矩阵
目录
1 线性方程组 2
1.1 行图像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 列图像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 常用矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 矩阵乘向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.1 矩阵乘列向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.2 矩阵乘行向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 矩阵乘法 3
2.1 单个元素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 整列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 整行 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 列乘行 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 分块乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6 求解矩阵的 n 次方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6.1 秩为 1 的矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6.2 分解为幂零矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6.3 分块矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.6.4 找规律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
3 矩阵转置, 共轭, 和迹 5
3.1 转置, 共轭和迹的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 对称矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 转置性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 应用: 证明矩阵为零 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 分块矩阵 7
4.1 分块矩阵的运算性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 高斯消元 8
5.1 线性方程组解的属性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 矩阵的四个基本子空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2.1 列空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2.2 零空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2.3 行空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2.4 左零空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 消元矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.4 置换矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.5 逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.5.1 奇异矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.5.2 求逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.5.3 矩阵逆的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.5.4 转置矩阵的逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.5.5 消元矩阵的逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.6 LU 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.7 抽象矩阵求逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.7.1 多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.7.2 瞪眼法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.8 逆与矩阵泰勒展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 行列式 15
6.1 行列式的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 余子式代数余子式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.3 行列式的展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3.1 行列式的行展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3.2 行列式的列展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.4 分块矩阵的行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.5 伴随矩阵与逆矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.6 行列式的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.6.1 利用初等变换求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.6.2 利用零元素行展开或列展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.6.3 利用多项式方程的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.6.4 行列式递推 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.6.5 加边法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.7 Cramer 法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 秩 20
7.1 相抵与秩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.1.1 相抵标准型的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.2 秩的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.2.1 初等变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.2.2 子式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.3 秩的等式与不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.3.1 秩的和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.3.2 子矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.3.3 秩的积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1 线性方程组
对于线性方程组:
2𝑥 − 𝑦 = 0
−𝑥 + 2𝑦 = 3
可以写出其矩阵形式:
"
2 −1
−1 2
#"
𝑥
𝑦
#
=
"
0
3
#
记为
𝐴𝑥 = 𝑏
其中 A 称为线性方程组的系数矩阵
1.1 行图像
该方程组的解可以视为直线 2𝑥 − 𝑦 = 0 与 −𝑥 + 2𝑦 = 3 的交点
对于三个未知数的情形, 可以认为解是三个方程确定的三个平面的交点
1.2 列图像
𝑥
"
2
−1
#
+ 𝑦
"
−1
2
#
=
"
0
3
#
可以视为列向量的线性组合
1.3 矩阵
对任意正整数 𝑚, 𝑛, 由 𝑚 × 𝑛 个数排成的 𝑚 行 𝑛 列的表称为一个 𝑚 × 𝑛 矩阵, 记为 A = (𝑎
𝑖 𝑗
)
𝑚×𝑛
𝑎
11
𝑎
12
· · · 𝑎
1𝑛
𝑎
21
𝑎
22
· · · 𝑎
2𝑛
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑎
𝑚1
𝑎
𝑚2
· · · 𝑎
𝑚𝑛
第 𝑖 行 𝑗 列的元素称为 A 的第 (𝑖, 𝑗) 元素,𝑎
𝑖𝑖
也称 A 的对角元
1.3.1 常用矩阵
零矩阵, 方阵, 单位阵, 数量矩阵, 对角矩阵,(上下) 三角矩阵, 对称矩阵, 反对称矩阵
正交方阵:
PP
𝑇
= I 𝑜𝑟 P
𝑇
P = I
1.4 矩阵乘向量
1.4.1 矩阵乘列向量
一次一列将 𝐴𝑥 看作是 𝐴 各列的线性组合
"
2 5
1 3
#"
1
2
#
= 1
"
2
1
#
+ 2
"
5
3
#
=
"
12
7
#
一次一行结果向量的每一行都可以看作矩阵的一行点乘向量
"
2 5
1 3
#"
1
2
#
=
"
1 × 2 + 5 × 2
1 × 1 + 3 × 2
#
=
"
12
7
#
1.4.2 矩阵乘行向量
一次一行视为矩阵各行的线性组合
2 矩阵乘法
若有
𝐴
𝑚×𝑛
𝐵
𝑛× 𝑝
= 𝐶
𝑚× 𝑝
(A 的行数必须和 B 的列数一样!)
2.1 单个元素
𝐶
𝑖 𝑗
= (𝑟𝑜𝑤 𝑖 𝑜 𝑓 𝐴) · (𝑟𝑜𝑤 𝑗 𝑜 𝑓 𝐵) =
𝑛
Õ
𝑘=1
𝐴
𝑖𝑘
𝐵
𝑘 𝑗
2.2 整列
𝐴 乘以 𝐵 的第 𝑖 列得到答案的第 𝑖 列, 将 𝐵 视为一个个列向量
𝐶 的每一列都是 𝐴 中列的线性组合, 组合方式由 𝐵 决 A 定
2.3 整行
𝐴 的第 𝑖 行乘以 𝐵 得到答案的第 𝑖 行, 将 𝐴 视为一个个列向量
𝐶 的每一行都是 𝐵 中行的线性组合, 组合方式由 𝐴 决定
2.4 列乘行
𝐴𝐵 等于 𝐴 各列与 𝐵 各行乘积之和
2 7
3 8
4 9
"
1 6
0 0
#
=
2
3
4
h
1 6
i
+
7
8
9
h
0 0
i
2.5 分块乘法
可相乘的矩阵只要分块方式相同就可以分块相乘, 如
"
𝐴
1
𝐴
2
𝐴
3
𝐴
4
#"
𝐵
1
𝐵
2
𝐵
3
𝐵
4
#
=
"
𝐴
1
𝐵
1
+ 𝐴
2
𝐵
3
𝐴
1
𝐵
2
+ 𝐴
2
𝐵
4
𝐴
3
𝐵
1
+ 𝐴
4
𝐵
3
𝐴
3
𝐵
2
+ 𝐴
4
𝐵
4
#
2.6
求解矩阵的
n
次方
2.6.1 秩为 1 的矩阵
秩为 1 的矩阵可以分解成两个向量的乘积, 进而由结合律可得结果, 如
"
2 2
2 2
#
𝑛
=
"
2
2
#
h
1 1
i
!
