偏微分方程
目录
1 三个基本方程 2
1.1 弦振动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 热传导方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 拉普拉斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 三类基本方程 3
2.1 波动方程类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 热传导方程类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 拉普拉斯类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 通解和特解 4
4 定解问题 5
1
1 三个基本方程
1.1 弦振动方程
为简便起见将微分符号简写为
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
→ 𝑢
𝑡𝑡
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+ 𝑓 (𝑡, 𝑥)
该方程的物理意义是
𝑢 是振动离开平衡位置的距离. 需要注意弦不能当作质点
若还有力作用在弦上 (垂直于水平方向), 力由 𝑓 (𝑡, 𝑥) 描述. 𝑓 = 0 时即没有外力, 为自由弦振动, 有力则受
迫弦振动
对于一根 𝑥𝑦 平面上的弦 𝑢 = 𝑢(𝑥). 考察一个小微元, 左端点为 𝑥, 右端点为 𝑥 + 𝑑𝑥, 受到外力 𝐺 (𝑡, 𝑥, 𝑑𝑥).
左端点有张力 −𝑇 (𝑡, 𝑥), 右端点有张力 𝑇 (𝑡, 𝑥 + 𝑑𝑥)
将绳的张力在竖直和水平方程分解 T = (𝑇
1
, 𝑇
2
), 其中 𝑇
1
为水平方向,𝑇
2
为 𝑢 轴方向
在水平方向上
𝑇
1
(𝑡, 𝑥 + Δ𝑥) − 𝑇
1
(𝑡, 𝑥) = 0 ⇒ 𝑇
1
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
在竖直方向上
𝑇
2
(𝑡, 𝑥 + Δ𝑥) − 𝑇
2
(𝑡, 𝑥) + 𝐺(𝑡, 𝑥, 𝑑𝑥) = 𝑚𝑎
其中 𝑚 为弦微元的质量. 写为微分形式
𝜕𝑇
2
𝜕𝑥
𝑑𝑥 + 𝑔(𝑡, 𝑥)𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝑥
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
其中 𝑔 为外力的线密度,𝜌 为弦的线密度. 又有切向关系
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑇
2
𝑇
1
再约去 𝑑𝑥 就得到了弦振动方程
𝜌
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
= 𝑇
1
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑔(𝑡, 𝑥)
认为 𝑇
1
≈ 𝑇 . 定义 𝑎 =
𝑇
𝜌
, 𝑓 (𝑡, 𝑥) =
𝑔(𝑡, 𝑥)
𝜌
, 得到了
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+ 𝑓 (𝑡, 𝑥)
1.2 热传导方程
热传导方程的维数是空间的维数
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+ 𝑓 (𝑡, 𝑥)
𝑓 (𝑡, 𝑥) 代表热源
1.3 拉普拉斯方程
拉普拉斯算符如下定义
Δ
2
=
𝜕
2
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝜕𝑦
2
Δ
3
=
𝜕
2
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝜕𝑧
2
Δ
𝑛
=
𝜕
2
𝜕𝑥
1
2
+
𝜕
2
𝜕𝑥
2
2
+ · · · +
𝜕
2
𝜕𝑥
𝑛
2
拉普拉斯方程即
Δ
2
𝑢 = 0, Δ
3
𝑢 = 0, Δ
2
𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑦), Δ
3
𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
拉普拉斯方程可用表示某个区域 𝐷 内的电场的电势的变化. 此时电荷可能在 𝐷 的外部也可能在内部. 在
外部则对应齐次方程, 在内则非齐次
2 三类基本方程
2.1 波动方程类
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑎
2
Δ𝑢 + 𝑓 (𝑡, 𝑀)
三维波动
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑎
2
Δ
3
𝑢 + 𝑓 (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧)
二维波动
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑎
2
Δ
2
𝑢 + 𝑓 (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧)
2.2 热传导方程类
𝑢
𝑡
= 𝑎
2
Δ𝑢 + 𝑓 (𝑡, 𝑀)
三维热传导
𝑢
𝑡
= 𝑎
2
Δ
3
𝑢 + 𝑓 (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧)
