波动光学
目录
1 波动概述 3
2 定态光波 3
2.1 平面波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 球面波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 复振幅 5
4 波前 5
4.1 波前的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 傍轴条件和远场条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2.1 轴上物点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2.2 轴外物点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 高斯光束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 光的横波性和五种偏振态 8
5.1 光的横波性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 光的偏振现象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.3 偏振片 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.4 光的五种偏振态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.4.1 自然光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.4.2 线偏振光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
5.4.3 部分偏振光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.4.4 圆偏振光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.4.5 椭圆偏振光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4.6 偏振态的总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.5 马吕斯定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.5.1 马吕斯定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.5.2 自然光起偏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.5.3 部分偏振光起偏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 光在电介质表面的反射与折射 12
6.1 菲涅耳反射折射公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.1.1 折射和反射定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.1.2 𝑠 波的振幅反射系数和透射系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.1.3 𝑝 波的振幅反射系数和透射系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.1.4 菲涅耳反射折射公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.2 反射率与透射率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.2.1 布儒斯特角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.2.2
全反射
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2.3 反射率和透射率的变化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.3 斯托克斯倒逆关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1 波动概述
对于沿 +𝑧 方向传播的一维简谐波
𝑎 点的振动表达式为
𝑈
𝑎
(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑
𝑎
)
则对于 𝑝 点时间相对于 𝐴 落后
𝑧−𝑑
𝑉
, 即有
𝑈(𝑧, 𝑡) = 𝐴 cos
𝜔
𝑡 −
𝑧 − 𝑑
𝑉
+ 𝜑
𝑎
若记
𝜆 = 𝑉𝑇 , 𝑘 =
2𝜋
𝜆
则有
𝑈(𝑧, 𝑡) = 𝐴 cos
[
𝜔𝑡 − 𝑘 (𝑧 − 𝑑) + 𝜑
𝑎
]
𝑘 称为波数, 表示沿传播方向 2𝜋 长度内的波长数
余弦函数内的整个变量称为波的相位 有时空联系
波的时间周期性物理量 波的空间周期性物理量
周期 𝑇 空间周期 𝜆
频率 𝜈 =
1
𝑇
空间频率 𝑓 =
1
𝜆
角频率 𝜔 = 2𝜋𝜈 =
2 𝜋
𝑇
空间角频率 𝑘 = 2𝜋 𝑓 =
2 𝜋
𝜆
𝑉 =
𝜆
𝑇
= 𝜆𝜈 =
𝜔
𝑘
2 定态光波
对于定态光波, 通常用标量来表示
𝑈(𝑝, 𝑡) = 𝐴(𝑝) cos
[
𝜔𝑡 − 𝜑(𝑝)
]
𝐴(𝑝) 为振幅的空间分布,𝜑(𝑝) 为位相的空间分布,𝑝 为场点
2.1 平面波
等相位面为一个平面,
®
𝑘 为波矢,®𝑟 ·
®
𝑘 为 ®𝑟 向
®
𝑘 方向上的投影, 即 ®𝑟 方向上的相位改变率
波矢的方位角表示
®
𝑘 = 𝑘 (cos 𝛼𝑒
𝑥
, cos 𝛽𝑒
𝑦
+ cos 𝛾𝑒
𝑧
)
也可以采用波矢与平面的夹角表示
®
𝑘 = 𝑘 (sin 𝜃
1
𝑒
𝑥
+ sin 𝜃
2
𝑒
𝑦
+ sin 𝜃
3
𝑒
𝑧
)
波场中一点处的相位为
®
𝑘 · ®𝑟 + 𝜑
0
用方位角表示即得到
𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘 (𝑥 cos 𝜃
1
, 𝑦 cos 𝜃
2
, 𝑧 cos 𝜃
3
) + 𝜑
0
通常取一平面在 𝑧 = 0 处, 该平面上的相位分布为
𝜑(𝑥, 𝑦, 0) = 𝑘 (𝑥 cos 𝜃
1
, 𝑦 cos 𝜃
2
) + 𝜑
0
平面波可以表示为
𝑈(𝑝, 𝑡) = 𝐴 cos
h
𝜔𝑡 −
®
𝑘 · ®𝑟 − 𝜑
0
i
其中
®
𝑘 为波矢,®𝑟 为场点,𝜑
0
为原点的初位相
2.2 球面波
从点源发出或向点源汇聚
振幅反比于场点到振源的距离 (能量守恒)
𝐴𝑃 =
𝑎
𝑟
位相时场点到振源距离的线性函数
𝜑(𝑃) = 𝑘𝑟 + 𝜑
0
球面波可以描述为
𝑈(𝑃, 𝑡) =
𝑎
𝑟
cos
[
𝜔𝑡 − 𝑘𝑟 − 𝜑
0
]
其中 𝑘 =
2 𝜋
𝜆
为波矢的模,𝑟 为场点到振源的距离,𝜑
0
为原点的初位相
在一个平面上观察球面波, 相位不是恒定值
3 复振幅
将
𝑈(𝑝, 𝑡) = 𝐴(𝑝) cos
[
𝜔𝑡 − 𝜑(𝑝)
]
写为
˜
𝑈(𝑝, 𝑡) = 𝐴(𝑝)𝑒
−𝑖
[
𝜔𝑡−𝜑(𝑝)
]
其中时间项可以分离
˜
𝑈(𝑝, 𝑡) = 𝐴(𝑝)𝑒
𝑖 𝜑 (𝑝)
𝑒
−𝑖𝜔𝑡
=
˜
𝑈(𝑝)𝑒
𝑖 𝜔𝑡
其中
˜
𝑈(𝑝, 𝑡) = 𝐴(𝑝)𝑒
𝑖 𝜑 (𝑝)
为复振幅, 其模量为振幅的空间分布, 辐角为位相的空间分布, 实现了时空分离
于是平面波表示为
˜
𝑈(𝑝) = 𝐴𝑒
𝑖
(
®
𝑘·®𝑟+𝜑
0
)
球面波表示为
˜
𝑈(𝑝) =
𝑎
𝑟
𝑒
𝑖𝑘𝑟+𝜑
0
强度也可以用复振幅表述. 光强 𝐼 是光通量密度的平均值
𝐼 =
D
®
𝑆(𝑡)
E
𝑇
∝
√
𝜖
𝑟
®
𝐸 (𝑡)
2
𝑇
=
1
2
𝑛𝐴
2
在同一介质中 𝑛 为常数, 于是 𝐼 ∝ 𝐴
2
. 一般关心光强的相对分布, 故取
𝐼 (𝑃) = 𝐴(𝑃)
2
=
𝑈(𝑃)
2
=
˜
𝑈(𝑃)
˜
𝑈
∗
(𝑃)
4 波前
4.1 波前的概念
波前是波长中给定任意曲面, 更多的指一个平面, 如记录介质, 感光底片等
