定义
目录
1 误差与有效数字 2
1.1 舍入误差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 绝对误差与相对误差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 有效数字 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1
1 误差与有效数字
1.1 舍入误差
计算机中的实数表示是有限的, 而实数是无限的. 将实数存入计算机有两种方式:Chopping 和 Rounding
Chopping 是将实数在计算机表示范围外的部分截断,Rounding 是将实数四舍五入到计算机表示范围内的
最近的数
由实数 𝑦 得到 𝑘 位十进制机器数的方法如下
𝐶ℎ𝑜𝑝 𝑝𝑖𝑛𝑔 : 𝑓 𝑙
𝑐
(𝑦) = 0.𝑑
1
𝑑
2
...𝑑
𝑘
× 10
𝑚
𝑅𝑜𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔 : 𝑓 𝑙
𝑟
(𝑦) = 𝑓 𝑙
𝑐
(𝑦 + 0.5 × 10
𝑚−𝑘
)
由于 Chopping 常用, 通常将其简写为 𝑓 𝑙
1.2 绝对误差与相对误差
若 𝑝
∗
是 𝑝 的近似值, 则绝对误差定义为
𝐸 (𝑝
∗
) ≡ 𝑝 − 𝑝
∗
若存在 𝜂 使得
|
𝐸 (𝑝
∗
)
|
≤ 𝜂
则称 𝜂 是 𝑝
∗
的 (最小) 绝对误差限, 它满足
𝑝
∗
− 𝜂 ≤ 𝑝 ≤ 𝑝
∗
+ 𝜂
当
𝑝
≠
0
时
,
相对误差定义为
𝐸
𝑟
(𝑝) ≡
𝐸 (𝑝)
𝑝
=
𝑝 − 𝑝
∗
𝑝
同样地, 若存在 𝜂 使得
|
𝐸
𝑟
(𝑝)
|
≤ 𝜂
则称 𝜂 是 𝑝
∗
的 (最小) 相对误差限. 由于精确值 𝑝 通常不知道, 通常使用 𝑝
∗
的相对误差
𝐸
∗
𝑟
≡
𝐸 (𝑝)
𝑝
∗
=
𝑝 − 𝑝
∗
𝑝
∗
当 𝐸
∗
𝑟
(𝑝
∗
) 很小时, 两者的差别也很小
1.3 有效数字
设 𝑝
∗
是 𝑝 的近似值
𝑝
∗
= 𝑑
1
.𝑑
2
...𝑑
𝑘
× 10
𝑚
若 𝑘 是满足
|
𝐸 (𝑝)
|
=
|
𝑝 − 𝑝
∗
|
≤ 0.5 × 10
𝑚−𝑘
的最大非负整数, 则称 𝑝
∗
是 𝑝 的 𝑘 位有效数字近似. 一般经过四舍五入得到的近似数, 有几位就是几位
有效数字
