光的吸收色散与散射
目录
1 光的吸收 2
1.1 吸收的线性规律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 复数折射率的意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 光的吸收与波长的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 光的色散 3
2.1 正常色散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 反常色散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 群速度 5
3.1 波拍和波包的群速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 群速度与色散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 连续谱的群速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 群速度与相速度关系的几个表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 迈克尔逊实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 光的散射 10
4.1 瑞利散射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 米氏散射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
1 光的吸收
1.1 吸收的线性规律
光强随穿进媒质的深度而减弱的现象称为媒质对光的吸收
吸收服从线性规律, 即
−𝑑𝐼 = 𝛼𝐼𝑑𝑥
也就是
𝐼 = 𝐼
0
𝑒
− 𝛼𝑥
𝛼 称为吸收系数, 溶液中有比尔定律
𝛼 = 𝐴𝐶
其中 𝐴 为吸光度,𝐶 为浓度
1.2 复数折射率的意义
复折射率同时表示折射和吸收. 写出无衰减的电磁波
˜
𝐸 =
˜
𝐸
0
𝑒𝑥 𝑝
h
−𝑖𝜔
𝑡 −
𝑥
𝑣
i
定义
˜
𝑛 =
𝑐
𝑣
(1 + 𝑖𝜅)
于是电矢量就写为了
˜
𝐸 =
˜
𝐸
0
𝑒𝑥 𝑝
h
−𝑖𝜔
𝑡 −
˜
𝑛
𝑥
𝑐
i
=
˜
𝐸
0
𝑒𝑥 𝑝
−
𝑛𝜅𝜔𝑥
𝑐
𝑒𝑥 𝑝
h
−𝑖𝜔
𝑡 − 𝑛
𝑥
𝑐
i
前一项表示吸收, 后一项表示相位. 此时的光强满足
𝐼 =
|
𝐸
0
|
2
𝑒𝑥 𝑝
−
2𝑛𝜅𝜔𝑥
𝑐
于是吸收系数就是
𝛼 =
2𝑛𝜅𝜔
𝑐
=
4𝜋𝑛𝑘𝜅
𝜆
1.3 光的吸收与波长的关系
吸收分为普遍吸收与选择吸收. 选择吸收依赖于波长, 普遍吸收与波长几乎无关
所有电磁波段考虑, 选择吸收是光和物质作用的普遍规律. 任何介质都有吸收限, 吸收限的长波一侧表现
普遍吸收, 短波一侧表现为选择吸收
普遍吸收仅是强度下降, 不改变颜色, 而选择吸收不仅强度下降, 颜色也改变