共轭波: 在某一波前上互为复数共轭的两列波 (注意不是在波场中处处共轭, 而是仅仅在波前上点点共轭)
如对于平面波, 取波前 𝑧 = 0:
˜
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑒
𝑖𝑘 𝑥 sin 𝜃
在该波前的共轭波为成角为 −𝜃 的平面波
˜
𝑈
∗
(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑒
𝑖𝑘 𝑥 sin (−𝜃 )
4.2 傍轴条件和远场条件
接收器通常都是平面, 光源多是球面波; 在接收屏上不同位置, 相位和振幅都不同
希望在点光源距离与波前线度之比足够大时能将球面波看作平面波, 即平面上近似等相位
4.2.1 轴上物点
有振幅
𝐴(𝑃) =
𝑎
p
𝑧
2
+ 𝜌
2
=
𝑎
𝑧
𝑎
r
1 +
𝜌
𝑧
2
≈
𝑎
𝑧
1 +
1
2
𝜌
𝑧
2
对于相位
𝜑(𝑃) = 𝑘𝑟 = 𝑘
p
𝑧
2
+ 𝜌
2
= 𝑘 𝑧
s
1 +
𝜌
𝑧
2
≈ 𝑘
𝑧 +
𝜌
2
2 𝑧
于是
˜
𝑈 就可以近似
˜
𝑈(𝑥
0
, 𝑦
0
) ≈
𝑎
𝑧
𝑎 +
𝜌
2
2𝑧
2
𝑒
𝑖𝑘
𝑧+
𝜌
2
2𝑧
若有傍轴条件:
𝜌
2
𝑧
1
<< 1 或 𝑧
2
>> 𝜌
2
, 就有
˜
𝑈(𝑥
0
, 𝑦
0
) ≈
𝑎
𝑧
𝑒
𝑖𝑘
𝑧+
𝜌
2
2𝑧
若有远场条件
𝑘 𝜌
2
2 𝑧
<< 𝜋
或
𝑧 >>
𝜌
2
𝜆
˜
𝑈(𝑥
0
, 𝑦
0
) ≈
𝑎
𝑧
𝑎 +
𝜌
2
2𝑧
2
𝑒
𝑖𝑘𝑧
两条件相互独立, 当两条件同时满足时有
˜
𝑈(𝑥
0
, 𝑦
0
) ≈
𝑎
𝑧
𝑒
𝑖𝑘𝑧
即为正入射的平面波. 在可见波波段, 由于波长较小, 往往远场条件蕴含傍轴条件; 若是声波这类波长较长
的波, 则傍轴条件蕴含远场条件
4.2.2 轴外物点
定义 𝑟
0
为物方平面原点到场点的距离,𝑟
0
0
为像方原点到物点的距离
𝑟
0
= 𝑧 +
𝑥
02
+ 𝑦
02
2 𝑧
, 𝑟
0
0
= 𝑧 +
𝑥
2
+ 𝑦
2
2 𝑧
将 𝑟 展开得到
𝑟 = 𝑧 +
𝑥
2
+ 𝑦
2
2 𝑧
+
𝑥
02
+ 𝑦
02
2 𝑧
−
𝑧𝑧
0
+ 𝑦𝑦
0
𝑧
于是
𝑟 ≈ 𝑟
0
+
𝑥
2
+ 𝑦
2
2 𝑧
−
𝑥𝑥
0
+ 𝑦𝑦
0
𝑧
≈ 𝑟
0
0
+
𝑥
02
+ 𝑦
02
2 𝑧
−
𝑥𝑥
0
+ 𝑦𝑦
0
𝑧
若物点, 场点同时满足傍轴条件:𝑥
2
, 𝑦
2
, 𝑥
02
, 𝑦
02
<< 𝑧
2
˜
𝑈(𝑥
0
, 𝑦
0
) =
𝑎
𝑧
𝑒
𝑖𝑘
𝑟
0
+
𝑥
2
+𝑦
2
2𝑧
−
𝑥𝑥
0
+𝑦𝑦
0
𝑧
𝑒
−𝑖
𝑘
𝑧
(
𝑥𝑥
0
+𝑦𝑦
0
)
≈
𝑎
𝑧
𝑒
𝑖𝑘
𝑟
0
0
+
𝑥
02
+𝑦
02
2𝑧
𝑒
−𝑖
𝑘
𝑧
(
𝑥𝑥
0
+𝑦𝑦
0
)
若场点满足傍轴条件，物点同时满足傍轴和远场条件:𝑥
2
, 𝑦
2
, 𝑥
02
, 𝑦
02
<< 𝑧
2
,
𝑥
2
𝜆
,
𝑦
2
𝜆
<< 𝑧
˜
𝑈(𝑥
0
, 𝑦
0
) ≈
𝑎
𝑧
𝑒
𝑖𝑘𝑟
0
𝑒
−𝑖
𝑘
𝑧
(𝑥𝑥
0
+𝑦𝑦
0
)
若物点满足傍轴条件，场点同时满足傍轴和远场条件:𝑥
2
, 𝑦
2
, 𝑥
02
, 𝑦
02
<< 𝑧
2
,
𝑥
02
𝜆
,
𝑦
02
𝜆
<< 𝑧
˜
𝑈(𝑥
0
, 𝑦
0
) ≈
𝑎
𝑧
𝑒
𝑖𝑘𝑟
0
0
𝑒
−𝑖
𝑘
𝑧
(𝑥𝑥
0
+𝑦𝑦
0
)
位相是 𝑥
0
, 𝑦
0
的线性函数
接收平面上一斜入射的平面波, 波矢方向是物点到接收平面中心的连线, 其方向余弦是
cos 𝛼
0
= −
𝑥
𝑧
, cos 𝛽
0
= −
𝑦
𝑧
沿 𝑄𝑂
0
方向. 傍轴条件, 远场条件可看成球面波向平面波的转化
4.3 高斯光束
5 光的横波性和五种偏振态
5.1 光的横波性
横波 (S 波) 指介质中粒子的振动方向和波的传播方向垂直, 如电磁波
纵波 (P 波) 指介质中粒子的振动方向和波的传播方向平行, 如声波
5.2 光的偏振现象
偏振是振动方向与传播方向的关系, 是横波特有的现象
二向色性晶体: 对某个方向的偏振光吸收特别强 (?)
