事件及其概率
目录
1 基本概念 2
1.1 相关概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 事件的集合表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 事件间的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 事件运算律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 古典概型 3
2.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 概率计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 分堆问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 几何概型 4
4 频率与概率 4
4.1 频率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 概率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 条件概率 5
5.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.2 乘法公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.3 全概率公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.4
贝叶斯公式
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6 独立性 6
6.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.2 推论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
1 基本概念
1.1 相关概念
随机试验:
1. 在相同条件下可重复
2. 结果不止一个
3. 结果无法预测
事件
:
每种结果
基本事件: 相对于实验目的不能 (不必) 再分的事件
复合事件: 由基本事件复合而成的事件
必然事件: 一定发生的事件, 记作 𝜔
不可能事件: 一定不发生的事件, 记作 Φ
样本空间: 所有基本事件的集合, 记作 Ω
样本点: 样本空间的元素, 记作 𝜔
无限可列个: 可以按某种规律排成一个序列
1.2 事件的集合表示
” 投骰子点数为偶数” 表示为
𝐴 = {2, 4, 6}
必然事件就是样本空间, 记作 Ω, 一般的事件是 Ω 的子集
不可能事件为空集, 记作 Φ
1.3 事件间的关系
包含若 𝐴 发生必然导致 𝐵 发生, 则称 𝐴 包含于 𝐵, 或 𝐵 包含 𝐴, 分别记作
𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐵 ⊃ 𝐴
并/和 𝐴 与 𝐵 中至少有一个发生, 记为
𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 + 𝐵
交/积 𝐴 与 𝐵 同时发生, 记为
𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴𝐵
补/差 𝐴 发生而 𝐵 不发生,𝐴 中除去 𝐵 的部分, 记为
∁
𝐴
𝐵, 𝐴 − 𝐵
互斥事件 𝐴, 𝐵 不同时发生, 记为 𝐴𝐵 = Φ
对立事件不是 𝐴 发生就是 𝐵 发生, 需要 𝐴𝐵 = Φ 且 𝐴 + 𝐵 = Ω, 记为
𝐴 = 𝐵, 𝐵 = 𝐴
完备事件组若 𝐴
1
, ... , 𝐴
𝑛
两两互斥, 且满足
Õ
𝐴
𝑖
= Ω
则称 𝐴
1
, ... , 𝐴
𝑛
为一个完备事件组
1.4 事件运算律
交换律
𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴
结合律
( 𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶), ( 𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶)
分配律
( 𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶, ( 𝐴𝐵) + 𝐶 = ( 𝐴 + 𝐶)(𝐵 + 𝐶)
对偶
𝐴 + 𝐵 = 𝐴 𝐵, 𝐴𝐵 = 𝐴 + 𝐵
2 古典概型
2.1 定义
1. 有限个样本点
2. 每个样本点出现的可能是一样的
2.2 概率计算
𝑃( 𝐴) =
𝐴的有利样本点
Ω中样本点的总数
=
𝐴中包含的基本事件数
基本事件总数
古典概型具有有限可加性
𝑃
Õ
𝐴
𝑖
=
Õ
𝑃( 𝐴
𝑖
)
其中 𝐴 有限个, 两两互斥
排列组合内容略去
2.3 分堆问题
分堆问题可以推广到多项式并得到多项式分布
将 𝑛 个不同的的物体分成 𝑘 堆:𝑛
1
, 𝑛
2
· · · , 则总分法数为
𝑛!
𝑛
1
! · 𝑛
2
! . . . 𝑛
𝑘
!
=
𝑛
1
𝑛
𝑛
2
𝑛−𝑛1
. . .
𝑛
𝑘
𝑘
需要注意的是, 上述结果为各堆有序情况下得出的. 若讨论对象为多项式, 上述结果为
(𝑥
1
, . . . , 𝑥
𝑘
)
𝑛
中
𝑥
𝑛
1
1
𝑥
𝑛
2
2
. . . 𝑥
𝑛
𝑘
𝑘
的系数. 若取
(𝑝
1
+ 𝑝
2
+ · · · , 𝑝
𝑘
)
𝑛
,
Õ
𝑝
𝑖
= 1
那么由上述结果
Õ
𝑛
1
+···+𝑛
𝑘
=𝑛
𝑛!
