二阶线性偏微分方程
目录
1 达朗贝尔公式 2
2 两个自变量的二阶线性方程 4
2.1 两个自变量的二阶线性方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 双曲型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 抛物型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 椭圆型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 叠加原理和齐次化原理 7
3.1 叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 冲量原理 (齐次化原理) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.1 二阶齐次化原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.2 齐次化原理的提出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.3 一般的齐次化原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
1 达朗贝尔公式
考虑
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝑢
𝑥 𝑥
将其改为算子形式
𝜕
2
𝜕𝑡
2
− 𝑎
2
𝜕
2
𝜕𝑡
2
𝑢 = 0 ⇔
(
𝜕
𝜕𝑡
)
2
− (𝑎
𝜕
𝜕𝑥
)
2
𝑢 = 0
也就是
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝑎
𝜕
𝜕𝑡
𝜕
𝜕𝑡
− 𝑎
𝜕
𝜕𝑥
𝑢 = 0
令
𝜕
𝜕𝑡
− 𝑎
𝜕
𝜕𝑥
𝑢 = 𝑣, 则
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝑎
𝜕
𝜕𝑡
𝑣 = 0
那么原方程就变成了方程组
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑎
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑡
− 𝑎
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑣
两条特征线:𝜉 = 𝑥 − 𝑎𝑡, 𝜂 = 𝑥 + 𝑎𝑡, 选择它们作为中间变量即可化简方程
𝜕𝑣
𝜕𝜂
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝜉
= 𝑣
⇒
𝜕
2
𝑢
𝜕𝜉𝜕𝜂
= 0
得到泛定方程的通解
𝑢 = 𝑓 (𝑥 − 𝑎𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑎𝑡)
其中 𝑓 , 𝑔 是任意一元 𝐶
2
函数
对于给定如下初值的问题
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝑢
𝑥 𝑥
(𝑡 > 0, −∞ < 𝑥 < +∞)
𝑢(0, 𝑥) = 𝜑(𝑥), 𝑢
𝑡
(0, 𝑥) = 𝜓(𝑥)
将初值条件代入泛定方程通解:𝑢 = 𝑓 (𝑥 − 𝑎𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑎𝑡)
𝑢(0, 𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝜑(𝑥), −𝑎 𝑓
′
(𝑥) + 𝑎𝑔
′
(𝑥) = 𝜓 (𝑥)
解得
𝑓 (𝑥) =
1
2
𝜑(𝑥) −
1
𝑎
𝑥
0
𝜓(𝜉)𝑑𝜉 − 𝑐
