双折射
目录
1 基本现象与双折射晶体的特征参量 2
2 单轴晶体与双折射的原理 3
2.1 折射光的方向 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 折射光的光强 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 双折射的特例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 晶体光学器件 8
3.1 晶体偏振器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.1 尼科尔 (Nicol) 棱镜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.2 Glan—Thompson 棱镜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.3 渥拉斯顿 (Wollaston) 棱镜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.4 洛匈 (Rochon) 棱镜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 波片 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 相位补偿器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3.1 Babinet 补偿器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.2 Soleil 补偿器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
1 基本现象与双折射晶体的特征参量
一束入射到介质中的光经折射后变为两束光, 称为双折射. 两束光都是线偏光, 一束遵循折射定律, 称为寻
常光 𝑜 光, 一束不遵循折射定律, 称为非常光 𝑒 光. 两束光偏振方向正交
晶体的光轴: 沿光轴入射，无双折射
主截面: 入射界面 (晶体表面) 的法线与光轴形成的平面,与晶体相关, 与光线无关 当入射面与主截面重
合时,𝑜 光与 𝑒 光都在入射面内
主平面: 晶体中的光线与光轴所形成的平面. 实验上可以给出 𝑜, 𝑒 光振动方向与它们主平面的关系
o 光主平面: o 光振动方向垂直于 o 光主平面, 即电矢量垂直于光轴
e 光主平面: e 光电矢量平行于 e 光主平面
一般情况下, 各个面并不重合. 但选取合适的入射方向, 可以使得入射面与主截面重合, 这时光轴处于入射
面之中
o 光主平面, e 光主平面重合, 且均与主截面重合
o 光: 电矢量垂直于光轴, 垂直于 o 光主平面 (主截面)
e 光: 电矢量平行于主平面, 即电矢量在 e 光主平面 (主截面) 内
2 单轴晶体与双折射的原理
在各向同性介质中, 电位移矢量 D 电场强度 E 满足 D = 𝜖E, 在各项异性介质中它变成了二阶张量
𝐷
𝑥
𝐷
𝑦
𝐷
𝑧
=
𝜖
𝑥𝑥
𝜖
𝑥𝑦
𝜖
𝑥𝑧
𝜖
𝑦𝑥
𝜖
𝑦𝑦
𝜖
𝑦𝑧
𝜖
𝑧𝑥
𝜖
𝑧𝑦
𝜖
𝑧𝑧
𝐸
𝑥
𝐸
𝑦
𝐸
𝑧
考虑最简单的各项异性介质,𝜖
𝑖 𝑗
都是实数. 此处不加证明地给出,[𝜖] 是一个对称张量, 那么它就可以对角
化, 它的三个特征向量可以取作垂直的, 以它们为坐标系基矢可以写出新的坐标. 在该坐标系下, 电位移和
电矢量满足
𝐷
𝑥
𝐷
𝑦
𝐷
𝑧
=
𝜖
𝑥
𝜖
𝑦
𝜖
𝑧
𝐸
𝑥
𝐸
𝑦
𝐸
𝑧
在该坐标系下,𝑥, 𝑦, 𝑧 方向称为主轴方向,𝜖
𝑥
, 𝜖
𝑦
, 𝜖
𝑧
称为主介电常数. 若主介电常数中有两个相等, 则称为单
轴晶体; 若三个不不相等, 称为双轴晶体
假设晶体中有单色平面波
E = E
0
𝑒
𝑖 (k·r −𝜔𝑡 )
B = B
0
𝑒
𝑖 (k·r −𝜔𝑡 )
假设是简单磁介质, 那么 B = 𝜇
0
𝐻. 晶体中没有自由电荷与电流, 可以写出介质中的麦克斯韦方程组
∇ · D = 0
∇ · B = 0
∇ × E = −
𝜕B
𝜕𝑡
∇ × H =
𝜕𝐷
𝜕𝑡
代入单色平面波得到
k · D = 0
k · H = 0
k × E = 𝜔𝜇
0
H
k × H = −𝜔D
于是 k 与 H , D 垂直,H 与 D, E 垂直, 那么说明 𝐸 与 𝐷 的关系是以 𝐻 为轴旋转了一个角度, 并且
k, D, E 应当在同一平面内, 可以画图如下
电磁波的传播方向应当指的是波音廷矢量 S 的方向, 但是此时的波音廷矢量与波矢 k 存在一个夹角 𝛼.