𝑛
1
!𝑛
2
! . . . 𝑛
𝑘
!
𝑝
𝑛
1
𝑝
𝑛
2
. . . 𝑝
𝑛
𝑘
= 1
若定义多项分布, 即发生的结果数为 𝑘, 每种发生的概率为 𝑝
𝑘
, 那么上述公式即
𝑝
(
(𝑁
1
, . . . , 𝑁
𝑘
) = (𝑛
1
, . . . , 𝑛
𝑘
)
)
=
𝑛!
𝑛
1
!𝑛
2
! . . . 𝑛
𝑘
!
𝑝
𝑛
1
𝑝
𝑛
2
. . . 𝑝
𝑛
𝑘
取 𝑘 = 2 即得到二项分布
3 几何概型
𝑃( 𝐴) =
𝜇(𝐺)
𝜇Ω
几何概型具有完全可加性, 即
𝑃
Õ
𝐴
𝑖
=
Õ
𝑃( 𝐴
𝑖
)
其中 𝐴 两两互斥, 可以无穷多
4 频率与概率
4.1 频率
𝑛 次试验,𝐴 发生了 𝑚 次, 则频率为
𝑚
𝑛
, 记为 𝜔
𝑛
( 𝐴)
频率有如下性质
1. 非负性:0 ≤ 𝜔
𝑛
( 𝐴) ≤ 1
2. 规范性:𝜔
𝑛
(Ω) = 1, 𝜔
𝑛
(Φ) = 0
3. 可加性: 若 𝐴
1
, ... , 𝐴
𝑚
互斥, 则 𝜔
𝑛
( 𝐴
1
+ ... + 𝐴
𝑚
) = 𝜔
𝑛
( 𝐴
1
) + ... + 𝜔
𝑛
( 𝐴
𝑚
)
当试验次数不断变大, 频率趋于一个固定的值, 称其为概率 (统计概率)
4.2 概率
认为概率满足如下三条公理
1. 非负性:0 ≤ 𝜔
𝑛
( 𝐴) ≤ 1
2. 规范性:𝜔
𝑛
(Ω) = 1
3. 完全可加性: 若 𝐴
1
, ... 互斥, 则 𝜔
𝑛
( 𝐴
1
+ ...) = 𝜔
𝑛
( 𝐴
1
) + ...
那么就可以推出如下性质
1. 𝑃(Φ) = 0
2. 有限可加性: 若 𝐴
1
, ... , 𝐴
𝑚
互斥, 则 𝑃( 𝐴
1
+ ... + 𝐴
𝑚
) = 𝑃( 𝐴
1
) + ... + 𝑃( 𝐴
𝑚
)
3. 𝑃
(
𝐴
)
=
1
−
𝑃
(
𝐴
)
4. 减法:𝑃( 𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴𝐵), 特别地, 若 𝐵 ⊂ 𝐴 则 𝑃( 𝐴 − 𝐵) = 𝑃( 𝐴) − 𝑃(𝐵)
5. 加法:𝑃( 𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃( 𝐴𝐵), 若 𝐴, 𝐵 互斥, 则 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
对于事件之和的概率, 运用归纳法可以得到一般的结论
𝑃(
Õ
𝐴
𝑘
) =
Õ
𝑖
𝑃( 𝐴
𝑖
) −
Õ
𝑖< 𝑗
𝑃( 𝐴
𝑖
𝐴
𝑗
) +
Õ
𝑖< 𝑗<𝑘
𝑃( 𝐴
𝑖
𝐴
𝑗
𝐴
𝑘
) + · · ·
5 条件概率
5.1 定义
Ω 为样本空间,𝐴𝐵 两个事件, 则
𝑃( 𝐴|𝐵)
表示在 𝐵 发生的条件下 𝐴 发生的概率
条件概率的样本空间为 𝐵 = Ω
𝐵
, 那么
𝑃( 𝐴|𝐵) =
𝑛
𝐴𝐵
𝑛
𝐵
=
𝑃( 𝐴𝐵)
𝑃(𝐵)
5.2 乘法公式
由条件概率公式可以推出
𝑃( 𝐴𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃( 𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵| 𝐴 )
那么推广可得
𝑃( 𝐴
1
𝐴
2
...) = 𝑃(𝐴
1
)𝑃(𝐴
2
| 𝐴
1
)𝑃(𝐴
3
| 𝐴
1
𝐴
2
)...