𝑛
=
"
2
2
#
h
1 1
i
"
2
2
#!
𝑛−1
h
1 1
i
= 2
𝑛−1
"
2 2
2 2
#
2.6.2 分解为幂零矩阵
对于如下 𝑛 阶矩阵
𝐴 =
0 1
0 1
.
.
.
.
.
.
0 1
0
有
𝐴
𝑖
= 0, 𝑖 ≥ 𝑛
对于
𝐴 =
𝜆 1 0
0 𝜆 1
0 0 𝜆
=
𝜆 0 0
0 𝜆 0
0 0 𝜆
+
0 1 0
0 0 1
0 0 0
= 𝜆𝐼 + 𝐵
则
𝐴
𝑛
= (𝜆𝐼 + 𝐵)
𝑛
=
𝑛
Õ
𝑘=0
𝐶
𝑘
𝑛
(𝜆𝐼)
𝑛−𝑘
𝐵
𝑘
= (𝜆𝐼)
𝑛
+ 𝐶
1
𝑛
(𝜆𝐼)
𝑛−1
𝐵 + 𝐶
2
𝑛
(𝜆𝐼)
𝑛−2
𝐵
2
=
𝜆
𝑛
0 0
0 𝜆
𝑛
0
0 0 𝜆
𝑛
+
0 𝑛𝜆
𝑛−1
0
0 0 𝑛𝜆
𝑛−1
0 0 0
+
0 0
𝑛(𝑛 − 1)𝜆
𝑛−1
2
0 0 0
0 0 0
= 𝜆
𝑛−2
𝜆
2
𝑛𝜆
𝑛(𝑛 − 1)
2
0 𝜆
2
𝑛𝜆
0 0 𝜆
2
2.6.3 分块矩阵
3 4 0 0
4 −3 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 2
𝑛
=
"
3 4
4 −3
#
𝑛
0
0
"
−1 0
0 2
#
𝑛
2.6.4 找规律
"
3 4
4 −3
#
𝑛
=
"
5
𝑛
0
0 5
𝑛
#
(n 为偶数)
"
3 × 5
𝑛−1
4 × 5
𝑛−1
4 × 5𝑛 − 1 −3 × 5
𝑛−1
#
(n 为奇数)
3 矩阵转置, 共轭, 和迹
将矩阵的行列互换, 称为转置 (transpose)
(𝐴
𝑇
)
𝑖 𝑗
= 𝐴
𝑗𝑖
设 𝐴 为复数域 C 上的矩阵, 定义共轭矩阵
(𝐴)
𝑖 𝑗
= 𝐴
𝑖 𝑗
设 𝐴 为数域 F 上的方阵, 称对角线元素之和为矩阵 𝐴 的迹
𝑡𝑟 (𝐴) = 𝑎
11
+ · · · + 𝑎
𝑛𝑛
3.1 转置, 共轭和迹的基本性质
(𝐴 + 𝐵)
𝑇
= 𝐴
𝑇
+ 𝐵
𝑇
𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 𝑡𝑟 (𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟 ( 𝐴) + 𝑡𝑟 (𝐵 )
(𝜆𝐴)
𝑇
= 𝜆𝐴
𝑇
𝜆𝐴 = 𝜆 𝐴 𝑡𝑟 (𝜆 𝐴) = 𝜆𝑡𝑟 ( 𝐴 )
(𝐴𝐵)
𝑇
= 𝐵
𝑇
𝐴
𝑇
𝐴 · 𝐵 = 𝐴 · 𝐵 𝑡𝑟 (𝐴
𝑇
) = 𝑡𝑟 ( 𝐴), 𝑡𝑟 (𝐴) = 𝑡𝑟 ( 𝐴)
(𝐴
−
1
)
𝑇
= (𝐴
𝑇
)
−
1
𝐴
−
1
= 𝐴
−1
𝑡𝑟 (𝐴𝐵) = 𝑡𝑟 (𝐵𝐴)
3.2 对称矩阵
若矩阵 𝐴 满足
𝐴
𝑇
= 𝐴
则称
𝐴
为
对阵矩阵
(symmetric matrice)
定理 3.1. 对于任意矩阵 𝐴,𝐴
𝑇
𝐴 是对称矩阵
证明. 对 𝐴
𝑇
𝐴 取转置得
(𝐴
𝑇
𝐴)
𝑇
= 𝐴
𝑇
𝐴
𝑇𝑇
= 𝐴
𝑇
𝐴
□
3.3 转置性质
(𝐴𝐴
𝑇
𝑖𝑖
) =
𝑢
Õ
𝑗−1
𝑎
2
𝑖, 𝑗
𝐴(𝐴)
𝑇
=
𝑛
Õ
𝑖=1
𝑎
𝑖. 𝑗
2
3.4 应用: 证明矩阵为零
证明实矩阵为零, 只需证
𝑡𝑟 (𝐴𝐴
𝑇
) = 0
证明复矩阵为零, 只需
𝑡𝑟 (𝐴𝐴
𝑇
) = 0
4 分块矩阵
将 𝐴 同时按行列分成若干块
𝐴
11
𝐴
12
· · · 𝐴
1𝑠
𝐴
21
𝐴
22
· · · 𝐴
2𝑠
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝐴
𝑟1
𝐴
𝑟2
· · · 𝐴
𝑟 𝑠
称为分块矩阵, 记为 𝐴 = (𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑠
, 每个 𝐴
𝑖 𝑗
称为 𝐴 的子块
由
𝐴
的第
𝑖
1
, 𝑖
2
,
· · ·
, 𝑖
𝑟
行和
𝑗
1
, 𝑗
2
,
· · ·
, 𝑗
𝑠
列上的元素依次排列组成的
𝑟
×
𝑠
矩阵称为
𝐴
的
子矩阵
,
记作
𝐴
𝑖
1
𝑖
2
· · · 𝑖
𝑟
𝑗
1
𝑗
2
· · · 𝑗
𝑠
!