光的传播是从一个波面到另一个波面, 即当光从一个波面传播到另一波面时, 能量也从原波面传播到新的
波面. 因此介质中的光速并不是相速, 光的传播方向也不是波矢的方向
设介质中的相速度为
𝑐
𝑛
, 那么 𝑘 =
𝑛𝜔
𝑐
, 因而
k =
𝑛𝜔
𝑐
ˆ
𝑘, 𝑐 =
√
𝜇
0
𝜖
0
利用麦克斯韦方程组的后两条得到
D = −
1
𝜇
0
𝜔
2
k × (k × E)
代入 k 后再由矢量恒等式
A × (B × C) = B (A · C ) − C (A · B)
得到
D = 𝜖
0
𝑛
2
[E −
ˆ
𝑘 (
ˆ
𝑘 · E)]
在主轴坐标系下写为分量
𝜖
𝑥
𝜖
𝑦
𝜖
𝑧
𝐸
𝑥
𝐸
𝑦
𝐸
𝑧
= 𝜖
0
𝑛
2
©
«
𝐸
𝑥
𝐸
𝑦
𝐸
𝑧
−
𝑘
𝑥
𝑘
𝑦
𝑘
𝑧
𝑘
𝑥
𝑘
𝑦
𝑘
𝑧
·
𝐸
𝑥
𝐸
𝑦
𝐸
𝑧
ª
®
®
®
¬
也就是如下方程组
𝜖
𝑥
𝐸
𝑥
= 𝑛
2
[𝐸
𝑥
− 𝑘
𝑥
(𝑘
𝑥
𝐸
𝑥
+ 𝑘
𝑦
𝐸
𝑦
+ 𝑘
𝑧
𝐸
𝑧
)]
𝜖
𝑦
𝐸
𝑦
= 𝑛
2
[𝐸
𝑦
− 𝑘
𝑦
(𝑘
𝑥
𝐸
𝑥
+ 𝑘
𝑦
𝐸
𝑦
+ 𝑘
𝑧
𝐸
𝑧
)]
𝜖
𝑧
𝐸
𝑧
= 𝑛
2
[𝐸
𝑧
− 𝑘
𝑧
(𝑘
𝑥
𝐸
𝑥
+ 𝑘
𝑦
𝐸
𝑦
+ 𝑘
𝑧
𝐸
𝑧
)]
可以用矩阵形式重写该方程组
𝜖
𝑥
+ 𝑛
2
(1 − 𝑘
2
𝑥
) 𝑛
2
𝑘
𝑥
𝑘
𝑦
𝑛
2
𝑘
𝑥
𝑘
𝑧
𝑛
2
𝑘
𝑦
𝑘
𝑥
𝜖
𝑦
+ 𝑛
2
(1 − 𝑘
2
𝑦
) 𝑛
2
𝑘
𝑦
𝑘
𝑧
𝑛
2
𝑘
𝑧
𝑘
𝑥
𝑛
2
𝑘
𝑧
𝑘
𝑦
𝜖
𝑧
+ 𝑛
2
(1 − 𝑘
2
𝑧
)
E
=
0
这是一个齐次线性方程组, 有解条件为系数矩阵行列式为零
行列式中六次项的系数为
𝑛
6
1 − 𝑘
2
𝑥
𝑘
𝑥
𝑘
𝑦
𝑘
𝑥
𝑘
𝑧
𝑘
𝑦
𝑘
𝑥
1 − 𝑘
2
𝑦
𝑘
𝑦
𝑘
𝑧
𝑘
𝑧
𝑘
𝑥
𝑘
𝑧
𝑘
𝑦
1 − 𝑘
2
𝑧
由于 𝑘
2
𝑥
+ 𝑘
2
𝑦
+ 𝑘
2
𝑧
= 1, 那么矩阵中的三个列向量只有两个自由变量, 自然线性相关, 那么这个矩阵就不是
一个可逆矩阵, 因而其行列式为零, 于是六次项系数为零. 低次项的系数写出来较为方便
𝑛
4
(𝜖
𝑥
𝑘
2
𝑥
+ 𝜖
𝑦
𝑘
2
𝑦
+ 𝜖
𝑧
𝑘
2
𝑧
) − 𝑛
2
𝜖
𝑥
(𝜖
𝑦
+ 𝜖
𝑧
)𝑘
2
𝑥
+ 𝜖
𝑦
(𝜖
𝑥
+ 𝜖
𝑧
)𝑘
2
𝑦
+ 𝜖
𝑧
(𝜖
𝑥
+ 𝜖
𝑦
)𝑘
2
𝑧
+ 𝜖
𝑥
𝜖
𝑦
𝜖
𝑧
= 0
这是一个关于 𝑛
2
的二次方程, 存在两个解. 将方程用以 𝑘
2
的性质加以整理得到
Õ
𝑖
𝑛
4
𝜖
𝑖
− 𝑛
2
𝜖
𝑖
(𝜖
𝑗
+ 𝜖
𝑘
)
𝑘
2
𝑖
= −𝜖
𝑥
𝜖
𝑦
𝜖
𝑧
再化简得到
𝑘
2
𝑥
𝑛
2
− 𝜖
𝑥
+
𝑘
2
𝑦
𝑛
2
− 𝜖
𝑦
+
𝑘
2
𝑧
𝑛
2
− 𝜖
𝑧
=
1
𝑛
2
或者
𝑘
2
𝑥
1
𝑛
2
−
1
𝜖
𝑥
+
𝑘
2
𝑦
1
𝑛
2
−
1
𝜖
𝑦
+
𝑘
2
𝑧
1
