Fourier 分析
目录
1 函数的 Fourier 级数 2
1.1 周期函数与三角函数的正交性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 周期函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 三角函数的正交性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 周期函数的 Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Fourier 系数与 Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Dirchlet 收敛定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 奇偶函数的 Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 余弦级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 正弦级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 任意周期的 Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 有限区间上函数的 Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 奇延拓与偶延拓 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.2 对称有限区间上函数的 Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.3 有限区间上函数的 Dirchlet 收敛定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.4 任意有限区间上函数的 Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6
复数形式的
Fourier
级数
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 平方平均收敛 5
2.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Bessel 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Parseval 等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Fourier 级数的逐项积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 广义 Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Fourier 变换 7
1
1 函数的 Fourier 级数
1.1 周期函数与三角函数的正交性
1.1.1 周期函数
若 ∀𝑥 ∈ (−∞, +∞), 有
𝑓 (𝑥 +𝑇) = 𝑓 (𝑥)
称 𝑓 (𝑥) 为一个周期函数,𝑇 为 𝑓 (𝑥) 的一个周期
周期函数有如下性质
1. 𝑇 为周期则 𝑛𝑇 为周期
2.
𝑎+𝑇
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 =
𝑇
0
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
1.1.2 三角函数的正交性
对于 [−𝜋, 𝜋] 上的黎曼可积函数全体, 可以定内积
( 𝑓 , 𝑔) =
1
𝜋
𝜋
−𝜋
𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
该内积满足正定性, 对称性, 线性性. 对于三角函数系
1, sin 𝑥, cos 𝑥, ··· , sin 𝑛𝑥, cos 𝑛𝑥, · ··
它们具有共同的周期 2𝜋, 且两两正交, 是正交函数系
1.2 周期函数的 Fourier 级数
1.2.1 Fourier 系数与 Fourier 级数
若 𝑓 (𝑥) 在 [−𝜋, 𝜋] 上可以展开成三角级数, 即
𝑓 (𝑥) =
𝑎
0
2
+
∞
𝑛=1
(𝑎
𝑛
cos 𝑛𝑥 + 𝑏
𝑛
sin 𝑛𝑥)
那么由三角函数的正交性, 有
( 𝑓 (𝑥), cos 𝑘𝑥) =
1
𝜋
𝜋
−𝜋
𝑓 (𝑥) cos 𝑘𝑥𝑑𝑥 = 𝑎
𝑘
( 𝑓 (𝑥), sin 𝑘𝑥) =
1
𝜋
𝜋
−𝜋
𝑓
(
𝑥
)
sin
𝑘𝑥𝑑𝑥
=
𝑏
𝑘
称为 𝑓 (𝑥) 的 Fourier 系数. 反过来也可以计算 Fourier 系数从而构造一个三角级数
𝑓 (𝑥) ∼
𝑎
0
2
+
∞
𝑛=1
(𝑎
𝑛
cos 𝑛𝑥 + 𝑏
𝑛
sin 𝑛𝑥)
称为 𝑓 (𝑥) 的 Fourier 级数
1.2.2 Dirchlet 收敛定理
设周期函数 𝑓 (𝑥) 的周期为 2𝜋
1. 𝑓 (𝑥) 在任何有限区间上逐段光滑, 则其 Fourier 级数在整个数轴上收敛且有
𝑎
0
2
+
∞
𝑛=1
(𝑎
𝑛
cos 𝑛𝑥 + 𝑏
𝑛
sin 𝑛𝑥) =
𝑓 (𝑥 +0) + 𝑓 (𝑥 − 0)
2
2. 若函数处处连续, 且在任何有限区间逐段光滑, 那么 Fourier 级数收敛与自身
逐段光滑: 函数除有限个点外都有连续的导数, 这些点只能是 𝑓 (𝑥) 或 𝑓
′
(𝑥) 的第一类间断点
1.3 奇偶函数的 Fourier 级数
1.3.1 余弦级数
若 𝑓 (𝑥) 为偶函数, 则 𝑏
𝑛
= 0,Fourier 级数中只含有余弦函数
𝑓 (𝑥) ∼
𝑎
0
2
+
∞
𝑛=1
𝑎
𝑛
cos 𝑛𝑥
利用偶函数性质得到
𝑎
𝑛
=
2
𝜋
𝜋
0
𝑓 (𝑥) cos 𝑛𝑥𝑑𝑥
1.3.2 正弦级数
若 𝑓 (𝑥) 为奇函数, 则 𝑎
𝑛
= 0,Fourier 级数中只有正弦函数
𝑓 (𝑥) ∼
1
𝜋
∞
𝑛=1
𝑏
𝑛
sin 𝑛𝑥
其中
𝑏
𝑛
=
2
𝜋
𝜋
0
𝑓 (𝑥) sin 𝑛𝑥𝑑𝑥
1.4 任意周期的 Fourier 级数
设 𝑓 (𝑥) 是以 2𝑙 为周期的函数, 换元即可得到
𝑓 (𝑥) ∼
𝑎
0
2
+
∞
𝑛=1
(𝑎
𝑛
cos
𝑛𝜋
𝑙
𝑥 + 𝑏
𝑛
sin
𝑛𝜋
𝑙
𝑥)
其中
𝑎
𝑛
=
1
𝑙
𝑙
−𝑙
𝑓 (𝑥) cos
𝑛𝜋
𝑙
𝑥𝑑𝑥
𝑏
𝑛
=
1
𝑙
𝑙
−𝑙
𝑓 (𝑥) sin
𝑛𝜋
𝑙
𝑥𝑑𝑥
若 𝑓 (𝑥) 为偶函数, 那么 Fourier 级数为余弦级数
𝑓 (𝑥) ∼
𝑎
0
2
+
∞
𝑛=1
𝑎
𝑛
𝑓 (𝑥) cos
𝑛𝜋
𝑙
𝑥𝑑𝑥, 𝑎
𝑛
=
2
𝜋
𝑙
−𝑙
𝑓 (𝑥) cos
𝑛𝜋
𝑙
𝑥𝑑𝑥
若 𝑓 (𝑥) 为奇函数, 那么 Fourier 级数为正弦函数