, 𝑔(𝑥) =
1
2
𝜑(𝑥) +
1
𝑎
𝑥
0
𝜓(𝜉)𝑑𝜉 + 𝑐
得到
𝑢(𝑡, 𝑥) =
1
2
[
𝜑(𝑥 − 𝑎𝑡) + 𝜑(𝑥 + 𝑎𝑡)
]
+
1
2𝑎
𝑥+𝑎𝑡
𝑥−𝑎𝑡
𝜓(𝜉)𝑑𝜉
称为达朗贝尔公式
例
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑢
𝑥 𝑥
+ cos 𝑥 (𝑡 > 0, −∞ < 𝑥 < +∞)
𝑢(0, 𝑥) = 0, 𝑢
𝑡
(0, 𝑥) = 4𝑥
瞪眼得出一个特解 𝑢 = cos 𝑥, 令 𝑢 = 𝑉 + cos 𝑥
𝑣
𝑡𝑡
= 𝑣
𝑥 𝑥
𝑣(0, 𝑥) = −cos 𝑥, 𝑣
𝑡
(0, 𝑥) = 4𝑥
由达朗贝尔公式得到
𝑣 =
1
2
[
−cos(𝑥 + 𝑡) − cos(𝑥 − 𝑡)
]
+
1
2
𝑥+𝑡
𝑥−𝑡
4𝜉𝑑𝜉 = −cos 𝑥 cos 𝑡 + 4𝑥𝑡
因而
𝑢 = cos 𝑥 − cos 𝑥 cos 𝑡 + 4𝑥𝑡
例
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
(𝑡 > 0, 𝑥 > 0)
𝑢(𝑡, 0) = 0
𝑢(0, 𝑥) = 𝜑(𝑥), 𝑢
𝑡
(0, 𝑥) = 𝜓(𝑥)
考虑将其奇延拓, 取
Φ =
𝜑(𝑥), 𝑥 ≥ 0
−𝜑(−𝑥), 𝑥 < 0
, Ψ(𝑥) =
𝜓(𝑥), 𝑥 ≥ 0
−𝜓(−𝑥), 𝑥 < 0
由达朗贝尔公式
𝑢(𝑡, 𝑥) =
1
2
[
Φ(𝑥 − 𝑎𝑡) + Φ(𝑥 + 𝑎𝑡)
]
+
1
2𝑎
𝑥+𝑎𝑡
𝑥−𝑎𝑡
Ψ(𝜉)𝑑𝜉
需要分类讨论
1
2
[
𝜑(𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝜑(𝑥 − 𝑎𝑡)
]
+
1
2𝑎
𝑥+𝑎𝑡
𝑥−𝑎𝑡
𝜓(𝜉)𝑑𝜉 𝑡 ≤
𝑥
𝑎
1
2
[
𝜑(𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝜑(𝑎𝑡 − 𝑥)
]
+
1
2𝑎
𝑥+𝑎𝑡
𝑎𝑡 −𝑥
𝜓(𝜉)𝑑𝜉 𝑡 >
𝑥
𝑎
例: 三维波动方程
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
= 𝑎
2
Δ
3
𝑢 (𝑡 > 0, 𝑟 =
𝑥
2
+ 𝑦
2
+ 𝑧
2
)
𝑢|
𝑡=0
= 𝜑(𝑟),
𝜕𝑢
𝜕𝑡
𝑡=0
= 𝜓(𝑟)
令 𝑢 ≡ 𝑢(𝑡, 𝑟), 代入方程得到
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
2
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑟
2
+
2
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
令 𝑢 = ℎ(𝑟)𝑣 (𝑡, 𝑟), 希望使得后一项系数为零变为弦振动方程, 代入得到 ℎ( 𝑟) =
1
𝑟
⇒ 𝑢 =
1
𝑟
𝑉 ( 𝑡, 𝑟)
𝑣
𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑣
𝜕𝑟
2
( 𝑟 > 0)
𝑢
𝑟=0
= 0
𝑣|
𝑡=0
= 𝑟𝜑(𝑟),
𝜕𝑣
𝜕𝑡
𝑡=0
= 𝜓(𝑟)
变为半直线上的达朗贝尔问题
2 两个自变量的二阶线性方程
2.1 两个自变量的二阶线性方程
一般形式为(注意其中 2𝑎
12
是两倍!)
𝑎
11
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+ 2𝑎
12
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝑎
22
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑦
2
+ 𝑏
