积分变换法
目录
1 傅里叶变换 2
1.1 傅里叶变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 高维傅里叶变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 正余弦变换 6
2.1 正弦变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 余弦变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 拉普拉斯变换 7
3.1 拉普拉斯变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 拉普拉斯变换的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.1 线性性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.2 微分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.3 延迟定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.4 复平移公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.5 相似定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.6 积分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.7 卷积公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.8 像函数的微分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.9 像函数的积分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
1 傅里叶变换
1.1 傅里叶变换
𝑓 (𝑥) 是定义在 (−∞, +∞) 上的绝对可积函数, 积分
𝐹 (𝜆) =
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝑥)𝑒
−𝑖𝜆𝑥
d𝑥
为 𝑓 (𝑥) 的傅里叶变换, 记作 𝐹 (𝜆) = F [𝑓 (𝑥)]. 有傅里叶逆变换
𝑓 (𝑥) =
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
𝐹 (𝜆)𝑒
𝑖𝜆𝑥
d𝜆
傅里叶变换具有线性性
F [𝑎 𝑓 (𝑥) + 𝑏𝑔(𝑥)] = 𝑎F [𝑓 (𝑥)] + 𝑏F [𝑔(𝑥)]
平移性质
𝐹 (𝜆 − 𝜆
0
) = F [𝑒
𝑖𝜆
0
𝑥
𝑓 (𝑥)]
导数性质
F [𝑓
′
(𝑥)] = 𝑖𝜆𝐹 (𝜆), F [𝑓
(𝑛)
(𝑥)] = (𝑖𝜆)
𝑛
𝐹 (𝜆)
这是因为
F
[
𝑓
′
(𝑥)
]
=
∫
+∞
−∞
𝑓
′
(𝑥)𝑒
−𝑖𝜆𝑥
d𝑥 =
∫
+∞
−∞
𝑒
−𝑖𝜆𝑥
d 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥)𝑒
−𝑖𝜆𝑥
+∞
−∞
−
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝑥)𝑒
−𝑖𝜆𝑥
d𝑥 = 𝑖𝜆𝐹 (𝜆)
卷积性质
F [𝑓 (𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)] = F [ 𝑓 (𝑥)]F [𝑔(𝑥)]
积分性质
F
∫
𝑥
−∞
𝑓 (𝜉)d𝜉
=
1
𝑖 𝜆
𝐹 (𝜆)
热传导方程
𝑢
𝑡
= 𝑎
2
𝑢
𝑥 𝑥