=
𝑎
𝑖
1
𝑗
1
𝑎
𝑖
1
𝑗
2
· · · 𝑎
𝑖
1
𝑗
𝑠
𝑎
𝑖
2
𝑗
1
𝑎
𝑖
2
𝑗
2
· · · 𝑎
𝑖
2
𝑗
𝑠
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑎
𝑖
𝑟
𝑗
1
𝑎
𝑖
𝑟
𝑗
2
· · · 𝑎
𝑖
𝑟
𝑗
𝑠
若 𝐴
𝑖 𝑗
= 0 对所有的 𝑖 ≠ 𝑗 成立, 则称 𝐴 为准对角矩阵, 记作
𝐴
11
.
.
.
𝐴
𝑟𝑟
𝑜𝑟 𝐴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔( 𝐴
11
, 𝐴
22
, 𝐴
𝑟𝑟
)
同样的可以定义准上三角矩阵和准下三角矩阵, 这些概念和矩阵的分块方式有关
4.1 分块矩阵的运算性质
1. 设 𝐴 = (𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑠
, 𝐵 = (𝐵
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑠
, 则 𝐴 + 𝐵 = (𝐴
𝑖 𝑗
+ 𝐵
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑠
2. 设 𝐴 = (𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑠
𝜆𝐴 = (𝜆𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑠
3. 设 𝐴 = (𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑠
, 𝐵 = (𝐵
𝑖 𝑗
)
𝑠×𝑡
, 则 𝐴𝐵 = (𝐶
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑡
, 𝐶
𝑖 𝑗
=
𝑠
Í
𝑘=1
𝐴
𝑖𝑘
𝐵𝑘 𝑗
4. 设 𝐴 = (𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑠
, 则 𝐴
𝑇
= (𝐴
𝑇
𝑗𝑖
)
𝑠×𝑟
5. 设 𝐴 = (𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑠
, 𝐴 = (𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑠
6. 设 𝐴 = (𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑟 ×𝑠
且每个 𝐴
𝑖𝑖
是方阵, 则 𝑡𝑟 ( 𝐴) =
𝑟
Í
𝑖=1
𝑡𝑟 (𝐴
𝑖𝑖
)
7. 若 𝐴
1
, · · · , 𝐴
𝑟
都可逆时,(𝑑𝑖𝑎𝑔( 𝐴
1
, · · · , 𝐴
𝑟
))
−1
= 𝑑𝑖𝑎𝑔( 𝐴
−1
1
, · · · , 𝐴
−1
𝑟
)
5 高斯消元
对于方程组:
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 8𝑦 + 𝑧 = 12
4𝑦 + 𝑧 = 2
可以写出其系数矩阵
1 2 1
3 8 1
0 4 1
称第 𝑖 行的第 𝑖 个数为主元 (pivot), 主元不能为 0, 若 0 占据了主元的位置, 需要进行行交换
通过行变换可一一消去下面方程的对应系数, 得到上三角矩阵 (upper triangular) 记作 𝑈
1 2 1
0 2 −2
0 0 5
对于方程组, 可以将常数项加入矩阵中得到增广矩阵 (augmented matrix)
1 2 1 2
3 8 1 12
0 4 1 2
消元时新增列也会同步变化, 消元后可得
1 2 1 2
0 2 −2 6
0 0 5 −10
记
2
6
−10
为 𝑐 则得到 𝑈𝑥 = 𝑐, 进行回代即可解出 𝑥
5.1
线性方程组解的属性
对增广矩阵高斯消元后可以得到矩阵的最简形式或标准形式
𝑐
1,1
· · · 𝑐
1, 𝑗
2
−1
· · · · · · · · · · · · · · · 𝑐
1,𝑛
𝑑
1
𝑐
2, 𝑗
2
· · · · · · · · · · · · 𝑐
2,𝑛
𝑑
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑐
𝑟 , 𝑗
𝑟
· · · 𝑐
𝑟 ,𝑛
𝑑
𝑟
𝑑
𝑟+1
.
.
.
定理 5.1. 线性方程组解的属性如下
1. 𝑑
𝑟+1
≠ 0 时, 无解
2. 𝑑
𝑟+1
= 0 且 𝑟 = 𝑛 时有唯一解
3. 𝑑
𝑟+1
= 0 且 𝑟 < 𝑛 时有多解
5.2 矩阵的四个基本子空间
如果有矩阵 ( 𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑚×𝑛
5.2.1 列空间
矩阵列向量的所有线性组合构成列空间 (colum space), 记作 𝐶( 𝐴 )
定理 5.2. 方程 𝐴𝑥 = 𝑏 有解当且仅当 𝑏 属于 𝐴 的列空间
对于
𝐴𝑥 =
1 1 2
2 1 3
3 1 4
4 1 5
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
= 𝑏
去掉 𝐴 的列三依然能得到相同的列空间, 前两列线性无关, 称为主列 (pivot colum)
对于 𝑚 × 𝑛 矩阵, 列空间是 ℝ
𝑚
的子空间, 并且有 𝑑𝑖𝑚𝐶 ( 𝐴) = 𝑟(秩)
5.2.2 零空间
所有满足 𝐴𝑥 = 0 的向量的集合称为 𝐴 的零空间 (null space), 记作 𝑁 (𝐴)
对矩阵高斯消元后可以得到标准形式
𝑈 =
𝑐
1,1
· · · 𝑐
1, 𝑗
2
−1
· · · · · · · · · · · · · · · 𝑐
1,𝑛
𝑐
2, 𝑗
2
· · · · · · · · · · · · 𝑐
2,𝑛
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑐
𝑟 , 𝑗
𝑟
· · · 𝑐
𝑟 ,𝑛
.