5.3 全概率公式
若 𝐴
1
, 𝐴
2
, ... , 𝐴
𝑛
是完备事件组且 𝑃(𝐴
𝑖
) > 0, 那么对于事件 𝐵 有
𝑃(𝐵) =
Õ
𝑃( 𝐴
𝑖
)𝑃(𝐵|𝐴
𝑖
)
将 Ω 分为 𝐴
1
+ ... + 𝐴
𝑛
, 由乘法公式即证. 实际上只要 𝐵 ⊂ 𝐴
1
+ ... + 𝐴
𝑛
即可
应用全概率公式可以得到 Polya 罐子模型: 罐中放有 𝑎 个白球和 𝑏 个黑球, 每次从罐中随机抽取一个球,
并连同 𝑐 个同色球一起放回罐中, 如此反复进行. 则在第 𝑛 次取球时取出白球的概率为
𝑎
𝑎+𝑏
使用归纳法, 假设 𝑛 < 𝑘 时成立, 在第 𝑛 次时利用全概率公式拆分
𝑃( 𝐴
𝑛
) = 𝑃( 𝐴
𝑛
| 𝐴
1
) + 𝑃( 𝐴
𝑛
| 𝐴
1
)
两个条件概率等价为试验进行了 𝑛 − 1 次, 代入题干中的公式即证
5.4 贝叶斯公式
由条件概率公式, 乘法公式和全概率公式得到
𝑃( 𝐴
𝑘
|𝐵) =
𝑃( 𝐴
𝑘
𝐵)
𝑃(𝐵)
=
𝑃( 𝐴
𝑘
)𝑃(𝐵|𝐴
𝑘
)
Í
𝑖
𝑃( 𝐴
𝑖
)𝑃(𝐵|𝐴
𝑘
)
称 𝑃(𝐴
𝑖
) 为先验概率,𝑃( 𝐴
𝑖
|𝐵
𝑖
) 为后验概率
6 独立性
6.1 定义
若 𝐴 的发生不受,𝐵 发生与否的影响, 则称 𝐴𝐵 相互独立, 即
𝑃( 𝐴|𝐵) = 𝑃( 𝐴) ⇔ 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
那么 Φ, Ω 与任何事件都独立
6.2 推论
根据独立性的定义,𝐴𝐵 独立与下列描述等价
1. 𝐴 与 𝐵 独立
2. 𝐴 与 𝐵 独立
3. 𝐴 与 𝐵 独立
可以将独立性推广至 𝑛 个事件: 若 ∀𝑘, 𝑖
1
, ... , 𝑖
𝑘
都有
𝑃( 𝐴
𝑖
1
𝐴
𝑖
2
...𝑃( 𝐴
𝑖
𝑘
)) = 𝑃(𝐴
𝑖
1
)𝑃(𝐴
𝑖
2
)...𝑃( 𝐴
𝑖
𝑘
)
则称 𝐴
1
, ... , 𝐴
𝑛
相互独立. 该定义可以等价于
𝑃(
f
𝐴
1
f
𝐴
2
...
f
𝐴
𝑛
) = 𝑃(
f
𝐴
1
)𝑃(
f
𝐴
2
)...𝑃(
f
𝐴
𝑛
)
其中
e
𝐴
𝑖
表示 𝐴 或 𝐴, 上式包含 2
𝑛
个等式
但是相互独立与两两独立不同. 两两独立即任意两个事件独立, 互相独立一定两两独立, 两两独立不一定
互相独立