1
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑏
2
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑐𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)
令 𝜉 = 𝜑(𝑥, 𝑦), 𝜂 = 𝜓(𝑥, 𝑦), 方程变为关于 𝜉, 𝜂 的二阶方程
𝐴
11
𝜕
2
𝑢
𝜕𝜉
2
+ 2𝐴
12
𝜕
2
𝑢
𝜕𝜉𝜕𝜂
+ 𝐴
22
𝜕
2
𝑢
𝜕𝜂
2
+ 𝐵
1
𝜕𝑢
𝜕𝜉
+ 𝐵
2
𝜕𝑢
𝜕𝜂
+ 𝑐𝑢 = 𝑓
′
(𝜉, 𝜂)
其中
𝐴
11
= 𝑎
11
𝜕𝜑
𝜕𝑥
2
+ 2𝑎
12
𝜕𝜑
𝜕𝑥
𝜕𝜑
𝜕𝑦
+ 𝑎
12
𝜕𝜑
𝜕𝑦
2
𝐴
12
= 𝑎
11
𝜕𝜑
𝜕𝑥
𝜕𝜓
𝜕𝑥
+ 𝑎
12
𝜕𝜑
𝜕𝑥
𝜕𝜓
𝜕𝑦
+
𝜕𝜑
𝜕𝑦
𝜕𝜓
𝜕𝑥
+ 𝑎
22
𝜕𝜑
𝜕𝑦
𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝐴
22
= 𝑎
11
𝜕𝜓
𝜕𝑥
2
+ 2𝑎
12
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝜕𝜓
𝜕𝑦
+ 𝑎
12
𝜕𝜓
𝜕𝑦
2
注意到 𝐴
11
与 𝐴
22
形式相同, 考虑方程
𝑎
11
𝜕𝜁
𝜕𝑥
2
+ 2𝑎
12
𝜕𝜁
𝜕𝑥
𝜕𝜁
𝜕𝑦
+ 𝑎
22
𝜕𝜁
𝜕𝑦
2
= 0
使得 𝐴
11
, 𝐴
22
同时为零. 先假设它有首次积分解 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑐
𝑑𝑧 = 0 ⇒ 𝑧
𝑥
𝑑𝑥 + 𝑧𝑦𝑑𝑦 = 0
于是
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
代回, 得到
𝑎
11
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑧
𝑑𝑦
2
+ 2𝑎
12
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑎
22
𝜕𝑧
𝜕𝑦
2
= 0
约去
𝜕𝑧
𝜕𝑦
2
得到
𝑎
11
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
− 2𝑎
12
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎
22
= 0
也就得到了特征线方程
𝑎
11
(𝑑𝑦)
2
− 2𝑎
12
𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑎
22
(𝑑𝑥)
2
= 0
令 Δ = 𝑎
2
12
− 𝑎
11
𝑎
22
, 根据判别式的符号可以分为三种情况
2.2 双曲型
若大于零则
𝑑𝑦
𝑑𝑥
有两个实根
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎
12
+
√
Δ
𝑎
11
,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎
12
−
√
Δ
𝑎
11
得两个独立的首次积分 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑐
1
, 𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑐
2
, 这两个函数就是 𝜁 的解
取 𝜉 = 𝜑(𝑥, 𝑦), 𝜂 = 𝜓(𝑥, 𝑦), 则方程化为标准型
𝜕
2
𝑢
𝜕𝜉𝜕𝜂
+ 𝑐
1
𝑢
𝜉
+ 𝑐
2
𝑢
𝜂
+ 𝑐
3
𝑢 = 0
称为双曲型
对于弦振动方程