.
.
其中 𝑐
1,1
, 𝑐
2, 𝑗
2
...𝑐
𝑟 , 𝑗
𝑟
所在列被称为主列 (pivots), 剩余的列被称为自由列
使用行变换将主元所在列的其他数全部消去, 并将主元化为 1, 得到
𝑅 =
1 · · ·
1 · · ·
1 · · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0 0 0 0 0 0
将主列放到一起, 得到
𝑅 =
"
𝐼 𝐹
0 0
#
设 𝑁 为特解组成的矩阵, 那么就有 𝑅𝑁 = 0, 得到
𝑁 =
"
−𝐹
𝐼
#
对于 𝑚 × 𝑛 矩阵, 零空间是 ℝ
𝑛
的子空间 (有 𝑛 个未知数)
证明零空间是向量空间. 若 𝐴𝑥
1
= 0, 𝐴𝑥
2
= 0, 则由分配律有 𝐴(𝑥
1
+ 𝑥
2
) = 𝐴𝑥
1
+ 𝐴𝑥
2
= 0, 故 (𝑥
1
+ 𝑥
2
) ∈
𝑁 ( 𝐴) □
对于零空间有 𝑑𝑖𝑚𝑁 (𝐴) = 𝑛 − 𝑟
5.2.3 行空间
矩阵行向量的所有线性组合构成行空间 (row space), 即 𝐶( 𝐴
𝑇
)
行空间的基为矩阵最简形 𝑅 的前 𝑟 行
𝑑𝑖𝑚𝐶 ( 𝐴
𝑇
) = 𝑟
5.2.4 左零空间
左零空间即 𝐴
𝑇
的零空间, 即 𝑁 (𝐴
𝑇
)
𝑑𝑖𝑚𝑁 (𝐴
𝑇
) = 𝑚 − 𝑟
类比高斯消元, 可以构造
h
𝐴𝐼
𝑚×𝑚
i
进行消元得到 𝑅, 则得到
𝐸 𝐴
=
𝑅
那么 𝑅 中零行对应 𝐸 中的行即为左零空间的基
5.3 消元矩阵
将矩阵的第二行变为 −3 倍行一加上 1 倍行二, 可以用矩阵表示
1 0 0
−3 1 0
0 0 1
1 2 1
3 8 1
0 4 1
=
1 2 1
0 2 −2
0 4 1
该矩阵被称为初等矩阵 (elementary), 记作 𝐸, 此处记为 𝐸
21
, 意为消去 𝐴
21
的矩阵
则消元过程可以记为
𝐸
32
(𝐸
21
𝐴) = 𝑈
矩阵乘法满足结合律, 消元过程可以写为
(𝐸
32
𝐸
21
) 𝐴 = 𝑈
5.4 置换矩阵
用于交换两行的矩阵, 称为置换矩阵 (permutation matrix), 记为 𝑃, 置换矩阵是行重新排列了的单位
阵
如交换一二行:
"
0 1
1 0
#"
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
#
=
"
𝑐 𝑑
𝑎 𝑏
#
交换一二列:
"
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
#"
0 1
1 0
#
=
"
𝑏 𝑎
𝑑 𝑐
#
交换行时左乘, 交换列时右乘
考察所有的三阶置换矩阵
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
不难得到, 三阶转置矩阵的乘积也是三阶转置矩阵, 逆也是三阶转置矩阵
实际上置换矩阵都可逆, 且
𝑃
−1
= 𝑃
𝑇
5.5 逆
𝐴
−1
𝐴 = 𝐼
则 𝐴 称为可逆的 (invertible), 非奇异的 (non-singular)
5.5.1 奇异矩阵
取矩阵 𝐴
𝐴 =
"
1 3
2 6
#
观察列
由于 𝐴 中两列共线,(0, 1) 不可能是 𝐴 中列的线性组合 (不在该直线上)
向量
若 ∃𝑋 ≠
®
0 𝑠.𝑡. 𝐴𝑋 = 0 则 𝐴 不可逆
"
1 3
2 6
#"
3
−1
#
=
"
0
0
#
证明只需假设 𝐴
−1
存在, 方程两边乘以 𝐴
−1
即可得到矛盾
定理 5.3. 对于奇异矩阵, 其列能通过线性组合得到 0
5.5.2 求逆
对于
"
1 3
2 7
#"
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
#
=
"
1 0
0 1
#
有 𝐴 × 𝐴
−1
的第 j 列 = 𝐼的第就 j 列, 得到 𝑛 个方程
可以使用高斯-若尔当 (Gauss-Jordan) 方法同时求解这 𝑛 个方程组
首先可以写出其增广矩阵
"
1 3 1 0
2 7 0 1
#
进行高斯消元将左边变为单位阵后, 右边即为逆
证明. 由 𝐸 𝐴 = 𝐼 得 𝐸 = 𝐴
−1
, 而
𝐸
h
𝐴 𝐼
i
=
h
𝐼 𝐸
i
故可得右边为 𝐴
