光的干涉
目录
1 波的叠加和波的干涉 3
1.1 波的叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 波的干涉和相干迭加条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 相干条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 频率不同单色波的叠加 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 相位差的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 干涉的反衬度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 两个点光源的干涉 6
2.1 两列球面波的干涉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 相干光的获得 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 杨氏双缝 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 两束平行光的干涉 9
3.1 干涉条纹的间隔 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 条纹的空间频率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 反衬度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 多光束干涉 10
4.1 多光束干涉的强度分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 法布里-珀罗干涉仪 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
1 波的叠加和波的干涉
1.1 波的叠加原理
波的独立传播定律: 当两列波同时存在时, 在它们的叠加区域内, 其传播互不干扰; 光在真空中总是独立传
播的, 而在媒质中由于和实物粒子的相互作用, 有时会出现非线性
交迭区域内每个点的振动时各列波单独在该点产生振动的矢量线性迭加, 表述为
˜
𝑈(𝑝, 𝑡) =
˜
𝑈
1
(𝑝, 𝑡) +
˜
𝑈
2
(𝑝, 𝑡) + ···
该原理有成立的条件:
1. 传播介质为线性介质 (太阳镜的变色玻璃为非线性介质)
2. 振动不太强. 振动太强时线性介质可能变为非线性介质
3. 不是强度的叠加, 也不是振幅的简单相加, 而是振动矢量 (瞬时值) 的叠加
4. 对于电磁波, 就是电场强度 (电场分量, 光矢量), 磁场强度的叠加
定态光波叠加的方法: 对于同频率同振动方向的单色光可以有
1. 振幅矢量图解法
2. 复数法
瞬时值矢量方法: 设两列光
Ψ
1
= 𝐴
1
(𝑃)cos[𝜑
1
(𝑃) − 𝜔𝑡]
Ψ
2
= 𝐴
2
(𝑃)cos[𝜑
2
(𝑃) − 𝜔𝑡]
叠加满足余弦定理