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝑢
𝑥 𝑥
它的特征方程是
(
𝑑𝑥
)
2
− 𝑎
2
(𝑑𝑡)
2
= 0 ⇒ (𝑑𝑥 + 𝑎𝑑𝑡)(𝑑𝑥 − 𝑎𝑑𝑡) = 0
得到两个独立首次积分
𝑥 − 𝑎𝑡 = 𝑐
1
, 𝑥 + 𝑎𝑡 = 𝑐
2
令 𝑥𝜉 = 𝑥 − 𝑎𝑡, 𝜂 = 𝑥 + 𝑎𝑡, 那么方程化为
𝑢
𝜉 𝜂
= 0
因而解就是
𝑢 = 𝑓 (𝜉) + 𝑔(𝜂)
2.3 抛物型
若 Δ = 0, 则
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎
11
𝑎
12
, 得唯一首次积分 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑐, 任取独立的 𝜓 (𝑥, 𝑦), 令 𝜉 = 𝜑(𝑥, 𝑦), 𝜂 = 𝜓(𝑥, 𝑦), 方程
化为
𝜕
2
𝑢
𝜕𝜂
2
+ 𝐷
1
𝑢
𝜉
+ 𝐷
2
𝑢
𝜂
+ 𝐷
3
𝑢 = 0
称为抛物型. 一个抛物型的例子是热传导方程
这时有 𝐴
11
= 0, 𝐴
22
≠ 0. 对于抛物型有
Δ = 𝑎
2
12
− 𝑎
11
𝑎
22
= 0 ⇒ 𝑎
22
=
𝑎
2
12
𝑎
11
由特征方程得到
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
因而
𝜕𝜑
𝜕𝑥
𝜕𝜑
𝜕𝑦
= −
d𝑦
d𝑥
= −
𝑎
12
𝑎
11
代入 𝐴
12
式中得到
𝐴
12
=
1
𝑎
11
𝑎
11
𝜕𝜑
𝜕𝑥
+ 𝑎
12
𝜕𝜑
𝜕𝑦
𝑎
11
𝜕𝜓
𝜕𝑥
+ 𝑎
12
𝜕𝜓
𝜕𝑦
= 0
那么新方程就是
𝜕
2
𝑢
𝜕𝜂
2
+
1
𝐴
22
𝐵
1
𝜕𝑢
𝜕𝜉
+ 𝐵
2
𝜕𝑢
𝜕𝜂
+𝐶𝑢
= 0
2.4 椭圆型
若 Δ < 0, 则有一对共轭复根
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎
12
+𝑖
√
−Δ
𝑎
11
𝑜𝑟
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎
12
−𝑖
√
−Δ
𝑎
11
得到一对共轭首次积分 𝜑(𝑥, 𝑦) ±𝑖𝜓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐, 令
𝜉 = 𝜑(𝑥, 𝑦), 𝜂 = 𝜓 (𝑥, 𝑦)
则方程化为
𝜕
2
𝑢
𝜕𝜉
2
+
𝜕
2
𝑢
𝜕𝜂
2
+ 𝐸
1
𝑢
𝜉
+ 𝐸
2
𝑢
𝜂
+ 𝐸
3
𝑢 = 0
称为椭圆型. 二阶拉普拉斯方程是椭圆型
例:
𝑥
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
− 2𝑥𝑦
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝑦
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑦
2
+ 𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0
判别式 Δ = 0, 为抛物型. 特征方程为
𝑥
2
(𝑑𝑦)
2
+ 2𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑦
2
(𝑑𝑥)
2
= 0 ⇒ (𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥)
2
= 0 ⇒ 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥 = 0 ⇒ 𝑥𝑦 = 𝑐
令 𝜉 = 𝑥𝑦, 𝜂 = 𝑦, 方程化为
𝜂
𝜕
2
𝑢
𝜕𝜂
2
+
𝜕𝑢
𝜕𝜂
= 0
解得
𝑢 = 𝜑(𝜉) ln(𝜂) + 𝜓 (𝜉)
