几何光学

1 几何光学的基本定律 2

1.1 几何光学三定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 反射定律与折射定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 作图法得折射光线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 全反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 棱镜与色散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 光的可逆性原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 惠更斯原理 5

2.1 波的几何描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 惠更斯原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 费马原理 6

3.1 光程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 费马原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 成像 6

4.1 实像与虚像, 实物与虚物 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1.1 光源与发光点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1.2 光线与光束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1.3 光具组与理想光具组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1.4 光学系统的物点与像点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 物方和像方, 物与像的共轭性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.1 光学系统的物方和像方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.2 物与像的共轭性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 物像之间的等光程性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.4 等光程面和严格成像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4.1 反射等光程面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4.2 折射等光程面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.5 折射成像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 轴球面组傍轴成像 11

5.1 光在单个球面上的折射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2 轴上的物点成像, 焦距, 物像距公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2.1 由折射定律推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2.2 由费马定理推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.3 像方焦距与物方焦距,Gauss 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2.4 符号规则约定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.3 傍轴物点成像与横向放大率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.1

傍轴物点的条件

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.2 由等光程条件导出傍轴物点的成像规律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.3 横向放大率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4 拉格朗日—亥姆霍兹定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 薄透镜 17

6.1 薄透镜的成像特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.1.1 薄透镜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.1.2 薄透镜成像的物像关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.1.3 薄透镜的焦距公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.1.4 正透镜与负透镜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.1.5 薄透镜成像的横向放大率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.2 密接薄透镜组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.3 焦平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.3.1 物方焦面与像方焦面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.3.2 薄透镜的光学参数定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.4 薄透镜作图法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.4.1 三对共轭的特殊光线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.5 透镜组成像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 理想光具组理论 21

7.1 理想光具组与共线变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.1.1 理想光具组的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.2 共轴理想光具组的基点和基面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.2.1 焦点与焦平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.2.2 主平面与主点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.2.3 任意理想共轴光具组物距, 像距, 焦距的标定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.3 作图法确定物像关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.4

计算法确定物像关系

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.5 理想光具组的联合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1 几何光学的基本定律

1.1 几何光学三定律

光线: 用一条表示光传播方向的几何线来代表光, 称这条线为光线

1. 直线传播定律: 在均匀介质中光沿直线传播

2. 独立传播定律: 不同方向的光线相交, 不影响每一光线的传播

3. 反射折射定律: 在两种媒质的界面发生反射, 折射

其中反射光和折射光都在入射面内

1.1.1 反射定律与折射定律

对于反射光, 反射角等于入射角; 折射光满足折射定律

𝑛

sin 𝑖

= 𝑛

sin 𝑖

称为折射定律的斯涅耳公式, 其中 𝑛 为绝对折射率

𝑛 =

𝑐

𝑣

√

𝜀𝜇

其中 𝑣 为介质中光速 (见麦克斯韦电磁理论); 还可以定义相对折射率

𝑛

𝑛1

光密媒质: 折射率大, 光速小; 光疏媒质: 折射率小, 光速大; 真空折射率为 1

1.1.2 作图法得折射光线

1. 先作两弧

2. 延长入射光线, 交外侧弧与 𝐻

3. 连接圆心与 𝐻, 交内侧弧与 𝐻

′

4. 入射点 𝑀 与 𝐻

′

的连线即为出射光线

由相似三角形及正弦定理即证

1. 作两半圆如图

2. 延长入射光线, 交内侧弧于 𝐻

3. 过 𝐻 作垂线, 交外侧弧于 𝐻

′

4. 入射点 𝑀 与 𝐻

′

的连线 𝐻

′

的连线即为出射光线

由三角函数的定义即证

1.2 全反射

当出射角为 90

◦

时为临界角. 当入射角大于临界角时发生全反射, 即

𝑖

𝑐

= arcsin

𝑛

全反射的应用之一是光纤; 对于光纤, 数值孔径是一个重要的参数

定义 𝑁 𝐴 为

𝑁 𝐴 = 𝑛

sin 𝜃

𝑚𝑎 𝑥

其中 𝑛

为外部介质的折射率,𝜃

𝑚𝑎 𝑥

为最大的入射角 (可以认为是收集角)

