偏微分方程
目录
1 一阶线性偏微分方程 2
1.1 两个自变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 三个自变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 一般情形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1
1 一阶线性偏微分方程
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑝(𝑥)𝑦 + 𝑄(𝑥) ⇒ 𝑦 = 𝑒𝑥 𝑝
∫
𝑝(𝑥)𝑑𝑥
·
∫
𝑒𝑥 𝑝
−
∫
𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑚
1.1 两个自变量
两自变量情形的一般形式为
𝑎(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑏(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)
希望将偏导数的数目减少, 进行自变量替换, 令
𝜉 = 𝜑(𝑥, 𝑦), 𝜂 = 𝜓 (𝑥, 𝑦)
那么
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝜕𝜉
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝜕𝜑
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝜂
𝜕𝜓
𝜕𝑥
代入方程得到
𝑎
𝜕𝜑
𝜕𝑥
+ 𝑏
𝜕𝜑
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝜉
+
𝑎
𝜕𝜓
𝜕𝑥
+ 𝑏
𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝜂
+ 𝑐𝑢 = 𝑓
希望令其中一个的系数为零, 即消去一个偏微分. 希望
𝜕𝑢
𝜕𝜉
的系数为零
𝑎
𝜕𝜑
𝜕𝑥
+ 𝑏
𝜕𝜑
𝜕𝑦
= 0
特征线方法: 先假定它有解 𝜑(𝑥, 𝑦), 称 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑐 为特征曲线. 两边微分
𝑑𝜑 = 𝜑
𝑥
𝑑𝑥 + 𝜑
𝑦
𝑑𝑦 = 0
与原方程比较
𝑎
𝜕𝜑
𝜕𝑥
+ 𝑏
𝜕𝜑
𝜕𝑦
= 0
得到特征方程 (特征线的微分方程)
𝑑𝑥
𝑎
=
𝑑𝑦
𝑏
若该方程有首次积分解 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑐, 该函数就是所求的函数, 只需要取一个与之线性无关的函数作为第二
个换元即可. 由此得到求解步骤
1. 列出特征线方程
𝑑𝑥
𝑎(𝑥, 𝑦)
=
𝑑𝑦
𝑏(𝑥, 𝑦)
2. 若特征方程有解, 且解为首次积分表示形式(隐函数)𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑐, 则 𝜉 = 𝜑(𝑥, 𝑦), 𝜂 是任意与 𝜑
线性无关的函数
线性无关需要验证行列式
𝜑
𝑥
𝜑
𝑦
𝜓
𝑥
𝜓
𝑦
≠ 0
3. 以 𝜉, 𝜂 为新变量, 则原方程中含导数项只有
𝜕𝑢
𝜕𝜂
例:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑎
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0 (𝑡 > 0)
特征方程的解是首次积分形式:
𝑑𝑡
1
=
𝑑𝑥
𝑎
⇒ 𝑥 − 𝑎𝑡 = 𝑐
令
𝜑 = 𝑥 − 𝑎𝑡, 𝜓 = 𝑥
代入得到
𝑎
𝜕𝑢
𝜕𝜂
= 0 ⇒ 𝑢 = 𝑓 (𝑥 − 𝑎𝑡)
例:𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
− 𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0
特征方程
d𝑢
d𝑥
=
𝑑𝑦
−𝑦
⇒ 𝑥𝑦 = 𝑐
取 𝜉 = 𝑥𝑦, 𝜂 = 𝑥, 则
𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝜉
= 0 ⇒ 𝑢 = 𝑓 (𝜉) = 𝑓 (𝑥𝑦)
1.2 三个自变量
三自变量情形的一般形式为
𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑏(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+ 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
与两自变量的情形相同. 列出特征方程
𝑑𝑥
𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑧)
=
𝑑𝑦
𝑏(𝑥, 𝑦, 𝑧)
=
𝑑𝑧
𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧)
若能求出两个独立的首次积分 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐
1
, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐
2
, 则可以取
𝜉 = 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝜂 = 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝜏 = ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧)
其中 ℎ 为任意与 𝜑, 𝜓 线性无关的函数. 则在新方程中只有
𝜕𝑢
𝜕𝜏
出现
例:
√
𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
√
𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 0
特征方程
𝑑𝑥
√
𝑥
=
𝑑𝑦
√
𝑦
=
𝑑𝑧
𝑧
得到两个首次积分
√
𝑥 −
√
𝑦 = 𝑐
1
, 2 ln 𝑥 − ln 𝑦 = 𝑐
2
作变换
𝜉 =
√
𝑥 −
√
𝑦, 𝜂 = 2
√
𝑦 − ln 𝑧, 𝜏 = 𝑧
方程化为
𝜕𝑢
𝜕𝜏
= 0 ⇒ 𝑢 = 𝑓 (𝜉, 𝜂) = 𝑓 (
√
𝑥 −
√
𝑦, 2
√
𝑦 − ln 𝑧)
1.3 一般情形
Õ
𝑏
𝑖
(𝑥
1
, 𝑥
2
, ··· , 𝑥
𝑛
)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑖
+ 𝑐(𝑥
1
, 𝑥
2
, ··· , 𝑥
𝑛
)𝑢 = 𝑓 (𝑥
1
, 𝑥
2
, ··· , 𝑥
𝑛
)
特征线
𝑑𝑥
1
𝑏
1
=
𝑑𝑥
2
𝑏
2
= ··· =
𝑑𝑥
𝑛
𝑏
𝑛
可以解出 𝑛 − 1 个首次积分 𝜑
𝑖
(𝑥
1
, ··· , 𝑥
𝑛
) = 𝑐
𝑖
, 取 𝜑
𝑛
使得 𝜑
1
··· 𝜑
𝑛
不相关
取 𝜉
𝑖
= 𝜑
𝑖
, 在新方程中用 𝜉
1
, ··· , 𝜉
𝑛
代替 𝑥
1
, ··· , 𝑥
𝑛
, 只含有
𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝑛
的导数项
例:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑢 + 𝑥𝑦 (𝑡 > 0, −∞ < 𝑥, 𝑦 < +∞)
𝑢|
𝑡=0
= 𝜑(𝑥, 𝑦)
特征方程
𝑑𝑡
1
=
𝑑𝑥
−𝑥
=
𝑑𝑦
−𝑦
得首次积分
𝑥𝑒
𝑡
= 𝑐
1
, 𝑦𝑒
𝑡
= 𝑐
2
取
𝜉 = 𝑥𝑒
𝑡
, 𝜂 = 𝑦𝑒
𝑡
, 𝜏 = 𝑡
代入方程化简得到
𝜕𝑢
𝜕𝜏
= 𝑢(𝜉, 𝜂, 𝜏) + 𝜉𝜂𝑒
−2𝜏
解得
𝑢 = −
1
3
𝑥𝑦 + 𝑔(𝑥𝑒
𝑡
, 𝑦𝑒
𝑡
)𝑒
𝑡
代入初始条件得到
𝑢 = −
1
3
𝑥𝑦𝑒
𝑡
1
3
𝑥𝑦𝑒
2𝑡
+ 𝜑(𝑥𝑒
𝑡
, 𝑦𝑒
𝑡
)