5.3 偏振片
只让某一振动方向的光通过的光学元件. 这个方向被称为偏振片的透振方向或偏振方向
几种典型的偏振片
1. 金质线栅: 垂直于导线的振动不能被电子吸收
2. 二向色性偏振片
3. 导电聚合物
5.4 光的五种偏振态
5.4.1 自然光
光场中的任一点, 任一传播方向都同时存在着大量各种随机取向的横振动, 且没有固定的相位差. 在与传
播方向垂直的任一方向上的振动都是相等的. 一般的热辐射光源发出的光都是自然光
5.4.2 线偏振光
只包含单一振动方向的光称为线偏振光. 其振动方向和传播方向构成的平面称为振动面. 光矢量在垂直于
传播方向的平面内投影为一条直线. 任一线偏振光可以看作是由振动方向正交, 相位相同或相反的两个线
偏振光合成的
同向
𝐸
𝑥
(𝑧, 𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)
𝐸
𝑦
(𝑧, 𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)
反向
𝐸
𝑥
(𝑧, 𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)
𝐸
𝑦
(𝑧, 𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜋)
5.4.3 部分偏振光
在各种不同方向的横振动中, 某一方向占有优势. 定义偏振度
𝑃 =
𝐼
max
− 𝐼
min
𝐼
max
+ 𝐼
min
𝐼 为使光通过偏振片, 不断旋转偏振片记录的通过偏振片的光强
5.4.4 圆偏振光
在一个垂直于波矢的固定平面内观察, 光矢量旋转, 端点轨迹为圆. 迎着传播方向观察, 电矢量逆时针旋转
称为左旋圆偏振光
,
顺时针旋转称为右旋圆偏振光
物理图像: 某时刻, 波场空间所有的
圆偏振光可以看作是两个相位差为
𝜋
2
的正交分量的叠加
𝐸
𝑥
(𝑧, 𝑡) = 𝐴
𝑥
cos(𝜔𝑡 − 𝑘 𝑧)
𝐸
𝑦
(𝑧, 𝑡) = 𝐴
𝑦
cos(𝜔𝑡 − 𝑘 𝑧 ±
𝜋
2
)
其中
𝐴
𝑥
= 𝐴
𝑦
= 𝐴
当
Δ
𝜑
=
−
𝜋
2
时为左圆偏振光,Δ𝜑 = +
𝜋
2
时为右圆偏振光
5.4.5 椭圆偏振光
与圆偏振光大致相同, 两个振幅不等, 方向垂直, 相位差不等于零的振动, 其合成振动为椭圆偏振光
𝐸
𝑥
(𝑧, 𝑡) = 𝐴
𝑥
cos(𝜔𝑡 − 𝑘 𝑧)
𝐸
𝑦
(
𝑧, 𝑡
)
=
𝐴
𝑦
cos
(
𝜔𝑡
−
𝑘𝑧
+
Δ
𝜑
)
椭圆方程为
𝐸
2
𝑥
𝐴
2
𝑥
+
𝐸
2
𝑦
𝐴
2
𝑦
−
2𝐸
𝑥
𝐸
𝑦
𝐴
𝑥
𝐴
𝑦
cos Δ𝜑 = sin
2
Δ𝜑
其中椭圆长轴倾角 𝛼 满足
tan 2𝛼 =
2𝐴
𝑥
𝐴
𝑦
𝐴
2
𝑥
− 𝐴
2
𝑦
cos Δ𝜑
长轴所处象限与 𝐴
𝑥
与 𝐴
𝑦
的相对大小无关, 由 Δ𝜑 决定
Δ ∈ 𝐼 第一象限, 为右旋;Δ𝜑 ∈ 𝐼𝑉 第四象限, 为左旋; 可以通过切点大致判断椭圆的形状
5.4.6 偏振态的总结
5.5 马吕斯定律
5.5.1 马吕斯定律
起偏: 使没有偏振特性的光变为偏振光
检偏: 检验光的偏振特点, 观察光强变化
线偏光与优势振动方向 (称为光轴) 夹角为 𝜃, 则有
𝐸
𝜃
= 𝐸
0
cos 𝜃
也就是