𝑛
2
−
1
𝜖
𝑧
= 0
求解该方程较为困难, 考察单轴晶体 𝜖
𝑥
= 𝜖
𝑦
= 𝑛
2
𝑜
, 𝜖
𝑧
= 𝑛
2
𝑒
2.1 折射光的方向
单轴晶体只存在一个光轴, 其中的电子存在两根固有的振动, 一个与光轴平行, 一个与光轴垂直. 那么振动
方向沿着光轴与垂直光轴的光传播速度不同, 记振动方向垂直于光轴的光速度为 𝑣
𝑜
, 振动方向沿着光轴
的光速度为 𝑣
𝑒
. 根据两个速度的大小关系, 可以将晶体分为正晶体与负晶体
正晶体 𝑛
𝑒
> 𝑛
𝑜
, 负晶体 𝑛
𝑒
< 𝑛
𝑜
常见的正晶体有水晶, 负晶体有方解石
对于其他方向的光, 可以将它的振动方向分解为与光轴平行和与光轴垂直的线性组合. 设一线偏光与光轴
夹角为 𝜃, 那么它的速度就是
𝑣 = 𝑣
𝑜
cos 𝜃 + 𝑣
𝑒
sin 𝜃
随着 𝜃 的改变就形成了一个椭圆. 而由于垂直光轴方向可以绕着光轴旋转, 那么光传播的次波面就是一个
绕着光轴的旋转椭球面, 利用惠更斯次波原理就能得到折射光的传播方向. 显然这个折射光并不符合折射
定律, 称为 𝑒 光
而另一种情况是光的振动方向始终垂直于光轴, 此时光沿着各个方向的传播速度都是 𝑣
𝑜
, 次波面自然就是
一个球面, 利用惠更斯原理也能得到折射光的方向. 该折射光遵循折射定律, 称为 𝑜 光
对于入射的线偏光总可以得到这样两束折射光, 由麦克斯韦方程组可以给出两束折射光和反射光的大小
和偏振方向. 由于 𝑜 光振动方向垂直光轴, 又垂直传播方向, 自然就有
𝑜 光的振动方向垂直于 𝑜 光主平面
此处不加证明地给出 𝑒 光的偏振方向 (问就是解麦克斯韦方程组解的)
𝑒 光的振动方向在 𝑒 光主平面内
2.2 折射光的光强
求解麦克斯韦方程组计算过于繁琐, 此处取两个特殊条件
1. 认为反射率很小, 反射光可以认为不存在
2. 入射平面与主截面重合
若认为反射光强度为 0,入射光的电矢量就是 𝑜 光和 𝑒 光电矢量的矢量叠加. 而入射平面与主截面重合就
意味着光轴与入射光在同一平面内. 而由于旋转椭球面是关于旋转轴对称的, 那么由惠更斯原理,𝑒 光就也
在入射平面内. 同时 𝑜 光遵循折射定律本来就在入射平面内, 于是此时
入射光,𝑜 光与 𝑒 光共面
, 这就极大
的方便了讨论
由于 𝑜 𝑒 两光的主平面重合, 那么它们的振动方向就是垂直的
考虑入射面与主截面重合 o 光 e 光主平面重合的情形, 设 𝜃 为入射光振动方向与主平面的夹角, 则可以
将入射光的电矢量分解为垂直主平面与平行主平面两个分量. 由于认为没有反射光,𝑜 光与 𝑒 光电矢量的
大小自然就是
𝐸
𝑜
= 𝐸 sin 𝜃, 𝐸
𝑒
= 𝐸 cos 𝜃
因此光强就有
𝐼
𝑜
= 𝐼 sin
2
𝜃, 𝐼
𝑒
= 𝐼 cos
2
𝜃
对于
自然光,𝐼
𝑒
= 𝐼
𝑜
=
1
2
𝐼
, 这是因为自然光中各个方向的偏振方向都有, 平均而言 𝑜 光与 𝑒 光光强相等
2.3 双折射的特例
虽然光强已经取过特例了, 但是这并不妨碍我们在此基础上继续取特例 (逃)
首先若是光轴的位置特殊,
光轴垂直于入射面
.