如此对于不同的介质只需要知道 𝑁 𝐴 即可算出光纤的最大收集角, 于是厂家只需要标注 𝑁 𝐴 即可

1.3 棱镜与色散

光的最小偏向角满足

𝑛 sin

𝛼

= 𝑛

sin

𝛼 + 𝛿

𝑚

此时有 𝑖

= 𝑖

′

, 𝑖

= 𝑖

′

, 大物实验 (雾)

1.4 光的可逆性原理

光路可逆 (逃)

2 惠更斯原理

2.1 波的几何描述

定义

波线: 波线上每点的切线方向代表该点波传播的方向 (或能量传播的方向)

波面: 同一振源的波场中, 具有相同位相的点组成的曲面.(另一表述：从同一波源发出的波经过相同传播

时间到达各点组成的面)

2.2 惠更斯原理

次波源波面的包络就是下一时刻的波面. 由此可以解释反射定律折射定律和直线传播

3 费马原理

3.1 光程

定义光程为光走过的路程与折射率的乘积

(𝑄𝑃 ) =

∫

𝑃

𝑄

𝑛𝑑𝑙

光在介质中走过的光程, 等于以相同的时间在真空中走过的距离

3.2 费马原理

两点间光线传播的实际路径是光程 (或所需时间) 为平稳 (取极值) 的路径, 即

𝛿

∫

𝑃

𝑄

𝑛𝑑𝑙 = 0

由此可以得到几何光学的基本定律

4 成像

4.1 实像与虚像, 实物与虚物

4.1.1 光源与发光点

发光点: 光源抽象为理想的点光源

实发光点: 实际发出光线的发光点 (有能量产生)

虚发光点: 光线或其反向延长线的交点 (没有能量产生)

4.1.2 光线与光束

光线: 发光体发出的带有辐射能量的线条

光束

在空间上具有一定关系的光线的集合

同心光束: 也称单心光束, 光线本身或延长线交于一点; 均匀各向同性的透明介质中, 同心光束对应有限

远处发光点发出的球面波或无限远处发光点发出的平面波

4.1.3 光具组与理想光具组

光具组: 由若干反射面和折射面组成的系统; 光具组的对称轴称为光轴

其中使通过系统的同心光束仍然保持同心性的光具组称为理想光具组

4.1.4 光学系统的物点与像点

物点: 对光具组来说, 入射光线的发光点或同心光束的顶点

实物点: 发出同心光束的物点

虚物点: 会聚入射光线的顶点, 或入射同心光束延长线的交点

像点: 经过光具组后，出射同心光束的光心交点或顶点

实像点: 会聚同心光束的顶点

虚像点: 发散同心光束反向延长线的顶点

4.2 物方和像方, 物与像的共轭性

4.2.1 光学系统的物方和像方

物方 (物空间): 物点所在的空间 (包含入射光线及其延长线)

像方 (像空间): 像点所在的空间 (包含出射光线及其延长线)

4.2.2 物与像的共轭性

对于给定的光学系统, 无论物与像是实是虚, 均具有共轭特性. 即: 将物点移到原来的像点位置, 并使光线

沿反方向射入光具组, 像点将出现在原来的物点位置上. 这样的一对物像点被称为共轭点

共轭特性是光路可逆性原理的必然结果, 反映了物像之间的关系

4.3 物像之间的等光程性

等光程性: 物点 𝑄 经光具组成像于 𝑄

′

, 则 𝑄 和 𝑄

′

之间的光线等光程. 对于虚像, 需要引入虚光程

按照费马原理, 物像之间等光程. 对于多条光线, 光程只能等于零, 于是得到了像方空间折射率有

𝑛

′

= −𝑛

4.4 等光程面和严格成像

光学系统严格 (理想) 成像的条件 (两)