𝐼
𝜃
= 𝐼
0
cos
2
𝜃
垂直于优势振动方向的分量被吸收
5.5.2 自然光起偏
假设优势振动方向为 𝑦, 自然光经过起偏器则只有 𝑥 方向上的分量能通过
𝐼
𝑥
=
∫
2 𝜋
0
(𝐴
𝜃
𝑥
)
2
𝑑𝜃 =
∫
2 𝜋
0
𝐴
2
0
cos
2
𝜃𝑑𝜃 = 𝜋 𝐴
2
0
而自然光的光强为对所有方向的振幅积分
𝐼 =
∫
2 𝜋
0
𝐴
2
0
𝑑𝜃 = 2𝜋𝐴
2
0
于是
𝐼
𝑥
=
𝐼
2
得到自然光经过起偏器后变为偏振光, 旋转起偏器, 出射光强不变, 强度变为一半
5.5.3 部分偏振光起偏
部分偏振光经过起偏器, 会出现极大和极小值 𝐼
𝑀
, 𝐼
𝑚
, 两者相隔
𝜋
2
角度
以 𝐼
𝑀
, 𝐼
𝑚
为基底建立坐标系, 将大量线偏光分解为两个正交振动, 则
𝐼
𝑃
(𝛽) = 𝐼
𝑚
sin
2
𝛽 + 𝐼
𝑀
cos
2
𝛽 = 𝐼
𝑚
+ (𝐼
𝑀
− 𝐼
𝑚
) cos
2
𝛽
等效为一个光强为 𝐼
𝑀
− 𝐼
𝑚
的偏振光加上光强为 2𝐼
𝑚
的自然光
6 光在电介质表面的反射与折射
E = A · cos(𝜔𝑡 − k · r + 𝜑
0
)
6.1 菲涅耳反射折射公式
入射波
E
1
= A
1
𝑒
𝑖 (k
1
·r−𝜔
1
𝑡 )
折射波
E
2
= A
2
𝑒
𝑖 (k
2
·r−𝜔
2
𝑡 )
入射波
E
0
1
= A
0
1
𝑒
𝑖 (k
0
1
·r−𝜔
0
1
𝑡 )
规定 𝑃 分量为平行入射平面,𝑆 分量为垂直于入射平面;𝑃, 𝑆, 𝐾 构成局域右手系, 分量的正负号相对于各自
的基矢
在界面处有麦克斯韦方程组的边界条件
n · (D
1
− D
2
) = 0
n · (B
1
− B
2
) = 0
n × (E
1
− E
2
) = 0
n × (H
1
− H
2
) = 0
有 (入射波和反射波在同一端, 电磁场叠加!)
n × (E
1
+ E
0
1
) = n × E
2
n × (H
1
+ H
0
1
) = n × H
2
6.1.1 折射和反射定律
由上述得到了反射折射定律的形式
n × A
1
𝑒
𝑖 (k
1
·r−𝜔
1
𝑡 )
+ n × A
0
1
𝑒
𝑖 (k
0
1
·r−𝜔
0
1
𝑡 )
= n × A
2
𝑒
𝑖 (k
2
·r−𝜔
2
𝑡 )
于是有三波同频
𝜔
1
= 𝜔
2
= 𝜔
0
1
有波矢切向分量连续 (r 为 𝑦 正方向)
k
1
· r = k
0
1
· r = k
2
· r
于是
𝑘
1𝑦
= 𝑘
2𝑦
=
2𝜋
𝜆
1
sin 𝑖
1
=
2𝜋
𝜆
2
sin 𝑖
2
=
𝜔
1
𝑛
1
𝑐
sin 𝑖
1
=
𝜔
2
𝑛
2
𝑐
sin 𝑖
2
进而得到
𝑖
0
1
= 𝑖
1
反射
𝑛
1
sin 𝑖
1
= 𝑛
2
sin 𝑖
2
折射
6.1.2 𝑠 波的振幅反射系数和透射系数
由于 𝑠 波的电场方向平行于界面, 则有
𝐸
1𝑠
+ 𝐸
0
1𝑠
= 𝐸
2𝑠
𝐻
1 𝑝
cos 𝑖
𝑖
− 𝐻
0
1 𝑝
cos 𝑖
1
= 𝐻
2 𝑝
cos 𝑖
2
对于非铁磁介质有 𝜇
𝑟
≈ 1, 折射率 𝑛 ≈
√
𝜖
𝑟
. 将 H 与 E 都写作 A 得到
𝑟
𝑠
=
𝐴
0
1𝑠
𝐴
1𝑠
= −
sin(𝑖
1
−𝑖
2
)
𝑖
1
+𝑖
2