, −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑡 > 0
𝑢(𝑥, 0) = 𝜑(𝑥)
作傅里叶变换, 令
𝑢(𝑡, 𝜆) =
∫
+∞
−∞
𝑢(𝑥, 𝑡)𝑒
−𝑖𝜆𝑥
d𝑥
由于傅里叶变换与 𝑡 无关, 那么
F
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
d𝑢
d𝑡
由傅里叶变换的导数性质
F [𝑢
𝑥 𝑥
] = (𝑖𝜆)
2
𝑢 = −𝜆
2
𝑢
记
F
[
𝜑(𝑥)
]
= 𝜑(𝜆)
对以上初值问题作傅里叶变换
d𝑢
d𝑡
= −𝑎
2
𝜆
2
𝑢
𝑢|
𝑡=0
= 𝜑(𝜆)
解得
𝑢(𝑡, 𝜆) = 𝜑(𝜆)𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
作反变换
𝑢(𝑥, 𝑡) = F
−1
h
𝜑(𝜆)𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
i
利用卷积性质
𝑢(𝑡, 𝑥) = F
−1
[
𝜑(𝜆)
]
∗ F
−1
h
𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
i
对于积分
F
−1
h
𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
i
=
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
𝑒
𝑖𝜆𝑥
d𝜆 =
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
cos(𝜆𝑥)d𝜆 =
1
2𝑎
√
𝜋𝑡
𝑒
−
𝑥
2
4𝑎
2
𝑡
因而
𝑢(𝑡, 𝑥) =
∫
+∞
−∞
𝜑(𝜉)
1
2𝑎
√
𝜋𝑡
𝑒
−
(𝑥 −𝜉 )
2
4𝑎
2
𝑡
d𝜉
注意该积分
1
𝜋
∫
+∞
0
𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
cos(𝜆𝑥)d𝜆 =
1
2𝑎
√
𝜋𝑡
𝑒
−
𝑥
2
4𝑎
2
𝑡
傅里叶变换求达朗贝尔公式
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
, −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑡 > 0
𝑢|
𝑡=0
= 𝜑(𝑥), 𝑢
𝑡
|
𝑡=0
= 𝜓(𝑥)
作傅里叶变换, 设 𝑢(𝑡, 𝜆) = F [𝑢(𝑡, 𝑥)], 那么
F
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
= −𝜆
2
𝑢, F
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
=
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
原初值问题经傅里叶变换有
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
= −𝑎
2
𝜆
2
𝑢
𝑢|
𝑡=0
= 𝜑(𝜆), 𝑢
𝑡
|
𝑡=0
= 𝜓(𝜆)
解得
𝑢(𝑡, 𝜆) = 𝐴(𝜆)𝑒
𝑖𝜆𝑎𝑡
+ 𝐵(𝜆)𝑒
−𝑖𝜆𝑎𝑡
代入初值条件得到
𝐴(𝜆) + 𝐵(𝜆) = 𝜑(𝜆 )
𝑖𝜆𝑎 𝐴(𝜆) − 𝑖𝜆𝑎𝐵(𝜆) = 𝜓(𝜆)
⇒
𝐴(𝜆) =
1
2
𝜑(𝜆) +
𝜓(𝜆)
𝑖 𝜆𝑎
𝐵(𝜆) =
1
2
𝜑(𝜆) −
𝜓(𝜆)
𝑖𝜆𝑎
那么
𝑢(𝑡, 𝜆) =
1
2
𝜑(𝜆)𝑒
𝑖𝜆𝑎𝑡
+ 𝜑(𝜆)𝑒
−𝑖𝜆𝑎𝑡
+
1
2𝑎𝑖𝜆
𝜓(𝜆)𝑒
𝑖𝜆𝑎𝑡
− 𝜓(𝜆)𝑒
−𝑖𝜆𝑎𝑡
利用平移定理
F
−1
𝜑(𝜆)𝑒
𝑖𝜆𝑎𝑡
=