1. 同心性不变：由物点发出的同心光束通过光具组后保持同心性不变

2. 等光程成像: 由物点发出的所有光线通过光具组后均应以相等的光程到达像点

从等光程性与同心性不变条件的等效性, 可以对物的共轭像点做定义: 对于一个物点, 如果相应的光学系

统能使其发出的所有光线, 均以相等的光程通过另一点, 则该点与物点共轭, 称为像点

等光程面: 若某一曲面的反射或折射能使从某一点发出的光线到达另一点时具有相等的光程, 则该曲面称

为该两点间的等光程面. 只有等光程的反射, 折射才能保证严格成像

4.4.1

反射等光程面

4.4.2 折射等光程面

折射等光程面: 笛卡尔卵形面, 其截面的曲线是笛卡尔卵形线

另外还有个特例为齐明点, 也称不晕点

其中的 𝑄, 𝑄

′

为一对共轭点, 它们满足

𝑄𝐶 =

𝑛

′

𝑛

𝑟, 𝑄

′

𝐶 =

𝑛

′

𝑟

由三角形相似即可得光程相等

由于齐明点旋转仍是齐明点, 而微小圆弧可以近似为线段, 故位于齐明点位置的傍轴小物体可以等光束严

格成像

4.5 折射成像

有折射定律

sin 𝑖

′

𝑛

′

𝑛

认为 𝑖 很小, 就近似为

tan 𝑖

′

𝑛

′

𝑛

对于 𝑦1 与 𝑦2 有

𝑦

𝑑

tan 𝑖

, 𝑦

𝑑

tan 𝑖

′

作比得到

𝑦

tan 𝑖

′

tan 𝑖

𝑛

′

那么得到关系

𝑛𝑦

= 𝑛

′

𝑦

5 轴球面组傍轴成像

5.1 光在单个球面上的折射

顶点: 球面在光具组中的对称点 𝑂

光轴: 使光线不发生偏折的方向，如过球心并垂直于球面的方向

主光轴: 过球面顶点 𝑂 和球心 𝐶 的连线, 一般说光轴都指主光轴

主截面: 包含主光轴的截面

共轴球面光具组: 由一系列球心在一条直线上的折射, 反射面构成的光学系统简称为共轴球面组. 球心的

连线称为光轴 (主光轴)

傍轴成像: 将参与成像的光线限制在光轴附近, 使球面能够近似成像, 称为傍轴成像

5.2 轴上的物点成像, 焦距, 物像距公式

5.2.1 由折射定律推导

在 △𝑄𝑀𝐶 与 △𝑄

′

𝐶𝑀 中应用正弦定理可以得到

𝑝

𝑛(𝑠 + 𝑟)

𝑝

′

𝑛

′

(𝑠

′

−𝑟)

再在 △𝑄𝑀𝐶 与 △𝑄

′

𝑀𝐶 中应用余弦定理得到

𝑝

= 𝑠

+ 4𝑟(𝑠 + 𝑟) sin

𝜑

𝑝

′2

= 𝑠

′2

− 4𝑟(𝑠

′

−𝑟) sin

𝜑

代入正弦定理式可以得到

𝑠

𝑛

(𝑠 + 𝑟)

−

𝑠

′2

𝑛

′2

(𝑠

′

−𝑟)

= −4 sin

𝜑

[

𝑟

𝑛

(𝑠 + 𝑟)

𝑟

𝑛

′2

(𝑠

′

−𝑟)

]

取傍轴近似, 即有

𝜑 = 0

于是得到

𝑛(𝑠 + 𝑟)

= ±

𝑛

′

(𝑠

′

−𝑟)

𝑠

′

对于本图取正号

𝑛

′

𝑠

𝑛

𝑠

𝑛

′

−

𝑛

𝑟

5.2.2 由费马定理推导

有等光程方程

𝐿(𝑄 𝑀𝑄

′

) = 𝐿 (𝑄𝑂𝑄

′

)

于是

𝑛

√

(𝑠 + Δ)

+ ℎ

+ 𝑛

′

√

(𝑥 − Δ)

+ ℎ

= 𝑛𝑠 + 𝑛

′

𝑥

有傍轴近似

Δ << 𝑠, 𝑟, 𝑥, ℎ

= 𝑟

− (𝑟 − Δ)

