1 多维随机变量
有时对于随机试验的结果需要用两个或者两个以上的随机变量来描述. 记
X(𝜔) = (𝑋
1
(𝜔) + 𝑋
2
(𝜔) + · · · + 𝑋
𝑛
(𝜔))
称 X 为 𝑛 维随机变量, 通常简记为 (𝑋
1
, 𝑋
2
, · · · , 𝑋
𝑛
) 或 X
2 离散分布
设二维离散型随机变量 (𝑋, 𝑌), 其可能取值为 {(𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗
), 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑗 = 1, 2, · · · }, 记
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
, 𝑌 = 𝑦
𝑗
) = 𝑃
𝑖 𝑗
, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, · · ·
称其为二维离散型随机变量的联合概率密度函数或联合分布律
也可以用下面的列联表表示它们的联合分布率 (表示分布律时不需要行和与列和)
X
Y
𝑦
1
𝑦
2
· · · 𝑦
𝑚
行和
𝑥
1
𝑝
11
𝑝
12
· · · 𝑝
1𝑚
𝑝
1·
𝑥
2
𝑝
21
𝑝
22
· · · 𝑝
2𝑚
𝑝
2·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑥
𝑛
𝑝
𝑛1
𝑝
𝑛2
· · · 𝑝
𝑛𝑚
𝑝
𝑛·
列和 𝑝
·1
𝑝
·2
· · · 𝑝
·𝑚
1
对于 𝑛 维离散型随机变量, 也可以类似地定义联合分布律: 设 𝑋
𝑖
的所有可能取值为 {𝑎
𝑖1
, 𝑎
𝑖2
, · · · }, 称
𝑝( 𝑗
1
, 𝑗
2
, · · · , 𝑗
𝑛
) = 𝑃(𝑋
1
= 𝑎
1 𝑗
1
, 𝑋
2
= 𝑎
2 𝑗
2
, · · · , 𝑋
𝑛
= 𝑎
𝑛 𝑗
𝑛
)
为 𝑛 维随机变量 X 的联合概率密度函数或联合分布率. 容易证明联合分布律有如下性质
1. 𝑝( 𝑗
1
, 𝑗
2
, · · · , 𝑗
𝑛
) ≥ 0
2.
Í
𝑗
1
, 𝑗
2
,··· , 𝑗
𝑛
𝑝( 𝑗
1
, 𝑗
2
, · · · , 𝑗
𝑛
) = 1
3 连续型随机变量
可以类似地定义二维随机变量 (𝑋, 𝑌) 的分布函数: 设 (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ
2
, 称
𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦) = 𝑃({𝑋 ≤ 𝑥} ∩ {𝑌 ≤ 𝑦})
为 (𝑋, 𝑌) 的分布函数, 或 ( 𝑋, 𝑌) 的联合分布函数. 并由此可以定义联合密度函数
𝐹 (𝑥, 𝑦)
∫
𝑥
−∞
∫
𝑦
−∞
𝑓 (𝑢, 𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣
则称 𝑓 (𝑥, 𝑦) 为其联合密度函数. 与一维的连续型变量相同, 二维的连续性变量也有如下性质
1. 𝑓 (𝑥, 𝑦) > 0
2.
∬
ℝ
2
𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1
3.
𝜕
2
𝐹 (𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑥
0
,𝑦
0
= 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
)
4. 𝑃((𝑋, 𝑌) ∈ 𝐺) =
∬
(𝑥, 𝑦) ∈𝐺
𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
4 边缘分布
联合分布可以推出边缘分布
(𝑋,𝑌 ) ∼ 𝑃
𝑖 𝑗
= 𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
, 𝑌 = 𝑦
𝑖
)
则有
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
) = 𝑃({𝑋 = 𝑥
𝑖
} ∩ Ω)
= 𝑃({𝑋 = 𝑥
𝑖
} ∪
𝑗
{𝑌 = 𝑦
𝑗
} )
= 𝑃(∪
𝑗
{𝑋 = 𝑥
𝑖
, 𝑌 = 𝑦
𝑗
} )
=
Õ
𝑗
𝑃
𝑖 𝑗
≡ 𝑃
𝑖·
得到联合分布可以唯一确定边缘分布, 但是边缘分布率不能决定联合分布律
4.1 二维离散型随机变量
设 (𝑋, 𝑌) 的联合分布律为
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
, 𝑌 = 𝑦
𝑖
) = 𝑝
𝑖 𝑗
则 𝑋 的边缘分布律为
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
) =
∞
Õ
𝑗=1
𝑝
𝑖 𝑗
≡ 𝑝
𝑖·
𝑝
𝑖·
下标中的点表示通过求和去掉了下标, 是一个边缘分布
同样可以得到 𝑌 的边缘分布
𝑃(𝑌 = 𝑦
𝑖
) =
∞
Õ
𝑖=1
𝑝
𝑖 𝑗
≡ 𝑝
· 𝑗
4.2 连续函数
设有联合密度
(𝑋,𝑌 ) ∼ 𝑓 (𝑥, 𝑦)
则
𝐹
𝑋
= 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥, −∞ < 𝑌 < ∞) =
∫
∞
−∞
∫
𝑥
−∞
𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =
∫
𝑥
−∞
∫
∞
−∞
𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
于是 𝑋 的密度函数为
𝑓 (𝑥) =
∫
∞
−∞
𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
同样可以得出 𝑌 的密度函数
𝑓 (𝑦) =
∫
∞
−∞
𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
二维连续型随机变量的边缘密度函数就是联合密度函数对另一个变量求积分. 若由 𝑛 维连续型随机变量,
则同样地积分即可