2.3 拉普拉斯类
Δ𝑢 = 𝑓 (𝑀)
称为场位方程或是泊松方程,Δ
3
𝑢 = 0 可以用于描述稳态温度分布
3 通解和特解
对于拉普拉斯方程
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 0
将其分解
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 ⇒
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= ℎ(𝑦)
得到
𝑢 =
∫
ℎ(𝑦)𝑑𝑦 + 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑦)
其中 𝑓 (𝑥) 与 𝑔(𝑦) 为任意可微函数. 即
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 0 ⇒ 𝑢 =
∫
ℎ(𝑦)𝑑𝑦 + 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑦)
例:Δ
2
𝑢 = 0 ⇒ 𝑢 = 𝑎(𝑦)𝑥 + 𝑏(𝑦)
例:Δ
2
𝑢 = 0, 形如 𝑢 = 𝑒
𝑎𝑥+𝑏𝑦
的解
将期望解的形式作微分得到
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
= 𝑎
2
𝑒
𝑎𝑥+𝑏𝑦
,
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑦
2
= 𝑏
2
𝑒
𝑎𝑥+𝑏𝑦
方程即化为
(𝑎
2
+ 𝑏
2
)𝑒
𝑎𝑥+𝑏𝑦
= 0 ⇒ 𝑎
2
+ 𝑏
2
= 0
得到两个解
𝑢
1
= 𝑒
𝑎𝑥+𝑖𝑎𝑦
𝑢
2
= 𝑒
𝑎𝑥−𝑖𝑎𝑦
假设 𝑎 为实数, 于是
𝑢
1
= 𝑒
𝑎𝑥
(cos 𝑎𝑦 + 𝑖 sin 𝑎𝑦), 𝑢
2
= 𝑒
𝑎𝑥
(cos 𝑎𝑦 − 𝑖 sin 𝑎𝑦)
线性方程解可以相加, 由此得到实数解
𝑢
∗
1
=
1
2
(𝑢
1
+ 𝑢
2
) = 𝑒
𝑎𝑥
cos 𝑎𝑦
𝑢
∗
2
=
1
2𝑖
(𝑢
1
− 𝑢
2
) = 𝑒
𝑎𝑥
sin 𝑎𝑦
这两个解是复函数 𝑒
𝑎𝑧
的实部和虚部
例:Δ
2
= 0, 求形如 𝑢 = 𝑢(𝑟), 其中 𝑟 =
p
𝑥
2
+ 𝑦
2
(极坐标)
设 𝑢 ≡ 𝑢(𝑟), 利用微分的传递性
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑟
·
𝜕𝑟
𝜕𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑟
𝑥
𝑟
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
=
𝑑
2
𝑢
𝑑𝑟
2
𝜕𝑟
𝜕𝑥
𝑥
𝑟
+
𝑑𝑢
𝑑𝑟
𝑥
𝑟
′
=
𝑑
2
𝑢
𝑑𝑟
2
𝑥
𝑟
2
+
𝑑𝑢
𝑑𝑟
1
𝑟
−
𝑥
2
𝑟
3
同样地
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑦
2
=
𝑑
2
𝑢
𝑑𝑟
2
𝑦
𝑟
2
+
𝑑𝑢
𝑑𝑟
1
𝑟
−
𝑦
2
𝑟
3
因而方程就可以化为
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑟
2
+
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑑𝑦
2
=
𝑑
2
𝑢
𝑑𝑟
2
+
1
𝑟
𝑑𝑢
𝑑𝑟
= 0
它的解 (利用瞪眼法!) 是 (当然降阶是标准的做法)
𝑢 = 𝐴 + 𝐵 ln 𝑟
4 定解问题
(初值问题)
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝑢
𝑥𝑥
+ 𝑓 (𝑡, 𝑥), (𝑡 > 0, −∞ < 𝑥 < +∞)
𝑢(0, 𝑥) = 𝜑(𝑥), 𝑢
𝑡
(0, 𝑥) = 𝜓 (𝑥)
(边值问题)
Δ
3
𝑢 = 0, ((𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑉)
𝑢|
𝑠
= 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)
(混合问题)
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝑢
𝑥𝑥
(𝑡 > 0, 0 < 𝑥 < 𝐿)
𝑢(𝑡, 0) = 0, 𝑢(𝑡, 𝐿) = 0
𝑢(0, 𝑥) = 𝜑(𝑥), 𝑢
𝑡
(0, 𝑥) = 𝜓 (𝑥)
方向导数
设有一个函数 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), 有一单位向量 u(𝛼, 𝛽, 𝛾), 则
𝜕𝑢
𝜕n
= ∇𝑢 · n
可以由此定义三类边界条件
𝛼𝑢 + 𝛽
𝜕𝑢
𝜕n
𝜕𝑉
= 𝜑(𝑀)
1. 𝛽 = 0, 第一类边界条件
2. 𝛼 = 0, 第二类边界条件
3. 𝛼𝛽 ≠ 0, 第三类边界条件
要求小于无穷的条件称为自然边界条件,𝑢(𝑡) = 𝑢(𝑡 + 𝑇) 称为周期性条件
三类边界条件的物理意义
𝑢|
𝜕𝑉
= 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) 边界上的温度
𝜕𝑢
𝜕n
𝜕𝑉
= −
𝑞(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑘
热流密度,𝑘 为热传导系数
ℎ𝑢 + 𝑘
𝜕𝑢
𝜕n
𝜕𝑉
= ℎ𝜃,𝜃 为接触面上的外界温度, 可以形式上改造为第二类
𝜕𝑢
𝜕n
= −
ℎ
𝑘
[𝑢 − 𝜃]