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
𝜑(𝜆)𝑒
𝑖𝜆𝑎𝑡
𝑒
𝑖𝜆𝑥
d𝜆 =
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
𝜑(𝜆)𝑒
𝑖𝜆(𝑥+𝑎𝑡 )
d𝜆 = 𝜑(𝑥 + 𝑎𝑡)
同理
F
−1
𝜑(𝜆)𝑒
−𝑖𝜆𝑎𝑡
= 𝜑(𝑥 − 𝑎𝑡)
进一步, 由于
F
−1
𝜓(𝜆)
𝑖𝜆
=
∫
𝑥
−∞
𝜓(𝜉)d𝜉, F
−1
𝜓𝜆
𝑖𝜆
𝑒
𝑖𝜆𝑎𝑡
=
∫
𝑥+𝑎𝑡
−∞
𝜓(𝜉)d𝜉
又有
F
−1
1
𝑖 𝜆
𝜓(𝜆)𝑒
−𝑖𝜆𝑎𝑡
=
∫
𝑥−𝑎𝑡
−∞
𝜓(𝜉)d𝜉
最后
𝑢(𝑥, 𝑡) = F
−1
[𝑢(𝑡, 𝜆)] =
1
2
[
𝜑(𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝜑(𝑥 − 𝑎𝑡)
]
+
1
2𝑎
∫
𝑥+𝑎𝑡
𝑥−𝑎𝑡
𝜓(𝜉)d𝜉
𝑢
𝑡
= 𝑎
2
𝑢
𝑥 𝑥
+ 𝑓 (𝑡, 𝑥), −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑡 > 0
𝑢|
𝑡=0
= 𝜑(𝑥)
作傅里叶变换, 设 𝑢(𝑡, 𝜆) = F [𝑢(𝑡, 𝑥)], 那么
F
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
= −𝜆
2
𝑢, F
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
记 𝑓 (𝑡, 𝜆) = F [ 𝑓 (𝑡, 𝑥)], 𝜑(𝜆) = F [𝜑(𝑥)], 那么
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= −𝑎
2
𝜆
2
𝑢 + 𝑓
𝑢|
𝑡=0
= 𝜑
解得
𝑢(𝑡, 𝜆) = 𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
∫
𝑡
0
𝑒
𝑎
2
𝜆
2
𝜏
𝑓 (𝜏, 𝜆)d𝜏 + 𝑚(𝜆)
利用 𝑢|
𝑡=0
定出 𝑚 (𝜆) = 𝜑(𝜆), 那么
𝑢(𝑡, 𝜆) =
∫
𝑡
0
𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
(𝑡 −𝜏)
𝑓 (𝜏, 𝜆)d𝜏 + 𝜑(𝜆)𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
作反变换
F
−1
h
𝜑(𝜆)𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
i
= F
−1
[
𝜑(𝜆)
]
∗ F
−1
h
𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
i
= 𝜑(𝑥) ∗
1
2𝑎
√
𝜋𝑡
𝑒
−
𝑥
2
4𝑎
2
𝑡
=
1
2𝑎
√
𝜋𝑡
∫
+∞
−∞
𝜑(𝜉)𝑒
−
(𝑥 −𝜉 )
2
4𝑎
2
𝑡
d𝜉
F
−1
∫
𝑡
0
𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
(𝑡 −𝜏)
𝑓 (𝜏, 𝜆)d𝜏
=
∫
𝑡
0
F
−1
h
𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
(𝑡 −𝜏)
𝑓 (𝜏, 𝜆)
i
d𝜏 =
∫
𝑡
0
𝑑𝜏
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝜉, 𝜏)
2
𝑎
p
𝜋
(
𝑡
−
𝜏
)
𝑒
−
(𝑥 −𝜉 )
2
4𝑎
2
(𝑡−𝜏 )
d𝜉
因而得到解
𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