−1
□
5.5.3 矩阵逆的性质
若 𝐴 可逆,𝐵 可逆, 则
1. (𝐴
−1
)
−1
= 𝐴
2. (𝜆𝐴)
−
1
= 𝜆
−
1
𝐴
−
1
, 𝜆 ≠ 0
3. (𝐴𝐵)
−1
= 𝐵
−1
𝐴
−1
5.5.4 转置矩阵的逆
(𝐴
𝑇
)
−1
= (𝐴
−1
)
𝑇
对 𝐴𝐴
−1
= 𝐼 两边取转置即证
5.5.5 消元矩阵的逆
对于消元矩阵, 只需要将变换反过来即可, 如
1 0 0
3 1 0
0 0 1
1 0 0
−3 1 0
0 0 1
= 𝐼
从行二减去三倍行一矩阵的逆, 就是从行二加上三倍行一
5.6 LU 分解
假设不需要行交换, 考察三阶矩阵的情况
𝐸
32
𝐸
31
𝐸
21
𝐴 = 𝑈
对 𝐸 取逆, 得到
𝐴 = 𝐸
−1
21
𝐸
−1
31
𝐸
−1
32
𝑈
记 𝐿(lower triangular)= 𝐸
−1
21
𝐸
−1
31
𝐸
−1
32
由于 𝐸
−1
21
𝐸
−1
31
𝐸
−1
32
的顺序, 只需要将所有的消元系数写入即可求出 𝐿
考虑到行交换的情况, 可以将分解写成如下形式 (对于任意可逆矩阵都可以写出)
𝑃𝐴 = 𝐿 𝑈
5.7 抽象矩阵求逆
5.7.1 多项式
有 2𝐴
2
− 3𝐴 + 4𝐼 = 0 求 𝐴
−1
根据原式有
𝐼 =
1
4
(3𝐴 − 2 𝐴
2
)
两边同乘 𝐴
−1
得
𝐴
−1
=
1
4
(3𝐼 − 2𝐴)
5.7.2 瞪眼法
求 𝐴
−1
+ 𝐵
−1
的逆
类比多项式
1
1
𝐴
+
1
𝐵
= 𝐴
1
𝐵 + 𝐴
𝐵 = 𝐴(𝐵 + 𝐴)
−1
𝐵
只需要乘进去” 注意到” 即可
5.8 逆与矩阵泰勒展开
有
(𝐼 − 𝐴)
−1
=
∞
Õ
𝑘=0
𝐴
𝑘
欲使其成立, 即
lim
𝑛→0
(𝐼
𝐴
)
𝑛
Õ
𝑘=0
𝐴
𝑘
= 𝐼
得到成立条件:
lim
𝑛→+∞
𝐴
𝑛+1
= 0
也就是 𝐴 的所有特征值模长都小于 1
使用情景如下:
1. ∃𝑚 > 0 𝑠.𝑡. 𝐴
𝑚
= 0
2. 有 (1 − 𝐴)
−1
导出某个 𝐵 序列的 𝐵
𝑛
极限为 0
3. 不知道成不成立算出来再验证
例: 已知 𝐴
𝑛×𝑛
可逆,𝑈
𝑛×𝑘
, 𝑉
𝑛×𝑘
, 若 𝐼
𝑘
− 𝑉
𝑇
𝐴
−1
𝑈 可逆, 求 ( 𝐴 − 𝑈𝑉
𝑇
)
−1
由可逆得级数收敛
(𝐼
𝑘
− 𝑉
𝑇
𝐴
−1
𝑈) =
∞
Õ
𝑘=0
(𝑉
𝑇
𝐴
−1
𝑈)
𝑘
又有所求极限
(𝐴 − 𝑈𝑉
𝑇
)
−1
= 𝐴
−1
(𝐼 − 𝑈𝑉
𝑇
𝐴
−1
)
−1
= 𝐴
−1
∞
Õ
𝑘=0
(𝑈𝑉
𝑇
𝐴
−1
)
𝑘
又有
∞
Õ
𝑘=0
(𝑈𝑉
𝑇
𝐴
−1
)
𝑘
= 𝐼 + 𝑈𝑉
𝑇
𝐴
−1
+ 𝑈𝑉
𝑇
𝐴
−1
𝑈𝑉
𝑇
𝐴
−1
...
= 𝐼 + 𝑈𝐼𝑉
𝑇
𝐴
−1
+ 𝑈(𝑉
𝑇
𝐴
−1
𝑈)𝑉
𝑇
𝐴
−1
+ 𝑈(𝑉
𝑇
𝐴
−1
𝑈)
2
𝑉
𝑇
𝐴
−1
...
= 𝐼 + 𝑈
∞
Õ
𝑘=0
(𝑉
𝑇
𝐴
−1
𝑈)
𝑘
(𝑉
𝑇
𝐴
−1
)
再左乘 𝐴
−1
得
(𝐴 − 𝑈𝑉
𝑇
)
−1
= 𝐴
−1
+ 𝐴
−1
𝑈(𝐼 − 𝑉
𝑇
𝐴
−1
𝑈)
−1
𝑉
𝑇
𝐴
−1
6 行列式
6.1
行列式的基本性质
1. 𝑑𝑒𝑡𝐼 = 1
2. 交换 𝐴 的某两行得 𝐵, 则 𝑑𝑒𝑡 𝐵 = −𝑑𝑒𝑡 𝐴
3. 将 𝐴 的某一行乘 𝜆 得 𝐵, 则 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝜆𝑑𝑒𝑡 𝐴
4. 若 𝐴 的某一行是两个向量之和, 则 𝑑𝑒𝑡 𝐴 可拆成两个行列式之和
推论
1. 若 𝐴 的某两列成比例，则 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0
2. 消元不改变行列式
3. 有一行为零的矩阵行列式为零
4. 对角阵, 三角阵的行列式是其对角元乘积
5. 奇异矩阵行列式为零
6. 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 · 𝑑𝑒𝑡𝐵
7. 𝑑𝑒𝑡 𝐴
𝑇
= 𝑑𝑒𝑡 𝐴
设
𝐴 = (𝑎
𝑖 𝑗
)
𝑛×𝑛
=
©
«
𝛼
1
𝛼
2
.
