1 Sylvester 公式
1.1 特征多项式
对于任意 𝐴
𝑚×𝑛
, 𝐵
𝑛×𝑚
, 矩阵 𝐴𝐵 和 𝐵𝐴 的特征多项式有如下关系
𝜆
𝑛
𝑓
𝐴𝐵
(𝜆 ) = 𝜆
𝑚
𝑓
𝐴𝐵
(𝜆 )
设 𝜆 ≠ 0, 构造矩阵 𝐻
𝐻 =
𝐼
𝑛
1
𝜆
𝐵
𝐴 𝐼
𝑚
由于
𝐼
𝑛
−𝐴 𝐼
𝑚
= 1
那么对于
"
𝐼
𝑛
−𝐴 𝐼
𝑚
#
𝐼
𝑛
1
𝜆
𝐵
𝐴 𝐼
𝑚
=
𝐼
𝑛
1
𝜆
𝐵 −
1
𝜆
𝐴𝐵 + 𝐼
𝑚
𝐼
𝑛
1
𝜆
𝐵
𝐴 𝐼
𝑚
"
𝐼
𝑛
−𝐴 𝐼
𝑚
#
=
𝐼
𝑛
−
1
𝜆
𝐵𝐴
1
𝜆
𝐵 𝐼
𝑚
两边取行列式得到
−
1
𝜆
𝐴𝐵 + 𝐼
𝑚
=
𝐼
𝑛
−
1
𝜆
𝐵𝐴
也就是
1
𝜆
𝑚
|
𝜆𝐼
𝑚
− 𝐴𝐵
|
=
1
𝜆
𝑛
|
𝜆𝐼
𝑛
− 𝐵 𝐴
|
即证.
那么由此可以得知,𝐴𝐵 与 𝐵𝐴 的非零特征值相同, 零特征值的数目由零空间大小决定
1.2 秩
对于 𝐴
𝑚×𝑛
, 𝐵
𝑛×𝑠
, 有
𝑟 ( 𝐴) + 𝑟 (𝐵) − 𝑛 ≤ 𝑟 ( 𝐴𝐵) ≤ min{ 𝑟 ( 𝐴), 𝑟 (𝐵)}
对于左边, 由于
𝑟 𝐴 + 𝑟𝐵 = 𝑟
"
𝐴
𝐵
#
≤ 𝑟
"
𝐴
𝐼
𝑛
𝐵
#
= 𝑟
"
𝐴𝐵
𝐼
𝑛
#
= 𝑛 + 𝑟 (𝐴𝐵)
对于右边, 由生成空间的维数可知
𝑟 ( 𝐴𝐵) ≤ 𝑟 ( 𝐴), 𝑟 ( 𝐴𝐵) ≤ 𝑟 (𝐵)
即证