2𝑎
√
𝜋𝑡
∫
+∞
−∞
𝜑(𝜉)𝑒
−
(𝑥 −𝜉 )
2
4𝑎
2
𝑡
d𝜉 +
∫
𝑡
0
𝑑𝜏
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝜉, 𝜏)
2𝑎
p
𝜋(𝑡 − 𝜏 )
𝑒
−
(𝑥 −𝜉 )
2
4𝑎
2
(𝑡−𝜏 )
d𝜉
若原函数有界, 则像函数也应有界
1.2 高维傅里叶变换
F [𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)] =
∭
+∞
−∞
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒
−𝑖(𝜆𝑥+𝜇 𝑦+𝜈𝑧)
d𝑥d𝑦d𝑧 ≡ 𝐹 (𝜆, 𝜇, 𝜈)
反变换
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
1
(2𝜋)
3
∭
+∞
−∞
𝐹 (𝜆, 𝜇, 𝜈)𝑒
𝑖 (𝜆𝑥+𝜇𝑦+𝜈 𝑧)
d𝜆d𝜇d𝜈
线性性和平移性质同一维情况, 微分性质
F
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
= 𝑖𝜆𝐹, F
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
= 𝑖𝜇𝐹, F
𝜕 𝑓
𝜕𝑧
= 𝑖𝜈𝐹
特别地
F [Δ
3
𝑓 ] = −(𝜆
2
+ 𝜇
2
+ 𝜈
2
)𝐹
高维卷积
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∗ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
∭
+∞
−∞
𝑓 (𝑥 − 𝜉, 𝑦 − 𝜂, 𝑧 − 𝜁)𝑔(𝜉, 𝜂, 𝜁)d𝜉d𝜂d𝜁
也可以写为
𝑓 (𝑀) ∗ 𝑔(𝑀) =
∫
𝑅
𝑛
𝑓 (𝑀 − 𝑀
0
)𝑔(𝑀
0
)d𝑀
0
𝑢
𝑡
= 𝑎
2
Δ
3
𝑢
𝑢|
𝑡=0
= 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)
作傅里叶变换, 设
𝑢(𝑡, 𝜆, 𝜇, 𝜈) = F [𝑢(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧)] =
∭
+∞
−∞
𝑢(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒
−𝑖(𝜆𝑥+𝜇 𝑦+𝜈𝑧)
d𝑥d𝑦d𝑧
那么
F
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
d𝑢
d𝑡
, F
[
Δ
3
𝑢
]
= −(𝜆
2
+ 𝜇
2
+ 𝜈
2
)𝑢
原初值问题经傅里叶变换有
d𝑢
d𝑡
= −𝑎
2
(𝜆
2
+ 𝜇
2
+ 𝜈
2
)𝑢
𝑢|
𝑡=0
= 𝜑(𝜆, 𝜇, 𝜈)
令 𝜌
2
= 𝜆
2
+ 𝜇
2
+ 𝜈
2
, 解得
𝑢(𝑡, 𝜆, 𝜇, 𝜈) = 𝜑(𝜆, 𝜇, 𝜈)𝑒
−𝑎
2
𝜌
2
𝑡
作反变换
F
−1
h
𝑒
−𝑎
2
𝜌
2
𝑡
i
=
1
(2𝜋)
3
∭
+∞
−∞
𝑒
−𝑎
2
𝜌
2
𝑡
𝑒
𝑖 (𝜆𝑥+𝜇𝑦+𝜈 𝑧)
d𝜆d𝜇d𝜈
=
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
𝑒
−𝑎
2
𝜌
2
𝑡
𝑒
𝑖𝜆𝑥
d𝜆
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
𝑒
−𝑎
2
𝜇
2
𝑡
𝑒
𝑖𝜇𝑦
d𝜇
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
𝑒
−𝑎
2
𝜈
2
𝑡
𝑒
𝑖𝜈𝑧
d𝜈
=
1
2
𝑎
√
𝜋𝑡