.
.
𝛼
𝑛
ª
®
®
®
®
®
®
¬
则 𝑑𝑒𝑡 可以看成 𝛼
1
, · · · , 𝛼
𝑛
的函数，，个函数满足如下性质
1. 反对称性:𝑑𝑒𝑡 (· · · , 𝛼
𝑖
, · · · , 𝛼
𝑗
, · · · ) = −𝑑𝑒𝑡 (· · · , 𝛼
𝑗
, · · · , 𝛼
𝑖
, · · · )
2. 多重线性 𝑑𝑒𝑡(· · · , 𝜆𝛼
𝑖
+ 𝜇𝛽
𝑖
, · · · ) = 𝜆𝑑𝑒𝑡 (· · · , 𝑎
𝑖
, · · · ) + 𝜇𝑑 𝑒𝑡(· · · , 𝛽
𝑖
, · · · )
3. 规范性:𝑑𝑒𝑡 ( ®𝑒
1
, · · · , ®𝑒
𝑛
) = 1
6.2 余子式代数余子式
定义 𝑀
𝑖
𝑗 为删除 𝐴 的第 𝑖 行与第 𝑗 列所得矩阵的行列式, 称为 𝑑𝑒𝑡 ( 𝐴) 的元素 𝑎
𝑖 𝑗
的余子式,𝐴
𝑖 𝑗
=
(−1)
𝑖+ 𝑗
𝑀
𝑖 𝑗
为 𝑎
𝑖 𝑗
的代数余子式, 即
𝑀
𝑖 𝑗
:
=
𝑑𝑒𝑡
𝐴
1, · · · , 𝑖 − 1, 𝑖 + 1, · · · , 𝑛
1, · · · , 𝑗 − 1, 𝑗 + 1, · · · , 𝑛
!!
为元素 𝑎
𝑖 𝑗
的余子式
𝐴
𝑖 𝑗
:= (−1)
𝑖+ 𝑗
𝑀
𝑖 𝑗
为 𝑎
𝑖 𝑗
的代数余子式
称 𝐴 的某个 𝑘 阶子矩阵的行列式为 𝐴 的 𝑘 阶子式，，去子式所在的行列所得的矩阵的行列式称为该子
式的余子式
特别地，称
𝑑𝑒𝑡
𝐴
1, 2, · · · , 𝑘
1, 2, · · · , 𝑘
!!
为 𝐴 的 𝑘 阶主子式
6.3 行列式的展开
6.3.1 行列式的行展开
𝑑𝑒𝑡 ( 𝐴) =
𝑛
Õ
𝑗=1
𝑎
𝑖 𝑗
𝐴
𝑖 𝑗
=
𝑛
Õ
𝑗=1
(−1)
𝑖+ 𝑗
𝑎
𝑖 𝑗
𝑀
𝑖 𝑗
6.3.2 行列式的列展开
𝑑𝑒𝑡 ( 𝐴) =
𝑛
Õ
𝑖=1
𝑎
𝑖 𝑗
𝐴
𝑖 𝑗
=
𝑛
Õ
𝑖=1
(−1)
𝑖+ 𝑗
𝑎
𝑖 𝑗
𝑀
𝑖 𝑗
6.4 分块矩阵的行列式
设准上三角方阵 𝐴 = (𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑘×𝑘
的每个对角块都是方阵, 则有
det( 𝐴) =
𝐴
11
𝐴
12
· · · 𝐴
1𝑘
0 𝐴
22
· · · 𝐴
2𝑘
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 · · · 0 𝐴
𝑘𝑘
= 𝑑𝑒𝑡( 𝐴
11
)𝑑𝑒𝑡( 𝐴
22
) · · · 𝑑𝑒𝑡(𝐴
𝑘𝑘
)
设 𝑚 > 𝑛, 𝐴 ∈ 𝐹
𝑚×𝑛
, 𝐵 ∈ 𝐹
𝑛×𝑚
, 则
𝑑𝑒𝑡 (𝐴𝐵) = 0
设 𝑚 > 𝑛, 𝐴 ∈ 𝐹
𝑛×𝑛
, 𝐵 ∈ 𝐹
𝑛×𝑚
, 𝐶 ∈ 𝐹
𝑚×𝑛
, 𝐷 ∈ 𝐹
𝑚×𝑚
𝑑𝑒𝑡
"
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
#
= 𝑑𝑒𝑡( 𝐴) · 𝑑𝑒𝑡 (𝐷 − 𝐶 𝐴
−1
𝐵)
6.5 伴随矩阵与逆矩阵
设 𝐴 = (𝑎
𝑖 𝑗
) 为 𝑛 阶方阵, 引入
𝐴∗ =
𝐴
11
𝐴
12
· · · 𝐴
𝑛1
𝐴
12
𝐴
22
· · · 𝐴
𝑛2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝐴
1𝑛
𝐴
2𝑛
· · · 𝐴
𝑛𝑛
= (𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑇
𝑛×𝑛
其中 𝐴
𝑖 𝑗
是 𝑎
𝑖 𝑗
的代数余子式, 称 𝐴∗ 为 𝐴 的伴随方阵, 有
𝐴 ∗ 𝐴 = 𝐴𝐴∗ = 𝑑𝑒𝑡 ( 𝐴)𝐼
证明. 希望证明 𝐴(𝐴
𝑖 𝑗
)
𝑇
= (𝑑𝑒𝑡 𝐴)𝐼
𝑎
11
· · · 𝑎
1𝑛
.
.
.
.
.
.
𝑎
𝑛1
· · · 𝑎
𝑛𝑛
𝐴
11
· · · 𝐴
𝑛1
.
