夫琅和费衍射
目录
1 夫琅禾费单缝和矩孔衍射 2
1.1 实验装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 单缝衍射的强度公式和衍射图案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 移动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 夫琅和费矩孔衍射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 单缝衍射因子的特点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 夫琅和费圆孔衍射 6
2.1 夫琅禾费圆孔衍射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 衍射图样的特点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 望远镜, 瑞利判据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 显微镜的分辨本领 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1
1 夫琅禾费单缝和矩孔衍射
1.1 实验装置
平行光入射, 用凸透镜成像于像方焦平面. 相当于各点发出的次波汇聚于无穷远处, 即是平行光的相干叠
加
干涉图样为一系列亮斑, 中心为亮斑, 亮度大于两侧,宽度是两侧的两倍, 亮斑的宽度随狭缝的变窄而展宽
1.2 单缝衍射的强度公式和衍射图案
使用矢量图解法
将波前 𝑁 等分, 每个面元的宽度为
𝑎
𝑁
, 记
˜
a
(𝑚)
𝜃
为第 𝑚 个面元发出的次波的复振幅,𝐿
(𝑚)
𝜃
为第 𝑚 个面元发
出的次波的光程
由于透镜的等光程性, 相邻量单元次波的光程差为
Δ𝐿 =
𝑎 sin 𝜃
𝑁
那么相位差就是
Δ𝜑 = 𝑘Δ𝐿 =
2𝜋𝑎 sin 𝜃
𝑁𝜆
在近轴条件下, 球面波次波波源上各个面元的
瞳函数相等, 倾斜因子相等
𝐹 (𝜃
0
, 𝜃)
𝑟
=
1
𝐿
0
于是相邻
˜
a
(𝑚)
𝜃
模长相等, 辐角差相等, 于是可以利用复振幅矢量法
令 𝑁 → +∞ 就会得到圆周, 圆周半径有
𝑅 =
𝐴
0
Δ𝜑
对于合振幅 𝐴
𝜃
有
𝐴
𝜃
= 2𝑅 sin
ΔΦ
2
= 𝐴
0
sin
ΔΦ
2
ΔΦ
2
又有
ΔΦ = 𝑁Δ𝜑 =
2𝜋𝑎 sin 𝜃
𝜆
于是就得到了各个角度上的强度分布
𝐴
𝜃
= 𝐴
0
sin 𝑢
𝑢
, 𝑢 =
𝜋𝑎 sin 𝜃
𝜆
𝐼
𝜃
= 𝐼
0
sin
2
𝑢
𝑢
2
其中 𝜃 为光屏上的场点到透镜中心的张角, 𝐴
0
与 𝐼
0
为光屏上几何像点的振幅与光强
1.3 移动
由于透镜的等光程性, 有
狭缝移动花样不变; 透镜移动花样随跟随透镜光轴移动
而若是入射光与光轴不平行, 则会附加一个额外的相位差
𝑢 =
𝜋𝑎
𝜆
(sin 𝜃
0
± sin 𝜃)
入射光与衍射光在法线同侧, 取 + 号, 反之取 -
1.4 夫琅和费矩孔衍射
𝑄 与 𝑂 到像点的距离差为
Δ𝑟 = −(𝑥, 𝑦, 0) ·
r
0
𝑟
0
= −(𝑥, 𝑦, 0) · (sin 𝜃
1
, sin 𝜃
2
, sin 𝜃
3
)
= −(𝑥 sin 𝜃
1
+ 𝑦 sin 𝜃
2
)
故
𝑟 = 𝑟
0
+ Δ𝑟 = 𝑟
0
− (𝑥 sin 𝜃
1
+ 𝑦 sin 𝜃
2
)
无穷远当然满足近轴条件, 倾斜因子为 1
˜
𝑈(𝑃) = 𝐾
˜
𝑈
0
(0, 0)
∬
Í
𝑒
𝑖𝑘𝑟
0
−𝑖𝑘(𝑥 sin 𝜃
1
+𝑦 sin 𝜃
2
)
𝑟
0
𝑑𝑥𝑑𝑦
令
𝑢
1
=
𝜋𝑎
𝜆
sin 𝜃
1
, 𝑢
2
=
𝜋𝑏
𝜆
sin 𝜃
2
则积分得到
˜
𝑈(𝑃) = 𝐾
˜
𝑈
0