3
𝑒
−
𝑥
2
+𝑦
2
+𝑧
2
4𝑎
2
𝑡
得到解
𝑢(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = F
−1
[
𝑢(𝑡, 𝜆, 𝜇, 𝜈)
]
= F
−1
[
𝜑(𝜆, 𝜇, 𝜈)
]
∗ F
−1
h
𝑒
−𝑎
2
𝜌
2
𝑡
i
= 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∗
1
2𝑎
√
𝜋𝑡
3
𝑒
−
𝑥
2
+𝑦
2
+𝑧
2
4𝑎
2
𝑡
=
1
2𝑎
√
𝜋𝑡
3
∭
+∞
−∞
𝜑
(
𝜉, 𝜂, 𝜁
)
𝑒
−
(𝑥 −𝜉 )
2
+(𝑦−𝜂)
2
+(𝑧−𝜁 )
2
4𝑎
2
𝑡
d𝜉d𝜂d𝜁
2 正余弦变换
2.1 正弦变换
正变换为
𝑓
𝑠
(𝜆) =
∫
+∞
0
𝑓 (𝑥) sin(𝜆𝑥)d𝑥
反变换为
𝑓 (𝑥) =
2
𝜋
∫
+∞
0
𝑓
𝑠
(𝜆) sin(𝜆𝑥)d𝜆
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
, 𝑡 > 0, 𝑥 > 0
𝑢(𝑡, 0) = 𝑢
0
, 𝑢(0, 𝑥) = 0
𝑢(𝑡, 0) = 0 可以理解为右极限为 𝑢
0
, 左极限为 −𝑢
0
, 使用正弦变换, 令
𝑢(𝑡, 𝜆) = F
𝑠
[𝑢(𝑡, 𝑥)] =
∫
+∞
0
𝑢(𝑡, 𝑥) sin(𝜆𝑥)d𝑥
则
F
𝑠
[𝑢
𝑥 𝑥
] =
∫
+∞
0
𝑢
𝑥 𝑥
sin(𝜆𝑥)d𝑥 =
∫
+∞
0
sin(𝜆𝑥)𝑑𝑢
𝑥
= 𝑢
𝑥
sin(𝜆𝑥)
+∞
0
−
∫
+∞
0
𝑢
𝑥
d sin(𝜆 𝑥)
认为 𝑢
𝑥
在无穷时为零, 则
F
𝑠
[𝑢
𝑥 𝑥
] = −𝜆
∫
+∞
0
𝑢
𝑥
cos(𝜆𝑥)d𝑥 = −𝜆𝑢 cos(𝜆𝑥)
+∞
0
− 𝜆
2
∫
+∞
0
𝑢 sin(𝜆𝑥)d𝑥 = 𝜆𝑢
0
− 𝜆
2
𝑢
那么变换得到
d𝑢
d𝑡
= −𝑎
2
𝜆
2
𝑢 + 𝑎
2
𝜆𝑢
0
𝑢|
𝑡=0
= 0
⇒ 𝑢(𝑡, 𝜆) =
𝑢
0
𝜆
1 − 𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
作反变换
𝑢(𝑥, 𝑡) = F
−1
𝑠
[
𝑢(𝑡, 𝜆)
]
=
2𝑢
0
𝜋
∫
+∞
0
1
𝜆
1 − 𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
sin(𝜆𝑥)d𝜆
利用
sin 𝜆𝑥
𝜆
=
∫
𝑥
0
cos 𝜆𝜉d𝜉
得到
𝑢(𝑥, 𝑡) =
2𝑢
0
𝜋
∫
+∞
0
sin 𝜆𝑥
𝜆
𝑑𝜆 −
∫
+∞
0
𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
∫
𝑥
0
cos 𝜆𝜉
𝜆
d𝜉
𝑑𝜆
最后得到
𝑢(𝑥, 𝑡) =
2𝑢
0
𝜋
·
𝜋
2
− 2𝑢
0
∫
𝑥
0
1
𝜋
∫
+∞
0
𝑒
−𝑎
2
𝜆
2
𝑡
cos 𝜆𝜉d𝜆
d𝜉 = 𝑢
0
−
𝑢
0
𝑎
√
𝜋𝑡
∫
𝑥
0
𝑒
−
𝜉
2
4𝑎
2
𝑡
d𝜉
2.2 余弦变换
正变换为
𝑓
𝑐
(𝜆) =
∫
+∞
0
𝑓 (𝑥) cos(𝜆𝑥)d𝑥
反变换为
𝑓 (𝑥) =
2
𝜋
∫
+∞
0
𝑓
𝑐
(𝜆) cos(𝜆𝑥)d𝜆
3 拉普拉斯变换
3.1 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换要求被变换函数满足
𝑓 (𝑡) = 𝑓 (𝑡)𝐻 (𝑡), 𝐻(𝑡) =
1, 𝑡 > 0
0, 𝑡 < 0
定义拉普拉斯变换
𝐹 (𝑝) =
∫
+∞
0
𝑓 (𝑡)𝑒
−𝑝𝑡
d𝑡
其中 𝑝 为复数 𝑝 = 𝜎 + 𝑖𝜆. 要求 𝑓 (𝑡) 连续并在任意有限区间逐段光滑并存在 𝜎
0
≥ 0, 𝑀 > 0, 使得 𝑡 充分
大时有
|