叠加后
Ψ = Ψ
1
+ Ψ
2
= 𝐴(𝑃)cos[𝜑(𝑃) −𝜔𝑡]
𝐴
2
(𝑃) = 𝐴
2
1
+ 𝐴
2
2
+ 2 𝐴
1
𝐴
2
cos(𝜑
1
− 𝜑
2
)
振幅矢量
˜
𝑈 =
˜
𝑈
𝑖
复数法设两列光
˜
Ψ
1
= 𝐴
1
𝑒
𝑖 (𝜑
1
−𝑖𝜔𝑡 )
=
˜
𝑈
1
𝑒
−𝑖𝜔𝑡
˜
Ψ
2
= 𝐴
1
𝑒
𝑖 (𝜑
2
−𝑖𝜔𝑡 )
=
˜
𝑈
2
𝑒
−𝑖𝜔𝑡
其中复振幅为
˜
𝑈
1
= 𝐴
1
𝑒
𝑖 𝜑
1
,
˜
𝑈
2
= 𝐴
2
𝑒
𝑖 𝜑
2
那么就可以叠加
˜
𝑃𝑠𝑖 =
˜
Ψ
1
+
˜
Ψ
2
=
˜
𝑈𝑒
𝑖 𝜔𝑡
其中
˜
𝑈 =
˜
𝑈
1
+
˜
𝑈
2
1.2 波的干涉和相干迭加条件
1.2.1 相干条件
考察两列波
˜
Ψ
1
(𝑝, 𝑡) = A
1
(𝑝)𝑒
−𝑖[𝜔
1
𝑡 −𝜑
1
(𝑝)]
˜
Ψ
2
(𝑝, 𝑡) = A
2
(𝑝)𝑒
−𝑖[𝜔
2
𝑡 −𝜑
2
(𝑝)]
合成波为
˜
Ψ =
˜
Ψ
1
+
˜
Ψ
2
其强度为
𝐼 (𝑝) =
˜
𝑈 ·
˜
𝑈
∗
= 𝐼
1
(𝑝) + 𝐼
2
(𝑝) + 2A
1
(𝑝) · A
2
(𝑝) cos[(𝜔
1
− 𝜔
2
) − 𝛿(𝑝)]
其中
𝛿(𝑝) = 𝜑
1
(𝑝) − 𝜑
2
(𝑝)
为两列波在 𝑝 点的位相差, 最后一项为干涉项. 由此得到了相干条件
1. 频率相同 (一切波动稳定干涉的必要条件)
2. 存在着相互平行的振动分量 (矢量波的要求)
3. 存在着稳定的位相差
1.2.2 频率不同单色波的叠加
考察振动方向相同, 传播方向相同, 频率不同的单色波的叠加
Ψ
1
= 𝐴
0
cos(𝜔
1
𝑡 − 𝑘
1
𝑧)
Ψ
2
= 𝐴
0
cos(𝜔
2
𝑡 − 𝑘
2
𝑧)
则
Ψ = Ψ
1
+ Ψ
2
= 2 𝐴
0
cos(𝜔
𝑚
𝑡 − 𝑘
𝑚
𝑧)cos(𝜔𝑡 − 𝑘 𝑧)
其中
𝜔
𝑚
=
𝜔
1
− 𝜔
2
2
, 𝜔 =
𝜔
1
+ 𝜔
2
2
, 𝑘
𝑚
=
𝑘
1
− 𝑘
2
2
, 𝑘 =
𝑘
1
+ 𝑘
2
2
叠加后不是定态光波, 形成光学拍, 拍频为 2𝜔
𝑚
, 强度分布随时间和空间变化
1.2.3 相位差的讨论
光强的测量值只能是一定时间的平均值. 定态光波的光强, 就是电场强度振幅平方的平均值
𝐼 =
1
𝜏
𝜏
0
𝐴
2
𝑑𝑡 =
1
𝜏
𝐴
2
1
+ 𝐴
2
2
+ 2 𝐴
1
𝐴
2
cos(𝜑
2
− 𝜑
1
)
𝑑𝑡 = 𝐴
2
1
+ 𝐴
2
2
+ 2 𝐴
1
𝐴
2
1
𝜏
𝜏
0
cos(Δ𝜑)𝑑𝑡
Δ𝜑 = 𝜑
1
− 𝜑
2
, 为两列波在空间 𝑃 点的相位差
若 Δ𝜑 在观察事件内不是定值, 是时间的随机函数, 则积分为零, 有
𝐼 = 𝐼
1
+ 𝐼
2
是两列光的简单相加, 没有干涉线性, 或是说不相干
希望 Δ𝜑 在观察时间内不时间改变
𝐴
2
1
+ 𝐴
2
2
+ 2 𝐴
1
𝐴
2
1
𝜏
𝜏
0
cos(Δ𝜑)𝑑𝑡 = 𝐴
2
1
+ 𝐴
2
2
+ 2 𝐴
1
𝐴
2
cos(Δ𝜑)
Δ𝜑 只与空间位置有关, 即两列波在空间不同地点有不同的相位差, 叠加后有不同的强度, 出现干涉现象