≈ 2𝑟Δ

代入化简即可得到

𝑛

𝑠

𝑛

′

𝑠

𝑛

′

− 𝑛

𝑟

5.2.3 像方焦距与物方焦距,Gauss 公式

平行光入射, 成像点,𝑄

′

称为像方焦点,𝑠

′

称为像方焦距, 记为 𝑓

′

𝑓

′

= 𝑠

′

𝑛

′

𝑟

𝑛

′

− 𝑛

𝑛

′

折射后出射光线为平行光, 此时物点 𝑄 称为物方焦点, 记为 𝐹,𝑠 称为物方焦距, 记为 𝑓

𝑓 = 𝑠 =

𝑛𝑟

𝑛

′

− 𝑛

𝑛

其中 Φ 称为光焦度, 定义为

Φ =

𝑛

′

− 𝑛

𝑟

单位为屈光度,Φ > 0 时会聚光线,Φ < 0 时发散光线,Φ = 0 时为平面折射

代入成像公式得到

𝑓

′

𝑠

′

𝑓

𝑠

= 1

称为高斯物像公式

5.2.4 符号规则约定

物距 𝑠

物点 𝑄 位于球面顶点 𝑂 的左侧, 为实物点,𝑠 > 0; 反之为虚物点,𝑠 < 0

像距 𝑠

′

像点 𝑄

′

位于球面顶点 𝑂 的右侧, 为实像点,𝑠

′

> 0; 反之为虚像点,𝑠

′

< 0

半径

球心 𝐶 位于球面顶点 𝑂 的右侧时,𝑟 > 0, 反之 𝑟 < 0

角度

以光轴 (主光轴或球面法线) 为基准, 以锐角逆时针偏向为正, 顺时针偏向为负

物像及轴外点高度

以主光轴为基准, 向上为正, 向下为负

反射球面

光线经过反射后, 从右向左传播, 且物方和像方位于球面同一侧. 因此, 若像点 𝑄

′

位于球面顶点 𝑂 的左

侧, 为实像点,𝑠

′

> 0; 反之为虚像点,𝑠

′

< 0

5.3 傍轴物点成像与横向放大率

5.3.1 傍轴物点的条件

1. 当球面 𝑆(物) 和相应的 𝑆

′

(像) 的横向线度远远小于该球面成像系统的物距 𝑠, 像距 𝑠

′

及折射球面 𝑆

的曲率半径 𝑟 时

2. 或球面 𝑆 上任意一点发出的同心光束的光轴与系统主光轴之间的夹角 𝜑 很小时

傍轴条件下, 球面 𝑆 和 𝑆

′

分别与过 𝑄 和 𝑄

′

点的垂轴平面重合. 成像系统的物像共轭面近似简化为一对

垂轴平面

5.3.2 由等光程条件导出傍轴物点的成像规律

两光程相等

𝑛

√

𝑠

+ 𝑦

+ 𝑛

′

√

𝑠

′2

+ (−𝑦)

= 𝑛

√

(𝑠 + 𝛿)

+ (ℎ − 𝑦)

+ 𝑛

′

√

(𝑠

′

− 𝛿)

+ [ℎ + (−𝑦

′

)]

其中

𝛿 = 𝑟 −

√

𝑟

− ℎ

有傍轴条件

𝑠

, 𝑠

′2

, 𝑟

>> ℎ

, 𝛿

𝑠

, 𝑠

′2

, 𝑟

>> 𝑦

, 𝑦

′2

代入并对根号取一级近似得到成像条件

𝑛

𝑠

𝑦 +

𝑛

′

𝑠

′

𝑦

′

= 0

并且

𝑛

𝑠

𝑛

′

𝑠

′

−

𝑛

′

− 𝑛

𝑟

= 0

5.3.3 横向放大率

定义横向放大率为像高与物高之比

𝑉 ≡

𝑦

′

𝑦

𝑉

> 1 像放大,

𝑉

< 1 像缩小

𝑉 > 0 像正立,𝑉 < 0 像倒立

对于折射球面有

−𝑦

′

𝑦

𝑠

′

tan 𝑖

′

𝑠 tan 𝑖

≈

𝑠

′

sin 𝑖

′

𝑠 sin 𝑖

𝑛𝑠

′

𝑛

′

𝑠

也就是

𝑉 ≡

𝑦

′

𝑦

= −

𝑛𝑠

′

𝑛

′

𝑠

对于反射球面有

𝑉 = −

𝑠

′

𝑠

5.4 拉格朗日—亥姆霍兹定理

有

tan 𝑢

′

tan 𝑢

−ℎ/(𝑠

′

− 𝛿)

ℎ/(𝑠 + 𝛿)