虽然此时主截面与入射面不重合
,
但是它垂直啊
.
于是一样
可以由对称性得到两个主平面重合. 那么在主平面内 𝑒 光无论如何种方向其振动方向总是与光轴平行, 此
时它的传播速度就是 𝑣
𝑒
, 波面也就是一个圆
那么也就可以认为此时 𝑒 光也服从折射定律, 只是折射率为 𝑛
𝑒
. 可以利用光速给出 𝑛
𝑜
与 𝑛
𝑒
𝑛
𝑜
=
𝑐
𝑣
𝑜
, 𝑛
𝑒
=
𝑐
𝑣
𝑒
那么利用惠更斯原理就能得到” 折射定律”
𝑛 sin 𝜃 = 𝑛
𝑜
sin 𝜃
𝑜
sin 𝜃
𝑒
若是再特殊一点, 令光
正入射, 并且光轴垂直于界面
, 那么所有的光振动方向都垂直于光轴, 传播速度都
是 𝑣
𝑜
, 也就是说此时所有光都是 𝑜 光, 不发生双折射 (甚至没有折射, 如射)
而若是
光轴平行于界面
, 则可以分出 𝑜 光 𝑒 光. 而由惠更斯原理, 折射光与入射光方向相同. 但是注意 𝑜
光与 𝑒 光速度不一样, 也就是产生了相位差
3 晶体光学器件
3.1 晶体偏振器
3.1.1 尼科尔 (Nicol) 棱镜
Nicol 棱镜是用方解石制成的, 是负晶体, 也就是说 𝑛
𝑒
< 𝑛
𝑜
. 它的构造如下
其中加拿大树胶是一种透明介质, 其折射率为 𝑛 = 1.55, 它与方解石的 𝑛
𝑒
, 𝑛
𝑜
有如下大小关系
𝑛
𝑒
= 1.48641 < 𝑛 = 1.55 < 𝑛
𝑜
= 1.65836
当光如图进入 Nicol 棱镜时, 光轴在入射面内, 那么就有两个主平面重合. 由于 𝑛
𝑜
> 𝑛
𝑒
, 那么 𝑜 光的折射
角较小, 因而在加拿大树胶界面上,𝑜 光的入射角较大. 只需要控制角度使得 𝑜 光发生全反射而 𝑒 光可以
透过即可实现偏振片的效果
注意此时
𝑒
光并不满足折射定律
,
𝑒
光的方向需要利用惠更斯原理确定
.
但是
𝑜
光满足折射定律啊
,
于是
可以得到 𝑜 光全反射的入射角条件
Nicol 棱镜是有缺陷的. 首先是入射角度受限, 因为需要使得 𝑜 光发生全反射而 𝑒 光不能够发生全反射,
并且加拿大树胶吸收紫外线, 因而不能用于紫外波段, 并且它容易被大功率激光破坏
3.1.2 Glan—Thompson 棱镜
Glan—Thompson 棱镜的结构如下
它是由两块方解石的直角三棱镜组成的, 两棱镜的光轴相互平行, 并且光轴与入射面平行, 入射光正入射
那么虽然入射时光线不偏折, 但是由于 𝑛
𝑜
< 𝑛
𝑒
,𝑜 光的全反射临界角要小于 𝑒 光, 那么控制 𝜃 就可以使得
𝑜 光全反射而 𝑒 光透过
3.1.3 渥拉斯顿 (Wollaston) 棱镜
渥拉斯顿 (Wollaston) 棱镜由两块方解石的直角三棱镜粘合而成
两棱镜种的光轴垂直, 这样第一个棱镜种的 𝑜 光进入第二个棱镜时就变成了 𝑒 光,𝑒 光变成了 𝑜 光
在第一个棱镜中, 光轴与入射面平行, 那么正入射时光线不偏折, 但是 𝑜 光与 𝑒 光存在并且折射率不同.