选择吸收反映了物质的能级结构. 介质中的原子吸收入射光, 发生跃迁. 能级间隔与入射光子能量匹配, 受
激吸收. 选择吸收会形成吸收光谱
2 光的色散
2.1 正常色散
光在媒质中的传播速度或折射率随波长改变, 称为色散. 色散不是衍射. 色散率定义为
𝑑𝑛
𝑑𝜆
利用牛顿正交棱镜实验可以得到色散曲线
正常色散折射率随波长单调下降, 并且下降率在短波侧更大. 有科希经验公式
𝑛(𝜆) = 𝐴 +
𝐵
𝜆
2
+
𝐶
𝜆
4
不同介质的色散曲线可以绘制如下
在可见光波段, 波长范围不大时可以取前两项
𝑛 = 𝐴 +
𝐵
𝜆
,
𝑑𝑛
𝑑𝜆
= −2
𝐵
𝜆
3
下图列出一些常用的光学玻璃的参数
Cauchy 公式只适用于正常色散区, 在可见光波段和实际情况吻合的比较好, 红外波段误差较大. 吻合更好
的有 Sellmeier 经验公式
𝑛
2
= 1 +
𝐵
1
𝜆
2
𝜆
2
− 𝐶
1
+
𝐵
2
𝜆
2
𝜆
2
− 𝐶
2
+
𝐵
3
𝜆
2
𝜆
2
− 𝐶
3
可以列出一些介质的参数
2.2 反常色散
折射率随波长单调上升称为反常色散
在吸收带中, 光不能通过, 无法测折射率, 是反常色散
一种物质的全部色散曲线由一系列正常色散段和反常色散段构成, 不同正常色散段的常数 A,B,C 不同, 如
图
3 群速度
3.1 波拍和波包的群速度
平面单色波可以表示为
˜
𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑥 𝑝 [𝑖(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]
对于时空中一点 (𝑥
0
, 𝑡
0
), 波的相位为 𝑘𝑥
0
− 𝜔𝑡
0
. 希望求解相位传播的速度. 设经过 𝑑𝑡 时间该状态传播到
𝑥
0
+ 𝑑𝑥 处, 即
𝑘 (𝑥
0
+ 𝑑𝑥) − 𝜔(𝑡
0
+ 𝑑𝑡) = 𝑘𝑥
0
− 𝜔𝑡
0
因而得到了相位传播的速度, 即相速度
𝑣
𝑝
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝜔
𝑘
=
𝜆 𝑓
对于含有两个波长的非单色波场而言
𝑈
1
= 𝐴 cos(𝜔
1
𝑡 − 𝑘
1
𝑧)
𝑈
2
= 𝐴 cos(𝜔
2
𝑡 − 𝑘
2
𝑧)
那么利用和差化积, 合振动就是
𝑈
=
𝑈
1
+
𝑈
2
=
2
𝐴
cos
(
Δ
𝜔𝑡
−
Δ
𝑘𝑧
)
cos
(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)
由于频率相近,
|
Δ𝜔
|
<<
|
𝜔
|
,
|
Δ𝑘
|
<<
𝑘
, 因而前一项的振动频率较低. 可以视作低频振荡因子调制了高
频振荡因子的振幅
这样就形成了一串起伏的波包, 称为波拍. 那么波拍的传播速度就是
𝑣
𝑔
=
Δ𝜔
Δ𝑘
称为群速度
3.2 群速度与色散
在真空中, 不同波长的光有相同的相速度, 即
𝜔
1
𝑘
1
= 𝑐,
𝜔
2
𝑘
2
= 𝑐
那么波拍的群速度就是
𝑣
𝑔
=
Δ𝜔
Δ𝑘
=
𝑐𝑘
1
− 𝑐
2
𝑘
1
− 𝑘
2
= 𝑐
因而真空中群速度等于相速度, 没有色散效应
而在色散介质中, 不同波长的波相速度不同
