傅里叶光学
目录
1 衍射系统的屏函数和相因子判断法 2
1.1 衍射系统及其屏函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 相因子分析法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 相位衍射元件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 透镜的位相变换函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 棱镜的相位变换函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 正弦光栅的衍射 6
1
1 衍射系统的屏函数和相因子判断法
1.1 衍射系统及其屏函数
衍射屏使得入射场转换为透射场. 衍射屏函数
˜
𝑡(𝑥, 𝑦) =
˜
𝑈
2
(𝑥, 𝑦)
˜
𝑈
1
(𝑥, 𝑦)
= 𝑡(𝑥, 𝑦)𝑒𝑥 𝑝[𝑖𝜑
𝑡
(𝑥, 𝑦)]
前一项为屏函数的模, 后一项为屏函数的辐角
模为常数的衍射屏称为相位型的, 即对相位进行调制, 如透镜, 棱镜; 辐角为常数的衍射屏称为振幅型的,
如单缝, 圆孔
1.2 相因子分析法
可以通过像因子确定波长的类型. 在傍轴条件下
对于平面波
𝑒𝑥 𝑝[𝑖𝑘 (sin 𝜃
1
𝑥 + sin 𝜃
2
𝑦)]
物点在 − 𝑧 的轴上球面波有
𝑒𝑥 𝑝(𝑖𝑘𝑟) = 𝑒𝑥 𝑝 [𝑖𝑘𝑧]𝑒𝑥 𝑝
𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2 𝑧
若是取原点为相位 0, 那么 𝑥𝑜𝑦 平面上的点 (𝑥, 𝑦) 的相位因子就是
𝑒𝑥 𝑝
𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2 𝑧
若是取物点为相位 0,𝑥𝑜𝑦 上则有
𝑒𝑥 𝑝
𝑖𝑘
𝑧 +
𝑥
2
+ 𝑦
2
2 𝑧
轴外的物点 (𝑥
0
, 𝑦
0
, −𝑧) 有
𝑟
≈
𝑟
0
+
𝑥
2
+ 𝑦
2
2 𝑧
−
𝑥𝑥
0
+ 𝑦𝑦
0
𝑧
⇒
𝑒𝑥 𝑝
[
𝑖𝑘𝑟
]
=
𝑒𝑥 𝑝
[
𝑖𝑘𝑟
′
0
]𝑒𝑥 𝑝
𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2 𝑧
−
𝑥𝑥
0
+ 𝑦𝑦
0
𝑧
同样地, 以原点为相位 0,𝑥𝑜𝑦 上则有相因子
𝑒𝑥 𝑝
𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2 𝑧
−
𝑥𝑥
0
+ 𝑦𝑦
0
𝑧
以物点为相位 0,𝑥𝑜𝑦 上有相因子
𝑒𝑥 𝑝
𝑖𝑘
𝑟
′
0
+
𝑥
2
+ 𝑦
2
2 𝑧
−
𝑥𝑥
0
+ 𝑦𝑦
0
𝑧
𝑘 取正值时是从物点发出的球面波,𝑘 取负值时是汇聚到物点的球面波
1.3 相位衍射元件
1.3.1 透镜的位相变换函数
设透镜的有效口径为 𝐷, 则透镜的位相变换函数为
˜
𝑡
𝐿
=
𝐴
2
𝐴
1
𝑒𝑥 𝑝[𝑖(𝜑
2
− 𝜑
1
)] =
𝑎(𝑥, 𝑦)𝑒
𝜑
𝐿
(𝑥, 𝑦)
, 𝑟 <
𝐷
2
0, 𝑟 >
𝐷
2
忽略透镜的吸收, 即 𝑎(𝑥, 𝑦) = 0, 希望求解其位相变换函数 𝜑
𝐿
(𝑥, 𝑦)
那么从入射平面到透射平面的相位变化就是
𝜑
𝐿
(𝑥, 𝑦) =
2
𝜋
𝜆
[Δ
1
+ Δ
2
+ 𝑛𝑑] =
2
𝜋
𝜆
[Δ
1
+ Δ
2
+ 𝑛(𝑑
0
− Δ
1
− Δ
2
)]
若记 𝜑
0
=
2 𝜋
𝜆
𝑛𝑑
0
, 即从中心处的相位变化, 则
𝜑
𝐿
= 𝜑
0
−
2𝜋
𝜆
(𝑛 − 1)(Δ
1
+ Δ
2
)
对于球面镜, 在傍轴条件下
Δ
1
= 𝑟
1
−
𝑟
2
1
− (𝑥
2
+ 𝑦
2
) ≈
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝑟
1
同样地,Δ
2
也可以近似为
Δ
2
= −
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝑟
2
注意此处𝑟
2
取负值, 因而就得到了
𝜑
𝐿
= 𝜑
0
− 𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝐹
, 𝐹 =
1
(𝑛 − 1)
1
𝑟
1
−
1
𝑟
2
而常数在相位变换中不起作用, 那么就可以忽略
𝜑
𝐿
= −𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝐹
考察平面波入射
设入射场为
˜
𝑈
1
= 𝐴
1
𝑒
𝑖 𝜑
0
, 那么出射场就是
˜
𝑈
2
=
˜
𝑈
1
˜
𝑡
𝐿
(𝑥, 𝑦) = 𝐴
1
𝑒𝑥 𝑝
[
𝑖𝜑
0
]
𝑒𝑥 𝑝
−𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝐹
= 𝐴
1
𝑒𝑥 𝑝
−𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝐹
+ 𝑖𝜑
0
对于出射场而言, 这是一个会聚到 𝐹 的球面波
考察斜入射的平面波
出射场就是
˜
𝑈
2
= 𝐴
1
𝑒𝑥 𝑝
−𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝐹
−
𝑥𝐹 sin 𝜃
1
+ 𝑦𝐹 sin 𝜃
2
𝐹
对于出射场而言这是一个会聚到 (𝐹 sin 𝜃
1
, 𝐹 sin 𝜃
2
, 𝐹) 的球面波, 也即过中心光线的延长线上
考察球面波入射
设入射场是一个从 −𝑠 发出的球面波, 那么入射场就是
˜
𝑈
1
= 𝐴
1
𝑒𝑥 𝑝
𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝑠
于是出射场就是
˜
𝑈
2
= 𝐴
1
exp
−𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝐹
−
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝑠
= 𝐴
1
𝑒𝑥 𝑝
−𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝑠
′
, 𝑠
′
=
1
1
𝐹
−
1
𝑠
=
𝑠𝐹
𝑠 − 𝐹
对出射场而言这是一个会聚到 𝑠
′
处的球面波
1.3.2 棱镜的相位变换函数
对于薄的棱镜, 有
𝜑
𝑃
(𝑥, 𝑦) =
2𝜋
𝜆
(Δ + 𝑛𝑑) =
2𝜋
𝜆
(Δ − 𝑛(𝑑
0
− Δ))
若令 𝜑
0
=
2 𝜋
𝜆
𝑑
0
, 即中心的相位变化, 那么
𝜑
𝑃
= 𝜑
0
−
2𝜋
𝜆
(𝑛 − 1)Δ
由于是薄棱镜,𝛼 很小, 那么就可以认为 Δ = 𝛼𝑥, 于是就得到了相因子
𝜑
𝑃
(𝑥, 𝑦) = −𝑘 (𝑛 − 1)𝛼𝑥
以及相位变换函数
˜
𝑡
𝑃
(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 𝑝 [−𝑖𝑘 (𝑛 − 1) (𝛼
1
𝑥 + 𝛼
2
𝑦)]
之所以会出现 𝛼
1
, 𝛼
2
是因为棱镜不一定沿着 𝑥 轴摆放. 设原点到棱镜尖端的方向向量为 (cos 𝜃, sin 𝜃), 即
与 𝑥 轴正方向成角 𝜃, 那么 Δ 就变为
Δ = 𝛼(𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃)
此时 𝛼
1
, 𝛼
2
就是
𝛼
1
= 𝛼 cos 𝜃, 𝛼
2
= 𝛼 sin 𝜃
考察从 𝑄 (0, 0, −𝑠) 发出的球面波
˜
𝑈
1
= 𝐴
1
𝑒𝑥 𝑝
𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝑠
那么出射波就是
˜
𝑈
2
= 𝐴
1
𝑒𝑥 𝑝
𝑖𝑘
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝑠
− 𝑖𝑘 (𝑛 − 1) (𝛼
1
𝑥 + 𝛼
2
𝑦)
= 𝐴
1
𝑒𝑥 𝑝
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝑠
−
(𝑛 − 1)𝑠(𝛼
1
𝑥 + 𝛼
2
𝑦)
𝑠
对于出射波而言, 这是一个从 𝑄
′
((𝑛 − 1)𝛼
1
𝑠 , (𝑛 − 1)𝛼
2
𝑠 , −𝑠) 发出的球面波.𝑄𝑄
′
与棱镜平行, 与 𝑧 轴垂直
2 正弦光栅的衍射