(反射公式)
𝑡𝑠 =
𝐴
2𝑠
𝐴
1𝑠
=
2 sin 𝑖
2
cos 𝑖
1
sin(𝑖
1
+𝑖
2
)
(折射公式)
6.1.3 𝑝 波的振幅反射系数和透射系数
𝑝 波的磁场强度平行于界面
𝐻
1𝑠
+ 𝐻
0
1𝑠
= 𝐻
2𝑠
𝐸
1 𝑝
cos 𝑖
𝑖
− 𝐸
0
1 𝑝
cos 𝑖
1
= 𝐸
2 𝑝
cos 𝑖
2
同样可以解得
𝑟
𝑝
=
𝐴
0
1 𝑝
𝐴
1 𝑝
=
tan(𝑖
1
−𝑖
2
)
tan(𝑖
1
+𝑖
2
)
(反射公式)
𝑡
𝑝
=
𝐴
2 𝑝
𝐴
1 𝑝
=
2 sin 𝑖
2
cos 𝑖
1
sin(𝑖
1
+𝑖
2
) cos(𝑖
1
−𝑖
2
)
折射公式
6.1.4 菲涅耳反射折射公式
代入折射率消去 𝑖
2
得到
反射光有
𝑟
𝑠
=
cos 𝑖
1
−
q
𝑛
2
21
− sin
2
𝑖
1
cos 𝑖
1
+
q
𝑛
2
21
− sin
2
𝑖
1
𝑟
𝑝
=
𝑛
2
21
cos 𝑖
1
−
q
𝑛
2
21
− sin
2
𝑖
1
𝑛
2
21
cos 𝑖
1
+
q
𝑛
2
21
− sin
2
𝑖
1
折射光有
𝑡
𝑠
=
2 cos 𝑖
1
cos 𝑖
1
+
q
𝑛
2
21
− sin
2
𝑖
1
𝑡
𝑝
=
2𝑛
21
cos 𝑖
1
𝑛
2
21
cos 𝑖
1
+
q
𝑛
2
21
− sin
2
𝑖
1
其中
𝑛
21
=
𝑛
2
𝑛
1
6.2 反射率与透射率
6.2.1 布儒斯特角
当 𝑖
𝑏
+𝑖
2
=
𝜋
2
时有 𝑟
𝑝
= 0, 为布鲁斯特角. 此时有
𝑖
𝑏
= tan
−1
𝑛
21
= tan
−1
𝑛
2
𝑛
1
此时反射光中只有 𝑠 分量
6.2.2 全反射
当 sin 𝑖
1
= 𝑛
21
时, 有
𝑟
𝑠
= 𝑟
𝑝
= 1
记此时的入射角为全反射临界角
𝑖
𝑐
= arcsin
𝑛
2
𝑛
1
入射能量全部回到介质中, 即发生了全反射. 若入射角大于全反射临界角, 则找不到任何折射角可符合折
射定律, 这时光波将依照反射定律全部反射回原介质, 不过会出现瞬逝波
由折射定律及波矢的平行分量连续得到
𝑘
2
=
𝑛
2
𝑛
1
𝑘
1
由于勾股定理
𝑘
𝑧
=
q
𝑘
2
2
− 𝑘
2
2𝑦
=
s
𝑛
2
𝑛
1
2
𝑘
2
1
− 𝑘
2
1
sin
2
𝑖
𝑖
= 𝑘
1
s
𝑛
2
𝑛
1
2
− sin
2
𝑖
1
当 𝑖
1
> 𝑖
𝑐
时, 没有实数解, 则
𝑘
2𝑧
= 𝑖
2𝜋
𝜆
1
p
sin
2
𝑖
1
− sin
2
𝑖
𝑐
= 𝑖𝜅
于是
E
2
= A
2
𝑒
𝑖 (k·r−𝜔
1
𝑡 )
= A
2
𝑒
−𝜅 𝑧
𝑒
𝑖 (𝑘
2𝑦
𝑦−𝜔
2
𝑡 )
可见介质 2 中的折射波沿深度方向按指数衰减, 称为衰逝波. 可以定义其穿透深度
𝑑
𝑧
=
1
𝜅
=
𝜆
1
2𝜋
1
p
sin
2
𝑖
1
− sin
2
𝑖
𝑐
𝑑
𝑧
与波长同一数量级
光在不同介质中的传播速度不同, 使得斜入射时透射光束的横截面与入射光束不同. 因此强度不一定守恒
6.2.3 反射率和透射率的变化
𝑅
𝑠
随入射角的增大而增大, 但 𝑅
𝑝
先减小到 0 再增大. 总体来看, 反射率随入射角增大而增大. 这就是为
什么看近处的水下物体清楚而看远处的倒影清楚
6.3 斯托克斯倒逆关系