当 cos Δ𝜑 = 1 时干涉相长,cos Δ𝜑 干涉相消
两个光源之间有固定的位相差, 能够进行有效的干涉, 则称其为相干光源; 反之没有固定的位相差, 则称为
非相干光源
1.2.4 干涉的反衬度
反衬度: 在接收屏上一选定的区域中, 取光强的最大值和最小值, 有
𝛾 =
𝐼
𝑀
− 𝐼
𝑚
𝐼
𝑀
+ 𝐼
𝑚
, 0 ≤ 𝛾 ≤ 1
对于两束光的干涉, 有
𝐼
𝑀
= (𝐴
1
+ 𝐴
2
)
2
, 𝐼
𝑚
= (𝐴
1
− 𝐴
2
)
2
则
𝛾 =
2
𝐴
1
𝐴
2
1 +
𝐴
1
𝐴
2
2
想要得到清晰可见的干涉图, 需要振幅比不能过大, 以及需要满足傍轴条件 (使得非相干的部分占比尽量
小)
2 两个点光源的干涉
2.1 两列球面波的干涉
点光源 𝑆
1
和 𝑆
2
发出球面波, 在场点 𝑃 相遇
Ψ
1
= 𝐴
1
cos(𝑘
1
𝑟
1
− 𝜔𝑡 + 𝜑
0
) = 𝐴
1
cos(
2𝜋
𝜆
𝑛
1
𝑟
1
− 𝜔𝑡 + 𝜑
10
)
Ψ
2
= 𝐴
2
cos(𝑘
2
𝑟
2
− 𝜔𝑡 + 𝜑
0
) = 𝐴
2
cos(
2𝜋
𝜆
𝑛
2
𝑟
2
− 𝜔𝑡 + 𝜑
10
)
则空间中任意一点 𝑃 的强度
𝐼 (𝑝) = 𝐼
1
(𝑝) + 𝐼
2
(𝑝2
𝐼
1
(𝑝)𝐼
2
(𝑝) cos 𝛿(𝑝)
认为两个光源强度相等 𝐴
1
(𝑝) = 𝐴
2
(𝑝) = 𝐴, 并且有远场条件 𝑟
1
, 𝑟
2
>>
|
𝑆
1
𝑆
2
|
, 则
𝐼 (𝑝) = 4 𝐴
2
cos
2
𝛿(𝑝)
2
此时
𝛿(𝑝) =
2𝜋
𝜆
(𝑛
2
𝑟
2
− 𝑛
1
𝑟
1
) =
2𝜋
𝜆
Δ𝐿
Δ𝐿 为光程差
Δ𝐿 = 𝑛
2
𝑟
2
− 𝑛
1
𝑟
1
若在真空中有条纹
极大值 : Δ𝐿 = 𝑗𝜆
极小值 : Δ𝐿 = 𝑗 +
1
2
𝜆
其中
𝑗 = 0, ±1, ±2, ···
称为干涉级数
2.2 相干光的获得
普通光源是热辐射或自发辐射, 单位时间内发出大量随机的波列, 它们的相位没有关系, 即使波长相等也
是非相干的
对于其中标记为 𝑚, 𝑛 的任意两列定态光波, 叠加后
𝐼
𝑚𝑛
= 𝐴
2
𝑚
+
𝐴
2
𝑛
+ 2 𝐴
𝑚
𝐴
𝑛
1
𝜏
𝜏
0
cos(Δ𝜑
𝑚𝑛
)𝑑𝑡 = 𝐴
2
𝑚
+
𝐴
2
𝑛
+ 2 𝐴
𝑚
𝐴
𝑛
cos(Δ𝜑
𝑚𝑛
)
求和
𝐼
𝑚𝑛
=
𝑚𝑛
𝐴
2
𝑚
+ 𝐴
2
𝑛
+
𝑚𝑛
2𝐴
𝑚
𝐴
𝑛
cos Δ𝜑
𝑚𝑛
=
𝐴
2
𝑚
+ 𝐴
2
𝑛
对于波场来说, 干涉现象消失, 各处光强平均
但是将每一列波都分为几部分, 然后进行叠加, 这几部分是相干的, 即” 自己和自己相干”
2.3 杨氏双缝
𝑆 中的各成分和自己是相干的, 通过双缝后相干叠加, 而 𝑆 中不同的成分在通过双缝后非相干叠加, 平均
意义上形成了稳定的干涉条纹
不同波列之间非相干叠加. 不同波列形成的干涉条纹相同
干涉条纹的形状: 在傍轴条件下, 等强线为一组与 𝑦
′
轴平行的直线
𝑟
1
=
(𝑥 − 𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
+ (𝑧 − 𝑧
′
)
2
设点源和接收场都满足傍轴条件
:
