多光束干涉
目录
1 多光束干涉的强度分布 2
2 法布里-珀罗干涉仪 3
2.1 法布里-珀罗干涉仪 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 条纹特征 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 透射亮纹的锐度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 频率分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 F-P 干涉仪的应用 4
3.1 分辨超精细光谱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 激光谐振腔 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
1 多光束干涉的强度分布
薄膜干涉不止有两束反射光
根据薄膜干涉的结论, 有光程差
Δ𝐿 = 2𝑛ℎ cos 𝑖
其中的 𝑖 是薄膜内部的角度. 那么就有相位差
𝛿 =
2𝜋𝑛ℎ cos 𝑖
𝜆
当 𝑛
2
= 𝑛
1
时有斯托克斯倒逆关系
𝑟 = −𝑟
′
, 𝑟
2
+ 𝑡𝑡
′
= 1
对于反射有
𝐴
1
= 𝐴𝑟
𝐴
2
= 𝐴𝑡𝑟
′
𝑡
′
= −𝐴𝑡𝑟𝑡
′
𝐴
3
= 𝐴𝑡𝑟
′
𝑟𝑟
′
𝑡
′
= −𝐴𝑡𝑟
3
𝑡
′
···
𝐴
′
1
= 𝐴𝑡𝑡
′
𝐴
′
2
= 𝐴𝑡𝑟𝑟
′
𝑡
′
= 𝐴𝑡𝑟
2
𝑡
′
𝐴
′
3
= 𝐴𝑡𝑟
′
𝑟𝑟
′
𝑟𝑡
′
= 𝐴𝑡𝑟
4
𝑡
′
···
反射光不好求解, 希望求解透射光
˜
𝑈
𝑇
= 𝐴𝑡𝑡 (1 + 𝑟
2
𝑒
𝑖 𝛿
+𝑟
4
𝑒
𝑖2𝛿
+ ···) =
𝐴𝑡𝑡
1 −𝑟
2
𝑒
𝑖 𝛿
那么透射光的光强为
𝐼
𝑇
=
˜
𝑈
𝑇
˜
𝑈
∗
𝑇
=
𝐼
0
(1 − 𝑟
2
)
2
1 − 2𝑟
2
cos 𝛿 + 𝑟
4
=
𝐼
0
1 +
4𝑅 sin
2
(𝛿/2)
(1−𝑅 )
2
其中 𝑟 为振幅反射率,𝑅 = 𝑟
2
为能量反射率
于是对于反射光就有
𝐼
𝑅
= 𝐼
0
− 𝐼
𝑇
=
𝐼
0
1 +
(1−𝑅 )
2
4𝑅 sin
2
(𝛿/2)
定义精细度系数为
𝐹 =
4𝑅
(1 − 𝑅)
2
则反射光和透射光就为
𝐼
𝑇
=
𝐼
0
1 + 𝐹 sin
2
(𝛿/2)
, 𝐼
𝑅
=
𝐼
0
1 +
1
𝐹 sin
2
(𝛿/2)
反射光和入射光是互补的
2 法布里-珀罗干涉仪
2.1 法布里-珀罗干涉仪
若 ℎ 固定, 称为 𝐹𝑃 标准具; 如果 ℎ 可调, 称为 𝐹 𝑃 干涉仪
2.2 条纹特征
𝐹𝑃 的干涉条纹是等倾条纹 (一组同心圆). 当反射率 𝑅 增大时, 反射条纹的亮线变宽, 透射条纹的亮线变
窄; 当 𝑅 → 1 时, 反射条纹时亮背景中的暗纹, 透射条纹是暗背景中的亮纹. 常用的是透射条纹
2.3 透射亮纹的锐度
定义相位差半值宽度, 为光强等于极大值一半时曲线上相应两点的相位差间隔. 即当
𝐼
𝑇
𝐼
0
=
1
2
时有
𝛿 = 2𝑘 𝜋 + ±𝜖/2
𝜖
即为所求的距离
.