𝑓 (𝑡)
|
≤ 𝑀𝑒
𝜎
0
𝑡
则像函数 𝐹 (𝑝) 在半复平面 𝑅𝑒𝑝 > 𝜎
0
解析, 并有逆变换
𝑓 (𝑡) =
1
2𝜋𝑖
lim
𝑇→+∞
∫
𝜎+𝑖𝑇
𝜎−𝑖𝑇
𝐹 (𝑝)𝑒
𝑝𝑡
d𝑝
其中 𝜎 为任意大于 𝜎
0
的实数
3.2 拉普拉斯变换的性质
3.2.1 线性性
L[𝑎 𝑓 (𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)] = 𝑎L[𝑓 (𝑡)] + 𝑏L[𝑔(𝑡)]
3.2.2 微分公式
L[𝑓
(𝑛)
(𝑡)] = 𝑝
𝑛
𝐹 (𝑝) − 𝑝
𝑛−1
𝑓 (0) − 𝑝
𝑛−2
𝑓
′
(0) − ··· − 𝑓
(𝑛−1)
(0)
3.2.3 延迟定理
L[𝑓 (𝑡 − 𝜏)𝐻 (𝑡 − 𝜏)] = 𝑒
−𝑝 𝜏
𝐹 (𝑝)
3.2.4 复平移公式
对于任意一个复数 𝑝
0
, 有
L[𝑒
𝑝
0
𝑡
𝑓 (𝑡)] = 𝐹 (𝑝 − 𝑝
0
)
3.2.5 相似定理
L[𝑓 (𝑎𝑡)] =
1
𝑎
𝐹
h
𝑝
𝑎
i
3.2.6 积分公式
L
∫
𝑡
0
𝑓 (𝜏)d𝜏
=
1
𝑝
𝐹 (𝑝)
3.2.7 卷积公式
L[𝑓 (𝑡) ∗ 𝑔( 𝑡)] = 𝐹 (𝑝)𝐺 (𝑝)
其中卷积定义为
𝑓 (𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) =
∫
+∞
−∞
𝑓 (𝜏)𝑔(𝑡 − 𝜏)d𝜏
3.2.8 像函数的微分公式
L[𝑡
𝑛
𝑓 (𝑡)] = (−1)
𝑛
d
𝑛
𝐹 (𝑝)
d𝑝
𝑛
3.2.9 像函数的积分公式
L
𝑓 (𝑡)
𝑡
=
∫
+∞
𝑝
𝐹 (𝜆)d𝜆
积分路径取在半平面 𝑅𝑒 𝑝 > 𝜎
0
内
𝑢
𝑡
= 𝑎
2
𝑢
𝑥 𝑥
𝑡 > 0, 𝑥 > 0
𝑢|
𝑡=0
= 𝜑(𝑥), 𝑢(𝑥, 0) = 0
对 𝑡 作拉普拉斯变换, 设
𝑢(𝑝, 𝑥) = L[𝑢(𝑡, 𝑥)] =
∫
+∞
0
𝑢(𝑡, 𝑥)𝑒
−𝑝𝑡
d𝑡
那么
L[𝑢
𝑡
] = 𝑝𝑢 − 𝑢(0, 𝑥) = 𝑝𝑢, L[𝑢
𝑥 𝑥
] =
d𝑢
d𝑥
因而原方程变为
𝑝𝑢 = 𝑎
2
d𝑢
d𝑥
𝑢|
𝑡=0
= 𝐹 (𝑝)
解得
𝑢(𝑝, 𝑥) = 𝐶𝑒
√
𝑝
𝑎
𝑥
+ 𝐷𝑒
−
√
𝑝
𝑎
𝑥
其中
√
𝑝 为 𝑝 > 0 时取正值的单值分支. 由 𝑢(𝑝, 𝑥) 有界, 那么 𝐶 = 0. 结合 𝑢|
𝑡=0
= 𝐹 (𝑝), 得到
𝑢(𝑝, 𝑥) = 𝐹 (𝑝)𝑒
−
√
𝑝
𝑎
𝑥
对其作反变换得到解
𝑢(𝑡, 𝑥) = L
−1
h
𝐹 (𝑝)𝑒
−
√
𝑝
𝑎
𝑥
i
= 𝑓 (𝑡) ∗
𝑥
2𝑎
√
𝜋𝑡
𝑒
−
𝑥
2
4𝑎
2
𝑡
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝑢
𝑥 𝑥
𝑡 > 0, 𝑥 > 0
𝑢
𝑥
|
𝑥=0
= 𝑓 (𝑡)
𝑢|
𝑡=0
= 𝑢
𝑡
|
𝑡=0
= 0
在每个 𝑡 时刻, 添加自然边界条件 𝑢(𝑡, +∞) = 0, 对 𝑡 作拉普拉斯变换, 设
𝑢(𝑝, 𝑥) = L[𝑢(𝑡, 𝑥)] =
∫
+∞
0
𝑢(𝑡, 𝑥)𝑒
−𝑝𝑡
d𝑡
那么
L[𝑢
𝑡𝑡
] = 𝑝
2
𝑢 − 𝑝𝑢|
𝑡=0
= 𝑝
2
𝑢, L[𝑢
𝑥 𝑥
] =
d
2
𝑢
d𝑥
2
那么原方程变为
𝑝
2
𝑢 = 𝑎
2
d
2
𝑢
d𝑥
2
𝑢
𝑥
|
𝑥=0
= 𝐹 (𝑝), 𝑢|
𝑥=+∞
= 0
通解为
𝑢(𝑝, 𝑥) = 𝐶(𝑝)𝑒
𝑝𝑥
𝑎
+ 𝐷(𝑝 )𝑒
−
𝑝𝑥
𝑎
由边界条件得到
𝑢 = −
𝑎
𝑝
𝐹 (𝑝)𝑒
𝑝𝑥
𝑎
对其作反变换得到解
𝑢(𝑡, 𝑥) = L
−1
−
𝑎
𝑝
𝐹 (𝑝)𝑒
𝑝𝑥
𝑎
= −𝑎𝐻 (𝑡)
∫
𝑡
0
𝑓 (𝜏)d𝜏
由延迟定理
𝑢(𝑡, 𝑥) = −𝑎𝐻
𝑡 −
𝑥
𝑎
∫
𝑡 −
𝑥
𝑎
0
𝑓 (𝜏)d𝜏