𝑣
1
=
𝜔
1
𝑘
1
=
𝑐
𝑛
1
, 𝑣
2
=
𝜔
2
𝑘
2
=
𝑐
𝑛
2
那么此时的群速度就是
𝑣
𝑔
=
Δ𝜔
Δ𝑘
=
𝑣
1
𝑘
1
− 𝑣
2
𝑘
2
𝑘
1
− 𝑘
2
= 𝑣
1
+
𝑘
2
𝑘
1
− 𝑘
2
(𝑣
1
− 𝑣
2
) = 𝑣
2
+
𝑘
2
𝑘
1
− 𝑘
2
(𝑣
1
− 𝑣
2
)
取平均则得到
𝑣
𝑔
= 𝑣 + 𝑘 ·
Δ𝑣
Δ𝑘
在色散介质中, 波拍的群速度不等于平均相速度
正常色散有
Δ𝑣
Δ𝑘
< 0, 即 𝑣
𝑔
< 𝑣, 反常色散有
Δ𝑣
Δ𝑘
> 0, 即 𝑣
𝑔
> 𝑣
3.3 连续谱的群速度
定义谱函数 𝑎(𝑘), 围成的面积即一段波长的光的振幅, 即
𝑑𝐴 = 𝑎(𝑘)𝑑𝑘
那么 𝑑𝑘 对应的波函数就是
𝑑
˜
𝑈 = 𝑑𝐴 · 𝑒
𝑘𝑧−𝜔𝑡
= 𝑎(𝑘)𝑒𝑥 𝑝[𝑖(𝑘 𝑧 − 𝜔𝑡)]𝑑𝑘
积分即可得到波场
˜
𝑈(𝑧, 𝑡) =
∫
∞
0
𝑎(𝑘)𝑒𝑥𝑝 [ 𝑖 (𝑘𝑧 − 𝜔𝑡)]𝑑𝑘
𝜔 是一个与 𝑘 有关的量, 称为色散关系
简单起见考虑最简单的窗口型
积分就得到波场
˜
𝑈(𝑧, 𝑡) =
∫
𝑘+Δ𝑘/2
𝑘−Δ𝑘/2
𝑎
0
𝑒𝑥 𝑝[𝑖(𝑘 𝑧 − 𝜔𝑡)]𝑑𝑘
将 𝜔(𝑘) 在 𝑘
0
级数展开, 只考虑一阶项, 即
𝜔(𝑘) = 𝜔(𝑘
0
) +
𝑑𝜔
𝑑𝑘
𝑘
0
(𝑘 − 𝑘
0
)
做一个换元 𝐾 = 𝑘 − 𝑘
0
, 那么积分就写为
∫
Δ𝑘/2
−Δ𝑘/2
𝑎
0
𝑒𝑥 𝑝
𝑖𝐾
𝑧 −
𝑑𝜔
𝑑𝑘
𝑘
0
𝑡
· 𝑒𝑥 𝑝[𝑖(𝑘
0
𝑧 − 𝜔
0
𝑡)]𝑑𝐾
积分就得到
˜
𝑈 = 2𝑎
0
sin
𝑧 −
𝑑𝜔
𝑑𝑘
𝑘
0
𝑡
Δ𝑘
2
𝑧 −
𝑑𝜔
𝑑𝑘
𝑘
0
𝑡
· 𝑒𝑥 𝑝[𝑖(𝑘
0
𝑧 − 𝜔
0
𝑡)]
这也可以看作是前一项对后一项的调制
这就形成了一个波包, 光的传播就变成了一个波包的传播, 波包虽然在空间上无限延伸, 但是其能量的主
体部分处于波包中心, 两侧的能量显著减小, 这与波拍不同. 同样可以用调制因子的相位传播速度得到群
速度
𝑣
𝑔
=
𝑑𝜔
𝑑𝑘
𝑘
0
波包的中心 (即最大值) 满足
𝑧 −
𝑑𝜔
𝑑𝑘
𝑘
0
𝑡 = 0
可见波包中心的速度就是群速度. 中心两侧的零点满足
𝑧 −
𝑑𝜔
𝑑𝑘
𝑘
0
𝑡
Δ𝑘
2
= ±𝜋
因而波包的有效宽度就是
Δ 𝑧 =
2𝜋
Δ𝑘
由于 𝑘 =
2 𝜋
𝜆
, 微分得到 𝑑𝑘 =
2 𝜋
𝜆
2
𝑑𝜆, 因而
Δ 𝑧 =
2𝜋
Δ𝑘
=
𝜆
2
Δ𝜆
3.4 群速度与相速度关系的几个表达式
群速度的定义是
𝑣
𝑔
=
𝑑𝜔
𝑑𝑘
但是当色散关系有不同的表达时, 群速度也有不同的表达式
当色散关系由 𝑣
𝑝
(𝑘) 给出时, 由于 𝜔 = 𝑣
𝑝
𝑘, 就有
𝑣
𝑔
= 𝑣
𝑝
+ 𝑘
𝑑𝑣
𝑝
𝑑𝑘
若是 𝑣
𝑝
(𝜆), 则
𝑑𝑣
𝑝
𝑑𝑘
=
𝑑𝑘
𝑑𝜆
𝑑𝑣
𝑝
𝑑𝜆
, 而 𝜆 =
2 𝜋
𝑘
, 于是就得到了
𝑣
𝑔
= 𝑣
𝑝
− 𝜆
𝑑𝑣
𝑝
𝑑𝜆
若色散关系由 𝑛(𝜆) 给出, 由 𝑣
𝑝
=
𝑐
𝑛
, 那么
𝑑𝑣
𝑝
𝑑𝜆
= −
𝑐
𝑛
2
𝑑𝑛