𝑎𝑏
𝑒
𝑖𝑘𝑟
0
𝑟
0
sin 𝑢
1
𝑢
1
sin 𝑢
2
𝑢
2
就得到了衍射强度分布
𝐼 (𝑃) = 𝐼
0
sin 𝑢
1
𝑢
1
2
sin 𝑢
2
𝑢
2
2
, 𝐼
0
=
𝐾
˜
𝑈
0
(
0
,
0
)
𝑎𝑏
𝑒
𝑖𝑘𝑟
0
𝑟
0
2
𝐼
0
为矩孔发出的光波在 𝐹 处产生的光强
1.5 单缝衍射因子的特点
单缝衍射因子为
sin 𝑢
𝑢
, 𝑢 =
𝜋𝑎
𝜆
sin 𝜃
求导解方程就可以得到极大值和极小值
极大值
sin 𝜃 = ±1.43
𝜆
𝑎
, ± 2.46
𝜆
𝑎
, ± 3.47
𝜆
𝑎
, · · ·
极小值
sin 𝜃 = ±1
𝜆
𝑎
, ± 2
𝜆
𝑎
, ± 3
𝜆
𝑎
, · · ·
由此可以得到条纹角宽度即相邻暗条纹之间的角距离
零级主极大角宽度
Δ𝜃 = 2
𝜆
𝑎
其它高级次条纹角宽度
Δ𝜃 =
𝜆
𝑎
不难发现条纹角宽度与衍射缝宽 𝑎 成反比关系, 称为衍射的缝宽反比关系
2 夫琅和费圆孔衍射
2.1 夫琅禾费圆孔衍射
其中 △𝑄 𝐴𝐵 垂直于 r
0
且垂直于 𝑥𝑜𝑧,𝑄 𝐴 垂直于 𝑥 轴. 于是由几何关系就能得到
Δ𝑟 = −𝜌 cos 𝜑 sin 𝜃
于是与矩孔衍射相同得到菲涅尔积分
˜
𝑈(𝑃) = 𝐾
˜
𝑈
0
(0, 0)
𝑒
𝑖𝑘𝑟
0
𝑟
0
∬
Í
𝑒
−𝑖𝑘 𝜌 cos 𝜑 sin 𝜃
𝜌𝑑𝜑𝑑𝜌
作换元 𝑚 = 2 𝜋𝑅 sin 𝜃/𝜆 = 𝑘 𝑅 sin 𝜃 得到
˜
𝑈(𝑃) = 𝐾
˜
𝑈
0
(0, 0)
𝑒
𝑖𝑘𝑟
0
𝑟
0
∫
𝑅
0
𝜌𝑑𝜌
∫
2 𝜋
0
cos
𝑚
𝜌
𝑅
cos 𝜑
𝑑𝜑
积分得到 (鬼知道是怎么积出来的)
˜
𝑈(𝑃) = 𝐾
˜
𝑈(0, 0)𝜋𝑅
2
𝑒
𝑖𝑘𝑟
0
𝑟
0
×
2𝐽
1
(𝑚)
𝑚
其中 𝐽
1
(𝑚) 为一阶贝塞尔函数, 形式如下
2
𝐽
1
(𝑚)
𝑚
=
Õ
𝑘
(−1)
𝑘
(𝑘 + 1)!𝑘!
𝑚
2
2𝑘
图像如下
第一极小值对应 𝑚 = 3.83, 也就是
sin 𝜃
1
=
3.83𝜆
2𝜋𝑅
认为 𝜃
1
很小, 可以近似 𝜃
1
≈ sin 𝜃
1
, 于是就得到了 Aivry Disk 的角半径 (半角宽度)
Δ𝜃
0
= 0.610
𝜆
𝑅
= 1.220
𝜆
𝐷
2.2 衍射图样的特点
将复振幅取模方就可以得到光强分布
𝐼 (𝜃) = 𝐼
0
2𝐽
1
(𝑚)
𝑚
2
𝐼
0
是中心位置的光强
同心圆环, 明暗交错, 不等距
中央主极大 (零级斑):Aiviry 斑, 占总强度的 84%, 半角宽度 Δ𝜃
0
Δ𝜃
0
= 0.61
𝜆
𝑅
= 1.22
𝜆
𝐷
2.3 望远镜, 瑞利判据
平行光成像, 由于衍射效应, 会形成 Aivry 斑而非几何点. 两个物形成的Aivry 斑靠得太近可能无法区分
瑞利判据: 当一个圆斑像的中心刚好落在另一圆斑的边缘 (第一暗纹) 上时, 认为刚好可以分辨, 那么望远
镜最小分辨角就是
Δ𝜃
𝑚
= 1.22
𝜆
𝐷
其中 𝐷 为望远镜物镜的直径
目镜的选择: 总放大率使得仪器的最小分辨角放大到人眼所能分辨的最小角度 1
′
. 视角放大率为
𝑀
𝑚
=
𝛿𝜃
𝑒
𝛿𝜃
𝑚
分子为眼睛的最小分辨角, 分母为望远镜的最小分辨角
2.4 显微镜的分辨本领
物在焦点附近, 同时也是齐明点, 光瞳就是物镜边缘
Δ𝜃
𝑚
=
1.22𝜆
𝑛
′
𝐷
阿贝正弦条件
𝑛𝛿𝑦 sin 𝑢 = 𝑛
′
𝛿𝑦
′
sin 𝑢
′
⇒ 𝑠𝑖𝑛𝑢
′
≈ 𝑢
′
=
𝐷
2𝑙
于是对于显微镜的分辨能力就有
𝛿𝑦
𝑚
=
𝑛
′
𝐷
2𝑙
Δ𝜃
𝑚
𝑙
𝑛 sin 𝑢
=
0.61𝜆
𝑛 sin 𝑢
=
0.61𝜆
𝑁. 𝐴.
显微镜的目镜选择: 使总放大率能将仪器的最小分辨距离放大到人眼明视距离处的最小分辨距离, 即0.1𝑚𝑚 .
与望远镜相同, 有效放大率为
𝑀
𝑚
=
𝛿𝑦
𝑒
𝛿𝑦
𝑚
分子为眼睛的最小分辨距离, 分母为显微镜的最小分辨距离