考察锐线情形时
,
由于
𝜖
很小
,
可以有近似
sin
2
(𝛿) = sin
2𝑘𝜋 ± 𝜖 /2
2
= sin
2
(𝜖/4) ≈ (𝜖/4)
2
那么对于该式
𝐼
𝑇
𝐼
0
=
1
1 + 𝐹 sin
2
(
𝛿
2
)
=
1
2
就可以解得
𝜖 =
4
√
𝐹
=
2(1 − 𝑅 )
√
𝑅
以 𝑖 作为自变量表示半宽度
𝛿 =
4𝜋
𝜆
𝑛ℎ cos 𝑖
在 𝑘 级亮条纹中, 取 𝑖 = 𝑖
𝑘
, 用 Δ𝑖
𝑘
表示第 𝑘 级亮纹的角宽度. 对上式微分得到
𝑑𝛿 = −
4𝜋
𝜆
𝑛ℎ sin 𝑖Δ𝑖
考察半宽度,𝑑𝛿 就是 𝜖 . 那么就有 (省略符号)
Δ𝑖
𝑘
=
𝜆𝜖
4𝜋𝑛ℎ sin 𝑖
𝑘
=
𝜆
2𝜋𝑛ℎ sin 𝑖
𝑘
1 − 𝑅
√
𝑅
2.4 频率分布
当白平行光入射时,𝑖 固定为零或是很接近零, 那么可以认为相位差是波长 𝜆 的函数, 那么透射光出现最大
值时满足
𝛿 = 2𝑘 𝜋
即
2𝑛ℎ = 𝑘𝜆
𝑘
用频率表示会发现是等间隔的
𝜈
𝑘
=
𝑐
𝜆
𝑘
=
𝑘𝑐
2𝑛ℎ
每条谱线称为一个纵模, 考察每个纵模的半值宽度, 同样做微分
𝑑𝛿 = −
4𝜋𝑛ℎ cos 𝑖𝑑𝜆
𝜆
2
与前文相同, 将 𝑑𝛿 换为 𝜖 表示半值相位宽度,𝑑𝜆 换为 Δ𝜆
𝑘
表示谱线宽度, 那么
𝜆
𝑘
=
𝜆
2
𝜖
4𝜋𝑛ℎ cos 𝑖
=
𝜆
2
2𝜋𝑛ℎ cos 𝑖
·
1 − 𝑅
√
𝑅
=
𝜆
𝜋𝑘
1 − 𝑅
√
𝑅
用频率表示就是
Δ𝜈
𝑘
=
𝑐
𝜋𝑘𝜆
1 − 𝑅
√
𝑅
3 F-P 干涉仪的应用
3.1 分辨超精细光谱
考察双谱线入射光 𝜆, 𝜆 + 𝛿𝜆 的干涉条纹, 在第 𝑘 级亮纹时满足
2𝑛ℎ cos 𝑖
𝑘
= 𝑘𝜆
2𝑛ℎ cos( 𝑖
𝑘
+ 𝛿𝑖)
𝑘
= 𝑘𝜆 + 𝛿𝜆
认为 𝛿𝑖 很小, 那么就有
𝛿𝑖
𝑘
=
𝑘
2𝑛ℎ sin 𝑖
𝑘
𝛿𝜆
𝛿𝑖
𝑘
就称为波长差为 𝛿𝜆 的 𝑘 级亮条纹之间的角间隔
对于谱线能分辨与否, 有瑞利判据
设亮线自身的半角宽度为 Δ𝑖
𝑘
, 那么
𝛿𝑖
𝑘
= Δ𝑖
𝑘
是可分辨的最小波长间隔. 代入前文的表达式得到
𝛿𝜆 =
𝜆
𝑘𝜋
1 − 𝑅
√
𝑅
由此可以定义色分辨本领
𝐸
𝑐
=
𝜆
𝛿𝜆
=
√
𝑅
1 − 𝑅
𝑘 𝜋
一般条纹级数 𝑘 取视场中心条纹的级数, 即
𝑘 =
2𝑛ℎ
𝜆
此外由于条纹波长不同, 不同级数的条纹可能会互相重叠. 定义自由光谱范围为不同级不同波长条纹互不
重叠的光谱范围
令波长上限 𝜆
𝑀
的第 𝑘 级亮环与 𝜆
𝑚
的 𝑘 + 1 级亮环刚好接近. 也就是相位
𝛿
𝑚
= 𝛿
𝑀
+ 2𝜋
代入表达式得到
𝑘𝜆
𝑀
= (𝑘 + 1)𝜆
𝑚
近似就是
𝜆
𝑀
− 𝜆
𝑚
=
𝜆
𝑘
其中
𝜆 =
𝜆
𝑀
+ 𝜆
𝑚
2
认为条纹接近中央,𝑖 ≈ 0, 就有
𝑘 =
2𝑛ℎ
𝜆
于是
Δ𝜆
𝑓
= 𝜆
𝑀
− 𝜆
𝑚
≈
𝜆
2
2𝑛ℎ
3.2 激光谐振腔
根据前文论述, 一束平行光正入射一个 𝐹 − 𝑃 腔, 有 𝑖 ≈ 0. 出现干涉极大的波长满足
𝜆
𝑘
=
2𝑛ℎ
𝑘
频率满足
𝜈
𝑘
=
𝑐𝑘
2𝑛ℎ
谱线宽度满足
Δ𝜆
𝑘
=
𝜆
2
𝑘
2𝜋𝑛ℎ
1 − 𝑅
√
𝑅
, Δ𝜈
𝑘
=
𝑐
2𝜋𝑛ℎ
1 − 𝑅
√
𝑅
由于用频率描述激光器光谱时相邻谱峰的间隔与级数无关, 习惯用频率描述激光器光谱