.
.
.
.
.
𝐴
1𝑛
· · · 𝐴
𝑛𝑛
显然对角元都为 𝑑𝑒𝑡 𝐴, 对于非对角元, 相当于计算有两行相等矩阵的行列式, 得为 0 □
得到方阵 𝐴 可逆的充要条件为 𝑑𝑒𝑡 ( 𝐴) ≠ 0, 且有 𝐴 可逆时
𝐴
−1
=
1
𝑑𝑒𝑡 (𝐴)
𝐴∗
还可得到,𝑛 阶方阵 𝐴 可逆当且仅当存在 𝑛 阶方阵 𝑋 使得
𝐴𝑋 = 𝐼 𝑜𝑟 𝑋 𝐴 = 𝐼
6.6 行列式的计算
6.6.1 利用初等变换求解
𝑥 1 · · · 1
1 𝑥
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑥 1
1 · · · 1 𝑥
=
𝑥 + 𝑛 − 1 1 · · · 1
𝑥 + 𝑛 − 1 𝑥
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑥 1
𝑥 + 𝑛 − 1 · · · 1 𝑥
= (𝑥 + 𝑛 − 1)
1 1 · · · 1
1 𝑥
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑥 1
1 · · · 1 𝑥
= (𝑥 + 𝑛 − 1)
1 0 · · · 0
1 𝑥 − 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑥 − 1 0
1 · · · 0 𝑥 − 1
= (𝑥 + 𝑛 − 1) (𝑥 − 1)
𝑛−1
6.6.2 利用零元素行展开或列展开
𝑥 𝑎
0
−1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑥 𝑎
𝑛−1
−1 𝑥 + 𝑎
𝑛−1
按最右侧列展开, 只有取对角线时才不是零, 得到 = 𝑥
𝑛
+ 𝑎
𝑛−1
𝑥
𝑛−1
+ · · · + 𝑎
1
𝑥 + 𝑎
0
6.6.3 利用多项式方程的解
1 𝑎
1
· · · 𝑎
𝑛−1
1
1 𝑎
2
· · · 𝑎
𝑛−1
2
· · · · · · · · · · · ·
1 𝑎
𝑛
· · · 𝑎
𝑛−1
𝑛
由于 𝑎
1
= 𝑎
2
或任意两个 𝑎 相等行列式都为零, 得到行列式必定包含 (𝑎
𝑖
− 𝑎
𝑗
) 元素. 又因行列式为 𝑛 次
多项式, 得到
原式 =
Ö
1≤𝑖< 𝑗 ≤𝑛
(𝑎
𝑗
− 𝑎
𝑖
)
6.6.4 行列式递推
Δ
𝑛
=
2 1
1 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1 2
= 2
2 1
1 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1 2
−
1 1
2 1
1 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1 2
= 2Δ
𝑛−1
+ Δ
𝑛−2
又有 Δ
1
= 2, Δ
2
= 3, 得
Δ
𝑛
= 𝑛 + 1
6.6.5 加边法
求解 𝐴 的行列式
𝐴 =
1 𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 1 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 1 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎 1
则
𝑑𝑒𝑡 ( 𝐴) = 𝑑𝑒𝑡
1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
0 1 𝑎 𝑎 𝑎
0 𝑎 1 𝑎 𝑎
0 𝑎 𝑎 1 𝑎
0 𝑎 𝑎 𝑎 1
= 𝑑𝑒𝑡
1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
−1 1 − 𝑎
−
1
1
−
𝑎
−1 1 − 𝑎
−1 1 − 𝑎
= 𝑑𝑒𝑡
1 −
4𝑎
1 − 𝑎
−1 1 − 𝑎
−1 1 − 𝑎
−1 1 − 𝑎
−1 1 − 𝑎
∴ 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = (1 + 3𝑎)(1 − 𝑎)
3
6.7 Cramer 法则
若 𝑛 阶方阵 𝐴 = (𝑎
𝑖 𝑗
)
𝑚×𝑛
= (𝛼
1
, · · · , 𝛼
𝑛
) 可逆, 则一般线性方程组
𝐴𝑋 = 𝑏
有唯一解
(𝑥
1
, · · · , 𝑥
𝑛
) =
Δ
1
Δ
,
Δ
2
Δ
, · · · ,
Δ
𝑛
Δ
其中 Δ = 𝑑𝑒𝑡 (𝐴), Δ
𝑖
= 𝑑𝑒𝑡(𝛼
1
, · · · , 𝛼
𝑖−1
, 𝑏, 𝛼
𝑖+1
, · · · , 𝛼
𝑛
)
7 秩
7.1 相抵与秩
定义 7.1 (相抵). 设 𝐴, 𝐵 是 𝑚 × 𝑛 的矩阵, 如果存在可逆方阵 𝑃, 𝑄 使得
𝐵 = 𝑃𝐴𝑄
则称 𝐴, 𝐵 相抵
定理 7.2 (相抵标准型与秩). 设 𝐴 为 𝑚 × 𝑛 矩阵, 则存在 𝑚 阶可逆方阵 𝑃 与 𝑛 阶可逆方阵 𝑄, 使得
𝑃𝐴𝑄 =
"
𝐼
𝑟
0
0 0
#
其中非负数 𝑟 由 𝐴 唯一确定, 称该矩阵为 𝐴 的相抵标准型, 整数 𝑟 为 𝐴 的秩, 记为 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴) 或 𝑟 ( 𝐴), 若
𝑟 = 𝑚, 称 𝐴 为行满秩, 若 𝑟 = 𝑛 , 称 𝐴 为列满秩
特别的, 零矩阵的秩是 0, 可逆方阵的秩等于方阵的阶数, 其相抵标准型为 𝐼
定理
7.3
(
相抵的充要条件
)
.