𝑑𝜆
, 就得到
𝑣
𝑔
=
𝑐
𝑛
1 +
𝜆
𝑛
·
𝑑𝑛
𝑑𝜆
对于正常色散
𝑑𝑛
𝑑𝜆
< 0, 就有 𝑣
𝑔
< 𝑣
𝑝
; 而反常色散
𝑑𝑛
𝑑𝜆
> 0, 就有 𝑣
𝑔
> 𝑣
𝑝
另外对于” 双线结构” 的光, 即两束光单色光的叠加, 有群速度
𝑣
𝑔
= 𝑣 + 𝑘 ·
Δ𝑣
Δ𝑘
3.5 迈克尔逊实验
考虑钠黄光, 它包含两条谱线, 分别为 𝜆
1
, 𝜆
2
, 它们的折射率不同
若用折射法测量光束的折射率, 测量光束的几何偏折角度, 将会得到平均折射率
𝑛 =
𝑛
1
+ 𝑛
2
2
若观察光的速度, 得到的是波拍的群速度, 那么得到的折射率是
𝑐
𝑣
𝑔
=
𝑐
𝑣 + 𝑘
Δ𝑣
Δ𝑘
>
𝑐
𝑣
因而测得的折射率大于 𝑛, 即速度法得到的折射率大于折射法测得的折射率. 若要定量求解则可以将其写
为
𝑛
𝑔
=
𝑐
𝑣 + 𝑘
Δ𝑣
Δ𝑘
=
𝑐
𝑣
1 +
𝑘
𝑣
Δ𝑣
Δ𝑘
=
𝑐
𝑣
1 +
𝑘
Δ𝑘
Δ𝑣
𝑣
由于 𝑘 =
2𝜋
𝜆
, 那么 Δ𝑘 =
2𝜋
𝜆
2
Δ𝜆, 于是
𝑘
Δ𝑘
=
2𝜋
𝜆
2𝜋
𝜆
2
Δ𝜆
=
𝜆
Δ𝜆
大概在 10
3
量级. 认为色散很小, 即 Δ𝑛 很小, 那么由 𝑣 =
𝑐
𝑛
, 就有
Δ𝑣
𝑣
=
𝑐
𝑛
2
Δ𝑛
𝑐
𝑛
=
Δ𝑛
𝑛
当它在 10
−
5
量级时, 可以认为分母上的乘积很小, 可以一阶展开
𝑛
𝑔
=
𝑐
𝑣
1 −
𝑘
Δ𝑘
Δ𝑣
𝑣
!
=
𝑐
𝑣
1 −
𝜆
Δ𝜆
Δ𝑣
𝑣
!
将 𝑣, 𝑘 都换为 𝑛 与 𝜆, 得到
𝑛
𝑔
=
𝑐
𝑣
1 −
𝜆
Δ𝜆
Δ𝑣
𝑣
!
= 𝑛
1 −
𝜆
Δ𝜆
Δ𝑛
𝑛
!
这样就可以通过实验测得的 𝑛 与 𝑛
𝑔
得到 Δ𝑛
4 光的散射
4.1 瑞利散射
当散射微粒的几何线度远小于波长时 (< 𝜆/10), 散射过程不改变入射光的波长, 但散射光的强度随入射光
的波长不同而不同, 其关系可表述为
𝐼 ∝ 𝜔
4
∝
1
𝜆
4
另外散射光的强度与角度相关. 对于线偏光而言, 介质中感生的电偶极矩与电矢量方向相同
于是产生了一个震荡的电偶极矩
𝑝(𝑡) = 𝑝
0
cos 𝜔𝑡
它产生的电磁振荡中的电场的振幅为
𝐸
0
( 𝑟, 𝛼) ∝ 𝑝
0
𝜔
2
𝑟
2
sin 𝛼
光强是振幅的平方, 因此散射光强就是
𝐼 = 𝐸
2
0
∝ 𝑝
2
0
𝜔
4
𝑟
8
sin
2
𝛼
因此得到了光强的频率分布为
𝐼 ∝
1
𝜆
4
与角分布
𝐼 ∝ sin
2
𝛼
这是一个轴对称的分布
对于自然光入射的情形, 光的偏振态均匀分布在各个方向上, 并且非相干叠加
考虑将电偶极矩分解到 𝑥, 𝑦 轴, 那么对于角度余弦表示的方向 (𝛼, 𝛽, 𝜃) 上的散射光强, 应该等于 𝑥 轴和 𝑦
轴在此方向上的光强非相干叠加
𝐼 ∝ sin
2
𝛼 + sin
2
𝛽
由角度余弦的关系
cos
2
𝛼
+
cos
2
𝛽
+
cos
2
𝜃
=
1
得到
𝐼 ∝ 1 + cos
2
𝜃
这也是一个轴对称的图像
由此还能给出自然光入射时散射光的偏振态
4.2 米氏散射
当散射微粒的几何线度较大时 (> 10𝜆),散射角度服从瑞利定律, 但是散射不依赖于波长