而进入第二个棱镜时, 光轴与入射面垂直, 此时 𝑜 光与 𝑒 光都遵循折射定律, 但由于折射率不同, 考察折
射角
设入射角为 𝑖
1
, 棱镜 2 中 𝑜 光的折射角为 𝑖
2𝑜
,𝑒 光的折射角为 𝑖
2𝑒
𝑛
𝑜
sin 𝑖
1
= 𝑛
𝑒
sin 𝑖
2𝑒
𝑛
𝑒
sin 𝑖
1
= 𝑛
𝑜
sin 𝑖
2𝑜
由于方解石是负晶体, 有 𝑛
𝑒
< 𝑛
𝑜
, 那么折射角就有如下关系
𝑖
2𝑜
< 𝑖
1
< 𝑖
2𝑒
因而出射时 𝑜 光在上侧,𝑒 光在下侧. 注意此处的 𝑜 光 𝑒 光是对于第二块棱镜而言的
3.1.4
洛匈
(Rochon)
棱镜
洛匈棱镜也由两块方解石直交三棱镜粘合而成
只不过与 Wollaston 棱镜不同的是, 第一块棱镜的光轴垂直于界面, 因而第一个棱镜中只有 𝑜 光, 第二块
棱镜中发生双折射, 使 𝑜 光与 𝑒 光分开. 设入射角为 𝑖
1
𝑛
𝑜
sin 𝑖
1
= 𝑛
𝑜
sin 𝑖
𝑜
𝑛
𝑜
sin 𝑖
1
= 𝑛
𝑒
sin 𝑖
𝑒
⇒
𝑖
𝑜
= 𝑖
1
sin 𝑖
𝑒
=
𝑛
𝑜
𝑛
𝑒
sin 𝑖
1
因而 𝑒 光将会从 𝑜 光下方射出, 而 𝑜 光则与入射光方向一致
3.2 波片
波片即光轴平行于界面, 平行光正入射
此时 𝑜 光与 𝑒 光的速度不同, 就形成了相位差. 出射的光程差为
Δ𝐿 = 𝐿
𝑒
− 𝐿
𝑜
= (𝑛
𝑒
− 𝑛
𝑜
)𝑑
就得到了相位差
Δ𝜑 =
2𝜋
𝜆
(𝑛
𝑒
− 𝑛
𝑜
)𝑑
这是 𝑒 光对 𝑜 光相位的 延迟, 即. 注意此处不是超前, 这是因为在波片的出射位置, 光的相位是比入射
波片位置要小的, 而小多少由光程决定.𝑒 光的光程比 𝑜 光大 Δ𝐿, 那么出射位置 𝑒 光的相位就比 𝑜 光小
Δ𝐿/𝑘
𝑒 光的振动方向称为 𝑒 轴, 即为波片的光轴,𝑜 光的振动方向称为 𝑜 轴. 传播较快的光矢量的振动方向称为
快轴, 较慢的称为慢轴, 这与正负晶体有关
光轴是负晶体的快轴, 是正晶体的慢轴
由于快轴光速更大, 那么光程更小, 进而出射位置的相位更大, 即快轴光相位比慢轴光大
1
4
波片,
𝜆
4
波片即满足
Δ𝐿 =
𝜆
4
+
1
2
𝑚𝜆 , Δ𝜑 =
𝜋
2
+ 𝑚𝜋
1
2
波片,
𝜆
2
波片即满足
Δ𝐿 =
𝜆
2
+ 𝑚𝜆, Δ𝜑 = 𝜋 + 2𝑚𝜋
全波片即满足
Δ𝐿 = 𝑚𝜆 , Δ𝜑 = 2𝑚𝜋
3.3 相位补偿器
相位补偿器用于产生可调节的相位差
3.3.1 Babinet 补偿器
Babinet 补偿器的结构类似于 Wallaston 棱镜, 但是顶角很小, 如图
那么
对于上面棱镜而言
的 𝑜 光比 𝑒 光多光程就是
Δ = (𝑛
𝑜
𝑑
1
+ 𝑛
𝑒
𝑑
2
) − (𝑛
𝑒
𝑑
1
+ 𝑛
𝑜
𝑑
2
) = (𝑛
𝑜
− 𝑛
𝑒
)(𝑑
1
− 𝑑
2
)
平移补偿器,𝑑
1
− 𝑑
2
就发生变化, 那么就可以控制光程差
但是由于发生了折射, 出射光分成两束
3.3.2 Soleil 补偿器
Soleil 补偿器是对 Babinet 补偿器的改进, 如图
光程差就是
Δ = (𝑛
𝑜
− 𝑛
𝑒
)(𝑑
1
− 𝑑
2
)
相位差就是
Δ𝜑 =
2𝜋
𝜆
(𝑛
𝑜
− 𝑛
𝑒
)(𝑑
1
− 𝑑
2
)
此处依然是对于上面棱镜而言的 𝑜 光比 𝑒 光多的光程和相位. 出射 Soleil 补偿器的光只有一束, 与入射
光相同