≈ −

𝑠

′

代入折射球面镜的 𝑉 表达式得到 Lagrange-Helmhotz 恒等式

𝑦𝑛𝑢 = 𝑦

′

𝑛

′

𝑢

′

给出了物方物理量和像方物理量之间独立于过程之外的的恒定关系

6 薄透镜

6.1 薄透镜的成像特性

6.1.1 薄透镜

薄透镜由两个折射球面组成, 过两球面圆心的直线为光轴, 顶点间距 𝑑 满足

𝑑 <<

𝑠

𝑎

可以认为 𝑑 = 0, 两球面顶点重合, 称为光心, 记为 𝑂

6.1.2 薄透镜成像的物像关系

可以由逐次成像得到薄透镜的成像特性

第一次成像

𝑛

𝐿

𝑠

′

𝑛

𝑠

𝑛

𝐿

− 𝑛

𝑟

第二次成像

𝑛

′

𝑠

′

𝑛

𝐿

𝑑 − 𝑠

′

𝑛

′

− 𝑛

𝐿

𝑟

考察整体, 令 𝑠

= 𝑠, 𝑠

′

= 𝑠

′

, 得到

𝑛

′

𝑠

′

𝑛

𝑠

𝑛

𝐿

− 𝑛

𝑟

𝑛

′

− 𝑛

𝐿

𝑟

−

𝑛

𝐿

𝑠

′

−

𝑛

𝐿

𝑑 − 𝑠

′

薄透镜认为 𝑑 = 0, 就得到

𝑛

′

𝑠

′

𝑛

𝑠

𝑛

𝐿

− 𝑛

𝑟

𝑛

′

− 𝑛

𝐿

𝑟

若再定义











𝑛

𝐿

− 𝑛

𝑟

𝑛

′

− 𝑛

𝐿

𝑟

Φ = Φ

+ Φ

上式就化为

𝑛

′

𝑠

′

𝑛

𝑠

= Φ

6.1.3 薄透镜的焦距公式

令 𝑠

′

= ∞ 得到物方焦距

𝑓 =

𝑛

令 𝑠 = ∞ 得到像方焦距

𝑓

′

𝑛

′

若薄透镜在空气中, 则有 𝑛 = 𝑛

′

= 1, 那么

𝑓 = 𝑓

′

距离从光心算起就有 Gauss 公式

𝑠

′

𝑠

𝑓

距离从焦点算起就有 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 物像公式

𝑥𝑥

′

= 𝑓 𝑓

′

符号约定为

物点 𝑄 在 𝐹 的左边时,𝑥 > 0; 反之, 则 𝑥 < 0

像点 𝑄

′

在 𝐹

′

的左侧时,𝑥

′

< 0; 反之, 则 𝑥

′

> 0

6.1.4 正透镜与负透镜

1. 焦距为正值 ( 𝑓 和 𝑓

′

> 0) 的透镜是正透镜; 焦距为负值 ( 𝑓 和 𝑓

′

< 0) 的透镜是负透镜

2. 正透镜的像方焦点在光线出射方 (具有实焦点); 负透镜的像方焦点在光线入射方 (具有虚焦点)

3. 正透镜使入射的平行光汇聚在像方焦点; 负透镜使入射的平行光发散, 反向延长线通过像方焦点

4. 空气中, 中间厚边缘薄的透镜是正透镜; 中间薄边缘厚的透镜是负透镜

6.1.5 薄透镜成像的横向放大率

总放大率为两次成像的放大率的乘积

于是就有

𝑉 = 𝑉

𝑉

= −

𝑛𝑠

′

𝑛

′

𝑠

Lagrange-Helmhotz 恒等式依然成立

𝑦𝑛𝑢 = 𝑦

′

𝑛

′

𝑢

′

横向放大率用高斯公式表示为

𝑉 = −

𝑓 𝑠

′

𝑓

′

𝑠

用牛顿公式表示为

𝑉 = −

𝑓

𝑥

= −

𝑥

′

𝑓

′

6.2 密接薄透镜组

考察两个透镜密接

𝑠

′

𝑠

𝑓

𝑠

′

𝑠

𝑓

紧密接触有

𝑠

= −𝑠

′

于是就有

𝑠

′

𝑠

𝑓

其中

𝑓

6.3 焦平面

6.3.1 物方焦面与像方焦面

物方焦面: 通过物方焦点垂直于光轴的平面, 又称第一焦面, 前焦面, 记为 𝐹. 物方焦面上的点成像于像方

轴外无穷远处 (与光轴成一定角度的平行光束)