𝑑
2
<< 𝐷
2
, 𝜌
2
<< 𝐷
2
取 𝑧 = 0 , 𝑧
′
= 𝐷, 则 𝑟
1
可以近似为
𝑟
1
≈ 𝐷 +
𝜌
2
0
+ 𝑥
′2
+ 𝑦
′2
2𝐷
−
𝑥𝑥
′
+ 𝑦𝑦
′
𝐷
希望求出干涉条纹, 不妨令
𝑥 =
𝑑
2
, 𝑦 = 0
于是可以得到 𝑟
1
, 𝑟
2
的近似
𝑟
1
= 𝐷 +
𝑑
2
2
+ 𝑥
′2
+ 𝑦
′2
2𝐷
−
𝑑
2𝐷
𝑥
′
𝑟
2
= 𝐷 +
𝑑
2
2
+ 𝑥
′2
+ 𝑦
′2
2𝐷
+
𝑑
2𝐷
𝑥
′
由于是球面波. 有两列波在 𝑃 点的振幅和相位分别是
𝐴
𝐷
, 𝑘𝑟
1
, 𝑘𝑟
2
于是就能分别得到两列波复振幅的近似
˜
𝑈
1
(𝑥
′
, 𝑦
′
) =
𝐴
𝐷
𝑒
𝑖𝑘
(
𝑑
2
)
2
+𝑥
′2
+𝑦
′2
2𝐷
𝑒
−𝑖 𝑘𝑑
2𝐷
𝑥
′
˜
𝑈
2
(𝑥
′
, 𝑦
′
) =
𝐴
𝐷
𝑒
𝑖𝑘
(
𝑑
2
)
2
+𝑥
′2
+𝑦
′2
2𝐷
𝑒
𝑖𝑘𝑑
2𝐷
𝑥
′
两式相加就能得到合成的振幅
˜
𝑈(𝑥
′
, 𝑦
′
) =
˜
𝑈
1
(𝑥
′
, 𝑦
′
) +
˜
𝑈
2
(𝑥
′
, 𝑦
′
) =
2𝐴
𝐷
cos
𝑘𝑑
2𝐷
𝑥
′
𝑒
𝑖 𝑗
𝐷+
(
𝑑
2
)
2
+𝑥
′2
+𝑦
′2
2𝐷
取其实部平方即可得到强度分布
𝐼 (𝑥
′
, 𝑦
′
) = 4𝐼
0
cos
2
𝑘𝑑
2𝐷
𝑥
′
其中
𝐼
0
=
𝐴
𝐷
2
亮条纹
𝑘𝑑
2𝐷
𝑥
′
= 𝑗 𝜋 ⇒ 𝑥
′
= 𝑗 𝜋
2𝐷
𝑘𝑑
= 𝑗
𝐷
𝑑
𝜆
暗条纹
𝑘𝑑
2𝐷
𝑥
′
= (2 𝑗 + 1)
𝜋
2
⇒ 𝑥
′
= (2 𝑗 + 1)
𝜋
2
2𝐷
𝑘𝑑
=
2 𝑗 + 1
2
𝐷
𝑑
𝜆
3 两束平行光的干涉
设有两列同频率的单色光, 振幅分别为 𝐴
1
, 𝐴
2
, 初相位为 𝜑
1
, 𝜑
2
, 两束平行光束的传播方向为
(𝛼
1
, 𝛽
1
, 𝛾
1
) , (𝛼
2
, 𝛽
2
, 𝛾
2
)
其中 𝛼, 𝛽, 𝛾 分别为对 𝑥, 𝑦, 𝑧 的夹角, 于是
k = 𝑘 (cos 𝛼e
x
+ cos 𝛽e
y
+ cos 𝛾e
z
) , r = 𝑥e
x
+ 𝑦e
y
+ 𝑧e
z
于是相位就有
𝜑
1
(𝑥
′
, 𝑦
′
, 𝑧
′
) = 𝑘 (𝑥
′
cos 𝛼
1
+ 𝑦
′
cos 𝛽
1
+ 𝑧
′
cos 𝛾
1
) − 𝜑
1
𝜑
2
(𝑥
′
, 𝑦
′
, 𝑧
′
) = 𝑘 (𝑥
′
cos 𝛼
2
+ 𝑦
′
cos 𝛽
2
+ 𝑧
′
cos 𝛾
2
) − 𝜑
2
于是相位差
𝛿(𝑥
′
, 𝑦
′
, 𝑧
′
) = 𝑘𝑥
′
(cos 𝛼
1
− 𝑐𝑜𝑠𝛼
2
) + 𝑘 𝑦
′
(cos 𝛽
1
− cos 𝛽
2
) + 𝑘 𝑦
′
(cos 𝛾
1
− cos 𝛾
2
) − (𝜑
1
− 𝜑
2
)
得到等相位面为平面, 记
p = (cos 𝛼
1
− cos 𝛼
2
, cos 𝛽
1
− cos 𝛽
2
, cos 𝛾
1
− cos 𝛾
2
)
则上式化为
𝛿(r) = 𝑘r · p
3.1 干涉条纹的间隔
暗亮条纹的间隔即相差 2𝜋 相位的等相位面之间的距离. 做一位移得到
