到
单缝衍射的零级是入射光的几何像点, 多缝衍射的零级是入射光关于光栅法平面的对称点
定义闪耀光栅的闪耀角 𝜃
𝐵
为反射面法线与光栅平面法线的夹角. 闪耀光栅有 两种照明方式 , 第一种是使
入射光沿着反射面法线方向, 第二种是使入射光沿光栅法线方向
分别画出衍射谱就是
下面考察单缝衍射极大处的光谱. 对于第一种照明方式, 相邻缝间的光程差为 Δ𝐿 = 2𝑑 sin 𝜃
𝐵
(一来一去走
了两段!), 那么缝间干涉极大就是
2𝑑 sin 𝜃
𝐵
= 𝑗𝜆
若此处是缝间干涉一级, 则得到了一级闪耀波长
𝜆
1𝐵
= 2𝑑 sin 𝜃
𝐵
对于第二种照明方式, 相邻缝间的光程差为 Δ𝐿 = 𝑑 sin 2𝜃
𝐵
(入射点在同一平面!), 那么缝间干涉极大就是
𝑑 sin 2𝜃
𝐵
= 𝑗𝜆
若此处是缝间干涉一级, 则得到了
𝜆
1𝐵
= 𝑑 sin 2𝜃
𝐵