例:𝑦𝑢
𝑥 𝑥
+ 𝑢
𝑦𝑦
= 0
Δ = −𝑦, 特征方程 𝑦(𝑑𝑦)
2
+ (𝑑𝑥)
2
= 0. 当 𝑦 < 0 时 Δ > 0 为双曲型. 特征方程分解为
(𝑑𝑥 +
√
−𝑦𝑑𝑦)(𝑑𝑥 −
√
−𝑦𝑑𝑦) = 0
得到 𝑥 −
2
3
(−𝑦)
3/2
= 𝑐
1
, 𝑥 +
2
3
(−𝑦)
3/2
= 𝑐
2
. 令
𝜉 = 𝑥 −
2
3
(−𝑦)
3/2
, 𝜂 = 𝑥 +
2
3
(−𝑦)
3/2
方程化为
𝑢
𝜉 𝜂
=
1
6(𝜉 − 𝜂)
(𝑢
𝜂
− 𝑢
𝜉
) = 0
当 𝑦 > 0 时 Δ < 0 为椭圆型, 特征方程 (𝑑𝑥 + 𝑖
√
𝑦𝑑𝑦)(𝑑𝑥 − 𝑖
√
𝑦𝑑𝑦) = 0. 解得
𝑥 + 𝑖
2
3
𝑦
3/2
= 𝑐
1
, 𝑥 −𝑖𝑦
3/2
= 𝑐
2
令
𝜉 = 𝑥, 𝜂 =
2
3
𝑦
2/3
方程化为
𝑢
𝜉 𝜉
+ 𝑢
𝜂 𝜂
+
1
3𝜂
𝑢
𝜂
= 0
3 叠加原理和齐次化原理
3.1 叠加原理
首先定义一个线性算子 𝐿, 和 𝑛 个自变量 (𝑥
1
, 𝑥
2
, ··· , 𝑥
𝑛
)
𝐿 =
𝑖, 𝑗
𝑎
𝑖 𝑗
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
+
𝑖
𝑏
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
+ 𝑐𝑢
若有
𝐿𝑢
𝑖
= 𝑓
𝑖
取 𝑢 =
𝜆
𝑖
𝑢
𝑖
, 则有
𝐿𝑢 = 𝑓 , 𝑓 =
𝜆
𝑖
𝑓
𝑖
求和指标可以有限也可以无穷
. 求和指标有限时右导数的线性性即证; 无限时需要一致收敛条件
更特别地, 还可以进行积分. 若有
𝐿𝑢(x; 𝜉) = 𝑓 (x; 𝜉)
那么取
𝑈(𝑥) =
𝜆(𝜉)𝑢(x, 𝜉)𝑑𝜉
就有
𝐿𝑈 (𝑥) = 𝑓 , 𝑓 =
𝜆(𝜉) 𝑓 (x, 𝜉)𝑑𝜉
狄利克雷问题
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑦
2
= 1
𝑢|
𝑥
2
+𝑦
2
=1
= 𝑥
2
, (𝑥
2
+ 𝑦
2
< 1)
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑦
2
= 1 有特解 𝑢
0
=
1
4
(𝑥
2
+ 𝑦
2
). 令 𝑢 = 𝑣 + 𝑢
0
, 得到
𝜕
2
𝑣
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝑣
𝜕𝑦
2
= 0
𝑣|
𝑥
2
+𝑦
2
=1
= 𝑥
2
−
1
4
3.2 冲量原理 (齐次化原理)
3.2.1 二阶齐次化原理
考虑
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝑢
𝑥 𝑥
+ 𝑓 (𝑡, 𝑥)
𝑢(0, 𝑥) = 𝜑(𝑥), 𝑢
𝑡
(0, 𝑥) = 𝜓(𝑥)
则其解可分为两部分:𝑢 = 𝑢
1
+ 𝑢
2
其中 𝑢
1
满足初值为零的非齐次方程
𝑢
1𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝑢
1𝑥 𝑥
+ 𝑓 (𝑡, 𝑥)
𝑢
1
(0, 𝑥) = 0, 𝑢
1𝑡
(0, 𝑥) = 0
𝑢
2
满足初值为零的齐次方程
𝑢
2𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝑢
2𝑥 𝑥
𝑢
2
(0, 𝑥) = 𝜑(𝑥), 𝑢
2𝑡
(0, 𝑥) = 𝜓(𝑥)
𝑢
2
很容易解出, 考虑 𝑢
1
. 它的解是如下形式
𝑢
1
=
𝑡
0
𝑤(𝑡, 𝑥, 𝜏 )𝑑𝜏
其中 𝑤 满足
𝑤
𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝑤
𝑥 𝑥
, ( 𝑡 > 𝜏)
𝑤|
𝑡= 𝜏
= 0, 𝑤