设
𝐴, 𝐵
是
𝑚
×
𝑛
矩阵
,
则
𝐴, 𝐵
相抵的充要条件是
𝑟𝑎𝑛𝑘
(
𝐴
)
=
𝑟𝑎𝑛𝑘
(
𝐵
)
定理 7.4 (初等变换不改变矩阵的秩). 设 𝐴 是 𝑚×𝑛 矩阵,𝑃, 𝑄 是分别是 𝑚, 𝑛 阶可逆方阵, 则 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑃 𝐴𝑄) =
𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴)
定理 7.5 (秩与非零子式). 矩阵 𝐴 的非零子式的最大阶数等于 𝐴 的秩
定义 7.6 (秩的等价定义). 设矩阵 𝐴 至少有一个 𝑟 阶非零子式, 且 𝐴 的所有 𝑟 + 1 阶子式都为零, 则称
𝐴 的秩为 𝑟
7.1.1 相抵标准型的应用
若已知 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴) = 𝑟, 则只需考虑 𝐴 的相抵标准型, 让后左右乘一个可逆矩阵即可
例: 已知 𝐴 ∈ ℝ
𝑚×𝑛
, 𝑚 ≤ 𝑛, 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴) = 𝑟, 证明
∃
𝐵
∈
ℝ
𝑛×𝑚
𝑠.𝑡. 𝐴𝐵 = 0, 𝐵𝐴 = 0且𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐵) = 𝑚 − 𝑟
若
𝐴 =
"
𝐼
𝑟
0
#
则取
𝐵 =
"
0
𝐼
𝑚−𝑟
#
若
𝑃𝐴𝑄 =
"
𝐼
𝑟
0
#
则取
𝑄
−1
𝐵𝑃
−1
=
"
0
𝐼
𝑚−𝑟
#
即
𝐵 = 𝑄
"
0
𝐼
𝑚−𝑟
#
𝑃
即可
7.2 秩的计算
7.2.1 初等变换
𝐴 =
𝑥 1 · · · 1
1 𝑥
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
· · ·
1
𝑥
由初等变换
𝐴 →
𝑥 + 𝑛 − 1 1 · · · 1
𝑥 + 𝑛 − 1 𝑥
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
𝑥 + 𝑛 − 1 · · · 1 𝑥
→
𝑥 + 𝑛 − 1 1 · · · 1
𝑥 − 1
.
.
.
𝑥 − 1
故
𝑟 ( 𝐴) =
1, 𝑥 = 1
𝑛 − 1, 𝑥 = 1 − 𝑛
𝑛, 其他情形
7.2.2 子式
𝐴 =
1 1
1
.
.
.
.
.
.
1
1 1
由于左上角 𝑛 − 1 阶子式非零,𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴) ≥ 𝑛 − 1, 又有 𝑑𝑒𝑡( 𝐴) = 1 − (−1)
𝑛
, 故
𝑟 ( 𝐴) =
𝑛, n 为奇数
𝑛 − 1, n 为偶数
7.3 秩的等式与不等式
7.3.1 秩的和
𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴) + 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐵) = 𝑟𝑎𝑛𝑘
"
𝐴
𝐵
#
7.3.2 子矩阵
若 𝐴
0
是 𝐴 的子矩阵, 则
𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴) ≥ 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴
0
)
7.3.3 秩的积
对于 𝑚 × 𝑛 的矩阵 𝐴,𝑛 × 𝑝 的矩阵 𝐵, 有
𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴𝐵) ≤ 𝑚𝑖𝑛{𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴), 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐵)}
证明. 设 𝐴 = 𝑃
1
𝑑𝑖𝑎𝑔(𝐼
𝑟
, 0)𝑄
1
, 𝐵 = 𝑃
2
𝑑𝑖𝑎𝑔(𝐼
𝑠
, 0)𝑄
2
, 其中 𝑃
1
, 𝑄
1
, 𝑃
2
, 𝑄
2
可逆, 将 𝑄
1
𝑃
2
分成分块矩阵
(𝑅
𝑖 𝑗
)
2×2
, 其中 𝑅
11
为 𝑟 × 𝑠 矩阵, 则
𝐴𝐵 = 𝑃
1
"
𝐼
𝑟
#
𝑄
1
𝑃
2
"
𝐼
𝑠
#
𝑄
2
= 𝑃
1
"
𝑅
11
#
𝑄
2
故 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴𝐵) = 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑅
11
) ≤ 𝑚𝑖𝑛(𝑟, 𝑠) □
7.3.4 Forbenius 不等式
设 𝐴 为 𝑚 × 𝑛 矩阵,𝐵 为 𝑛 × 𝑡 矩阵,𝐶 为 𝑡 × 𝑠 矩阵, 则
𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴𝐵𝐶) + 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐵) ≥ 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴𝐵) + 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐵𝐶)
证明. 首先有
𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴𝐵𝐶) + 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐵) = 𝑟𝑎𝑛𝑘
"
𝐴𝐵𝐶
𝐵
#
对其初等变换得
"
𝐼
𝑚
−𝐴
𝐼
𝑛
#"
𝐴𝐵𝐶
𝐵
#"
𝐼
𝑠
𝐶 𝑇
𝑡
#
=
"
−𝐴𝐵
𝐵𝐶 𝐵
#
则
𝑟𝑎𝑛𝑘
"
𝐴𝐵𝐶
𝐵
#
=
"
−𝐴𝐵
𝐵𝐶 𝐵
#
=
"
𝐵𝐶 𝐵
−𝐴𝐵
#
≥ 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐵𝐶) + 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴𝐵)
□
7.3.5 sylvester 不等式
在 Frobenius 不等式中取 𝑛 = 𝑡, 𝐵 = 𝐼
𝑛
, 得
𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴𝐶) + 𝑛 ≥ 𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝐴) + 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐶)