𝑘 (r + ∆r) · p − 𝑘r · p = 2𝜋
即
𝑘∆r · p = 2𝜋
值得注意的是此处的 p 也是等相位面的法向量, 于是所求距离就是 ∆r 在 p 上的投影, 也就是
𝑑 =
∆r · p
|
p
|
=
𝜆
|
p
|
若希望求得 𝑥 轴上干涉条纹的间距 Δ𝑥, 即 𝑥 轴上移动的 Δ𝑥 矢量在 p 上的投影为 𝑑, 即
(Δ𝑥, 0, 0) · p
|
p
|
=
𝜆
|
p
|
于是得到了
Δ𝑥 =
𝜆
cos 𝛼
1
− cos 𝛼
2
类似的还可以得到
Δ𝑦 =
𝜆
cos 𝛽
1
− cos 𝛽
2
Δ 𝑧 =
𝜆
cos 𝛾
1
− cos 𝛾
2
3.2 条纹的空间频率
对于整个空间来说, 条纹的空间频率即
𝑓 =
1
𝑑
=
|
p
|
𝜆
在 𝑥, 𝑦, 𝑧 上的空间频率分别就是
𝑓
𝑥
=
cos 𝛼
1
− cos 𝛼
2
𝜆
𝑓
𝑦
=
cos 𝛽
1
− cos 𝛽
2
𝜆
𝑓
𝑥
=
cos 𝛾 − cos 𝛾
𝜆
3.3 反衬度
有光强 (注意此处 𝛾 是反衬度的意思)
𝐼 = (𝐴
2
1
+ 𝐴
2
2
)(1 + 𝛾 cos(𝑘r · p + 𝛿𝜑
0
))
于是就能得到反衬度
𝛾 =
2𝐴
1
𝐴
2
𝐴
2
1
+ 𝐴
2
2
4 多光束干涉
4.1 多光束干涉的强度分布
当 𝑛
2
= 𝑛
1
时有斯托克斯倒逆关系
𝑟 = −𝑟
′
, 𝑟
2
+ 𝑡𝑡
′
= 1
对于反射有
𝐴
1
= 𝐴𝑟
𝐴
2
= 𝐴𝑡𝑟
′
𝑡
′
= −𝐴𝑡𝑟𝑡
′
𝐴
3
= 𝐴𝑡𝑟
′
𝑟𝑟
′
𝑡
′
= −𝐴𝑡𝑟
3
𝑡
′
···
𝐴
′
1
= 𝐴𝑡𝑡
′
𝐴
′
2
= 𝐴𝑡𝑟𝑟
′
𝑡
′
= 𝐴𝑡𝑟
2
𝑡
′
𝐴
′
3
= 𝐴𝑡𝑟
′
𝑟𝑟
′
𝑟𝑡
′
= 𝐴𝑡𝑟
4
𝑡
′
···
于是对于透射光
˜
𝑈
𝑇
= 𝐴𝑡𝑡 (1 +𝑟
2
𝑒
𝑖 𝛿
+𝑟
4
𝑒
𝑖2𝛿
+ ···) =
𝐴𝑡𝑡
1 − 𝑟
2
𝑒
𝑖 𝛿
那么透射光的光强为
𝐼
𝑇
=
˜
𝑈
𝑇
˜
𝑈
∗
𝑇
=
𝐼
0
(1 − 𝑟
2
)
2
1 − 2𝑟
2
cos 𝛿 +𝑟
4
=
𝐼
0
1 +
4𝑅 sin
2
(𝛿/2)
(1−𝑅)
2
其中 𝑟 为振幅反射率,𝑅 = 𝑟
2
为能量反射率
于是对于反射光就有
𝐼
𝑅
= 𝐼
0
− 𝐼
𝑇
=
𝐼
0
1 +
(1−𝑅)
2
4𝑅 sin
2
(𝛿/2)
定义精细度系数为
𝐹 =
4𝑅
(1 − 𝑅)
2
则反射光和透射光就为
𝐼
𝑇
=
𝐼
0
1 + 𝐹 sin
2
(Δ 𝜑/2)
, 𝐼
𝑅
=
𝐼
0
1 +
1
𝐹 sin
2
(Δ𝜑/2)
4.2 法布里-珀罗干涉仪
透射亮纹的锐度, 定义相位差半值宽度, 为光强等于极大值一半时曲线上相应两点的相位差间隔
𝐼
𝑇
𝐼
0
=
1
1 + 𝐹 sin
2
(𝑚𝜋 ±
𝛿
4
)
=
1
2
对于锐线
𝛿 << 2𝜋
则
sin(𝛿/4) ≈ 𝛿/4
那么
𝛿 =
4
√
𝐹
=
2(1 − 𝑅)
√
𝑅
以 𝑖 作为自变量表示半宽度
Δ𝜑 =
4𝜋
𝜆
𝑛ℎ cos 𝑖
𝑚
微分得到
𝛿 =
4𝜋
𝜆
𝑛ℎ sin 𝑖
𝑚
Δ𝑖
𝑚