像方焦面：通过像方焦点垂直于光轴的平面, 又称第二焦面, 后焦面, 记为 𝐹

′

. 物方轴外无穷远处的物点

(与光轴成一定角度的平行光束) 成像于像方焦面上

6.3.2 薄透镜的光学参数定义

特性: 极薄的平行玻璃平板, 两侧折射率相等, 通过光心的光线方向不变

副光轴: 通过光心的直线

主光轴: 光具组的光轴, 简称主轴

6.4 薄透镜作图法

6.4.1 三对共轭的特殊光线

具体作图法略

6.5 透镜组成像

逐次成像即可, 略

7 理想光具组理论

7.1 理想光具组与共线变换

物方的每个同心光束都可以转换为像方的一个同心光束, 称为理想成像. 满足理想成像要求的光具组称为

理想光具组

7.1.1 理想光具组的性质

1. 能够保持光束的同心性和几何相似性

2. 对于物方的每一个点, 每一条线和每一个面, 都对应存在一个像方的共轭点, 共轭线和共轭面

3. 理想光具组可以看成是实际光学系统傍轴区在空间的无限扩展

轴对称的理想光具组有附加性质

1. 光轴上任意点的共轭点仍在光轴上

2. 垂直于光轴的平面, 其共轭面仍然与光轴垂直

3. 垂直于光轴的同一平面内，横向放大率相同

4. 垂直于光轴的不同平面内, 横向放大率一般不等. 但只要有两个这样的平面其 𝑉 相等, 则 𝑉 处处相

等. 此类光具组中, 平行于光轴的光线, 其共轭光线仍与光轴平行。

7.2 共轴理想光具组的基点和基面

7.2.1 焦点与焦平面

物方焦点: 与光轴平行的入射光线经光学系统后与光轴的交点为像方焦点 𝐹

′

; 物方光轴上一点发出的光

线经光学系统后与光轴平行, 该点为物方焦点 𝐹

像方焦点: 过焦点与光轴垂直的平面为焦平面. 与无穷远处的像平面共轭的物平面为物方焦平面 F; 与无

穷远处的物平面共轭的像平面为像方焦平面 F

′

. 焦平面就是过焦点垂直于光轴的平面

7.2.2 主平面与主点

主平面: 横向 (垂轴) 放大率等于 +1 的一对共轭平面为主平面 (单位面). 物方主平面 H, 位于物空间; 像

方主平面 H, 位于像空间

主点: 主平面与主光轴的交点为主点. 物方主点 H, 像方主点 H

7.2.3 任意理想共轴光具组物距, 像距, 焦距的标定

任意理想光具组物距、像距、焦距的标定

1. 物距 𝑠 是物方主点 𝐻 到轴上物点 𝑄 的距离

2. 像距 𝑠

′

是像方主点 𝐻

′

到轴上像点 𝑄

′

的距离

3. 物方焦距 𝑓 和像方焦距 𝑓

′

分别是物方焦点 𝐹 到主点 𝐻, 以及像方焦点 𝐹

′

到主点 𝐻

′

的距离

任意理想光具组的符号法则 (入射光左侧射入)

1. 物方若 𝑄 或 𝐹 在 𝐻 左侧, 则 𝑠 或 𝑓 > 0, 反之则 < 0

2. 像方若 𝑄

′

或 𝐹

′

在 𝐻

′

右侧, 则 𝑠

′

或 𝑓

′

> 0, 反之则 < 0

薄透镜是理想光具组的特例, 两个主平面 (主点) 间距趋于 0

7.3 作图法确定物像关系

1. 物方光线到达物方主平面后一定会从像方主平面的共轭点射出

2. 物方平行光入射在像方主平面折射向像方焦点

3. 物方焦点入射在物方主平面折射为平行光

对于任意的光线, 都可以得到其共轭光线

7.4 计算法确定物像关系

Gauss 公式的距离从主平面算起,Newton 公式的距离从焦平面算起

𝑓

′

𝑠

′

𝑓

𝑠

= 1

𝑥𝑥

′

= 𝑓 𝑓

′

7.5 理想光具组的联合

可以由逐次成像作图确定焦平面和主平面

还可以通过三角形相似计算得到基点和基平面