𝑡
|
𝑡= 𝜏
= 𝑓 (𝜏, 𝑥)
令 𝑡
1
= 𝑡 − 𝜏, 那么 𝑤(𝑡
1
, 𝑥, 𝜏) 就是一个可以使用达朗贝尔公式的形式
𝑤
𝑡
1
𝑡
1
= 𝑎
2
𝑤
𝑥 𝑥
, ( 𝑡
1
> 0)
𝑤|
𝑡
1
=0
= 0, 𝑤
𝑡
1
|
𝑡
1
=0
= 𝑓 (𝜏, 𝑥)
可以解得
𝑢
1
=
1
2𝑎
𝑡
0
𝑑𝜏
𝑥+𝑎𝑡
𝑥−𝑎𝑡
𝑓 (𝜏, 𝜉)𝑑𝜉
验证 𝑢
1
的解, 边界容易验证. 对于二阶偏微分
𝑢
1𝑡𝑡
=
𝑡
0
𝜕
2
𝑤
𝜕𝑡
2
𝑑𝑡 +
𝜕𝑤
𝜕𝑡
𝜏=𝑡
而
𝜕
2
𝑤
𝜕𝑡
2
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑤
𝜕𝑥
2
,
𝜕𝑤
𝜕𝑡
𝜏=𝑡
= 𝑓 (𝑡, 𝑥)
因而
𝑢
1𝑡𝑡
=
𝜕
2
𝜕𝑥
2
𝑡
0
𝑤(𝑡, 𝑥, 𝜏 )𝑑𝜏
+ 𝑓 (𝑡, 𝑥) = 𝑢
1𝑥 𝑥
+ 𝑓 (𝑡, 𝑥)
3.2.2 齐次化原理的提出
齐次化原理由物理中的动量定理提出. 考察弦的受迫振动
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑡
2
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+ 𝑓 (𝑡, 𝑥), 𝑡 > 0, −∞ < 𝑥 < +∞
𝑢|
𝑡=0
= 0,
𝜕𝑢
𝜕𝑡
𝑡
=
0
= 0
其中 𝑓 (𝑡, 𝑥) 是作用在弦上的外力线密度,𝑢(𝑡, 𝑥) 是弦上点的位移. 将位移分解为两部分: 惯性的位移与冲
量 𝑓 (𝜏, 𝑥)𝑑𝜏 在 𝑡 时刻引起的位移 𝜔(𝑡, 𝑥, 𝜏)
而惯性的位移也是由冲量而来, 那么 𝑢(𝑡, 𝑥) 就写作了积分形式
𝑢(𝑡, 𝑥) =
𝑡
0
𝜔(𝑡, 𝑥, 𝜏)𝑑𝜏
下面考虑 𝜔 应满足的方程. 实际上 𝜔 就是一瞬间的冲量作用效果在时间上的延续,𝑡 > 𝜏 时无外力. 也就
是说
𝜕
2
𝜔
𝜕𝑡
2
= 𝑎
2
𝜕
2
𝜔
𝜕𝑥
2
, 𝑡 > 𝜏, −∞ < 𝑥 < +∞
𝜔|
𝑡= 𝜏
= 0,
𝜕𝜔
𝜕𝑡
𝑡
=
𝜏
= 𝑓 (𝜏, 𝑥)
3.2.3 一般的齐次化原理
对于一般的方程
𝜕
𝑚
𝑢
𝜕𝑡
𝑚
= 𝐿𝑢 + 𝑓 (𝑡, x), (𝑡 > 0, x ∈ ℝ
𝑛
)
𝑢|
𝑡=0
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
𝑡=0
= ··· =
𝜕
𝑚−1
𝑢
𝜕𝑡
𝑚−1
𝑡=0
= 0
则
𝑢 =
𝑡
0
𝑤(𝑡, x, 𝜏)𝑑𝜏
𝜔 满足
𝜕
𝑚
𝑤
𝜕𝑡
𝑚
= 𝐿𝑤, (𝑡 > 𝜏 < x ∈ ℝ
𝑛
)
𝑤|
𝑡= 𝜏
= ··· =
𝜕
𝑚−2
𝑤
𝜕𝑡
𝑚−2
𝑡= 𝜏
= 0
𝜕
𝑚−1
𝑤
𝜕𝑡
𝑚−1
𝑡= 𝜏
= 𝑓 (𝜏, x)
对于热传导方程
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+ 𝑓 (𝑡, 𝑥), (𝑡 > 0, 𝑥 ∈ ℝ)
𝑢(0, 𝑥) = 𝜑(𝑥)
则
𝑢 =
𝑡
0
𝑤(𝑡, x, 𝜏)𝑑𝜏
其中
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= 𝑎
2
𝜕
2
𝑤
𝜕𝑥
2
, ( 𝑡 > 𝜏)
𝑤|
𝑡= 𝜏
= 𝑓 (𝜏, 𝑥)
对于最后得到达朗贝尔问题
𝑢
𝑡𝑡
= 𝑎
2
𝑢
𝑥 𝑥
, ( 𝑡 > 0, 𝑥 ∈ ℝ)
𝑢(0, 𝑥) = 𝜑(𝑥), 𝑢
𝑡
(0, 𝑥) = 𝜓(𝑥)
由达朗贝尔公式
𝑢 =
1
2
[
𝜑(𝑥 − 𝑎𝑡) + 𝜑(𝑥 + 𝑎𝑡)
]
+
1
2𝑎
𝑥+𝑎𝑡
𝑥−𝑎𝑡
𝜓(𝜉)𝑑𝜉
若 𝜑(𝑥) 与 𝜓(𝑥) 只给了 [ℎ
1
, ℎ
2
] 的值, 考虑 (𝑥
0
, 𝑡
0
), [𝑥
0
− 𝑎𝑡, 𝑥
0
+ 𝑎𝑡] 包含在 [ℎ
1
, ℎ
2
] 即可以
