线性变换
目录
1 线性映射与线性变换 2
2 线性映射在基下的矩阵 2
3 线性变换在基下的矩阵 2
3.1 线性变换在基下的矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 线性变换在不同基下的矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 正交变换 3
4.1 正交变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.2 正交变换在标准正交基下的矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.3 正交变换的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 对称变换 4
5.1 伴随变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.2 对称变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1
1 线性映射与线性变换
设 𝑉 与 𝑊 为两个 F− 线性空间, 若映射 ℛ : 𝑉 → 𝑊 满足
1. 𝒜 (𝑃
1
+ 𝑃
2
) = 𝒜 (𝑃
1
) + 𝒜 (𝑃
2
)
2. 𝜆𝒫 = 𝜆𝒫
则称 𝒜 为从 𝑉 到 𝑊 的线性映射. 即线性映射满足加法和数乘线性性
若 𝑉 = 𝑊 称 𝐴) 为 𝑉 上的一个线性变换
若线性映射 𝒜 为双射, 则称 𝒜 为线性空间 𝑉 到 𝑊 的一个同构映射. 若两个线性空间之间存在同构映射,
称他们互相同构
2 线性映射在基下的矩阵
不考, 略
3 线性变换在基下的矩阵
3.1 线性变换在基下的矩阵
设空间 𝑉 有一组基 𝛼
1
, · · · , 𝛼
𝑛
, 则对于该空间中的一个向量
®𝑥 = 𝑥
1
𝛼
1
+ · · · + 𝑥
𝑛
𝛼
𝑛
= [𝛼
1
, · · · , 𝛼
𝑛
]𝑋
有
𝒜 (®𝑥) = 𝑥
1
𝒜 (𝛼
1
) · · · 𝑥
𝑛
𝒜 (𝛼
𝑛
) = [𝒜 (𝛼
1
) · · · 𝒜 (𝛼
𝑛
)] 𝑋
那么存在矩阵 𝐴 使得
[
𝒜𝛼
1
· · · 𝒜𝛼
𝑛
]
=
[
𝛼
1
· · · 𝛼
𝑛
]
𝐴
𝐴 就称为 A 在基 𝛼
1
, · · · , 𝛼
𝑛
下的矩阵. 对于该向量来说其线性变换在同组基下的坐标就是
𝒜 ®𝑥 = 𝐴𝑋
3.2 线性变换在不同基下的矩阵
由线性变换的线性性, 有
𝒜 ([𝛼
1
· · · 𝛼
𝑛
]𝑇) = [𝒜 (𝛼
1
) · · · 𝒜 (𝛼
𝑛
)]𝑇 = 𝒜 ([𝛼
1
· · · 𝛼
𝑛
])𝑇
即右乘的矩阵可以拿出来
设有另一组基 𝛽
1
, · · · , 𝛽
𝑛
，有从 𝛼 到 𝛽 的过渡矩阵 𝑇 ，即
[𝛽
1
· · · 𝛽
𝑛
] = [𝛼
1
, · · · 𝛼
𝑛
]𝑇
那么就有
𝒜 [𝛽
1
· · · 𝛽
𝑛
] = 𝒜 [𝛼
1
· · · 𝛼
𝑛
]𝑇 = [𝛼
1
· · · 𝛼
𝑛
] 𝐴𝑇
而又有
𝒜 [𝛽
1
· · · 𝛽
𝑛
] = [𝛽
1
· · · 𝛽
𝑛
]𝐵 = [𝛼
1
· · · 𝛼
𝑛
]𝑇 𝐵
得到 𝒜 在 𝛽
1
, · · · , 𝛽
𝑛
下的矩阵为
𝐵 = 𝑇
−1
𝐴𝑇
4 正交变换
4.1 正交变换
设 𝒜 为欧氏空间 𝑉 上的线性变换, 若 𝒜 保持内积不变, 即
(𝒜𝑎, 𝒜𝑏) = (𝑎, 𝑏)
则称 𝒜 为正交变换
正交变换有如下等价定义
1. 𝒜 保持向量长度
2. 𝒜 将标准正交基变为标准正交基
由此可以得到
1. 单位变换是正交变换
2. 正交变换的符合仍是正交变换
3. 正交变换可逆且逆为正交变换
4.2 正交变换在标准正交基下的矩阵
正交变换在标准正交基下的矩阵为正交阵, 这是因为 𝒜 正交, 使得
𝒜𝑒
1
, · · · , 𝒜𝑒
𝑛
为标准正交基, 从而
(𝒜𝑒
𝑖
, 𝒜𝑒
𝑗
) =
1, 𝑖 = 𝑗
0, 𝑖 ≠ 𝑗
而标准正交基下的度量矩阵为单位阵, 进而就有
𝐴
𝑇
𝐴 = 𝐼
即证
由此可以得到, 正交变换特征值的模长都为 1, 实特征值只能为 ±1
4.3 正交变换的分类
设 𝐴 为 𝒜 在标准正交基下的矩阵, 即 𝐴 为正交阵, 那么
1. 若 𝑑𝑒𝑡 ( 𝐴) = 1, 则称 𝒜 为第一类变换
2. 若 𝑑𝑒𝑡 ( 𝐴) = −1, 则称 𝒜 为第二类变换
如三维空间或在二维空间的旋转为第一类变换, 而镜面反射为第二类变换
5 对称变换
5.1 伴随变换
对于欧氏空间上的线性变换 𝒜, 存在唯一的 𝑉 上的线性变换 𝒜 满足
(𝒜𝛼, 𝛽) = (𝛼, 𝒜 𝛽), (∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝑉)
称 𝒜 为 𝒜 的伴随变换. 设 𝒜 在标准正交基下的矩阵为 𝐴, 那么 𝒜 在标准正交基下的矩阵为 𝐴
𝑇
取伴随操作有着和矩阵取转置一样的性质. 特别地
𝒜正交 ⇔ 𝒜𝒜 = 𝜖 ⇔ 𝒜正交
5.2 对称变换
若有
𝒜 = 𝒜
称 𝒜 为对称变换, 或自伴随变换
对称变换在标准正交基下的矩阵是实对阵矩阵, 对称变换的不同特征值对应的特征向量正交