𝑓 (𝑥) ∼
∞
𝑛=1
𝑏
𝑛
𝑓 (𝑥) sin
𝑛𝜋
𝑙
𝑑𝑥, 𝑏
𝑛
=
2
𝜋
𝑙
0
𝑓 (𝑥) sin
𝑛𝜋
𝑙
𝑥𝑑𝑥
1.5 有限区间上函数的 Fourier 级数
1.5.1 奇延拓与偶延拓
若 𝑓 (𝑥) 在 (0, 𝑙) 上有定义, 则
𝑓
𝑜
(𝑥) =
𝑓 (𝑥), 𝑥 ∈ (0, 𝑙)
0, 𝑥 = 0
−𝑓 (−𝑥), 𝑥 ∈ (−𝑙, 0)
可以使得 𝑓
𝑜
(𝑥) 变为 (−𝑙, 𝑙) 上的奇函数. 同样也可以偶延拓, 若 𝑓 (𝑥) 在 [0, 𝑙) 上有定义则
𝑓
𝑜
(𝑥) =
𝑓 (𝑥), 𝑥 ∈ [0, 𝑙)
𝑓 (−𝑥), 𝑥 ∈ (−𝑙, 0)
可以使其变为 (−𝑙, 𝑙) 上的偶函数
1.5.2 对称有限区间上函数的 Fourier 级数
若 𝑓 (𝑥) 在 [−𝑙, 𝑙) 上有定义, 则以 2𝑙 为周期周期延拓到 (−∞, +∞), 得到 𝑓 (𝑥) 的 Fourier 级数为
𝑓 (𝑥) ∼
𝑎
0
2
+
∞
𝑛=1
𝑎
𝑛
cos
𝑛𝜋
𝑙
𝑥 + 𝑏
𝑛
sin
𝑛𝜋
𝑙
𝑥
其中
𝑎
𝑛
=
1
𝑙
𝑙
−𝑙
𝑓 (𝑥) cos
𝑛𝜋
𝑙
𝑥𝑑𝑥
𝑏
𝑛
=
1
𝑙
𝑙
−𝑙
𝑓 (𝑥) sin
𝑛𝜋
𝑙
𝑥𝑑𝑥
若 𝑓 (𝑥) 在 (0, 𝑙) 上有定义, 则可以先奇延拓到 [− 𝑙, 𝑙), 再以 2𝑙 为周期周期延拓到 (−∞, −∞) 上, 可以写出
正弦级数
𝑓 (𝑥) ∼
∞
𝑛=1
𝑏
𝑛
sin
𝑛𝜋
𝑙
𝑑𝑥, 𝑏
𝑛
=
2
𝜋
𝑙
0
𝑓 (𝑥) sin
𝑛𝜋
𝑙
𝑥𝑑𝑥
同样可以写出余弦级数
𝑓 (𝑥) ∼
𝑎
0
2
+
∞
𝑛
=
1
𝑎
𝑛
cos
𝑛𝜋
𝑙
𝑥𝑑𝑥, 𝑎
𝑛
=
2
𝜋
𝑙
−𝑙
𝑓 (𝑥) cos
𝑛𝜋
𝑙
𝑥𝑑𝑥
1.5.3 有限区间上函数的 Dirchlet 收敛定理
𝑓 (𝑥) 在 [−𝑙, 𝑙] 上逐段光滑, 则其 Fourier 级数收敛, 且收敛于
𝑓 (𝑥 +0) + 𝑓 (𝑥 − 0)
2
, 𝑥 ∈ (−𝑙, 𝑙)
𝑓 (−𝑙 + 0) + 𝑓 (𝑙 − 0)
2
, 𝑥 = ±𝑙
若有 𝑓 (𝑥) 在 [−𝑙, 𝑙] 逐段光滑且连续, 满足 𝑓 (−𝑙) = 𝑓 (𝑙), 则 Fourier 级数在 [−𝑙, 𝑙] 一致收敛于 𝑓 (𝑥)
1.5.4 任意有限区间上函数的 Fourier 级数
若 𝑓 (𝑥) 定义在 [𝑎, 𝑏] 上, 换元即可得到
𝑓 (𝑥) ∼
𝑎
0
2
∞
𝑛=1
𝑎
𝑛
cos
2𝑛𝜋
𝑏 − 𝑎
𝑥 + 𝑏
𝑛
sin
2𝑛𝜋
𝑏 − 𝑎
𝑥
其中有
𝑎
𝑛
=
2
𝑏 − 𝑎
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥) cos
2𝑛𝜋
𝑏 − 𝑎
𝑥𝑑𝑥
𝑏
𝑛
=
2
𝑏 − 𝑎
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥) sin
2𝑛𝜋
𝑏 − 𝑎
𝑥𝑑𝑥
1.6 复数形式的 Fourier 级数
根据 Euler 公式有
cos 𝑥 =
𝑒
𝑖 𝑥
+ 𝑒
−𝑖 𝑥
2
, sin 𝑥 =
𝑒
𝑖 𝑥
− 𝑒
−𝑖 𝑥
2𝑖
进而 𝑓 (𝑥) 在 [−𝑙, 𝑙] 上的 Fourier 级数就表示为
𝑓 (𝑥)
𝑎
0
2
∞
𝑛=1
𝑎
𝑛
− 𝑏
𝑛
𝑖
2
𝑒
𝑖𝑛 𝜔 𝑥
+
𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
𝑖
2
𝑒
−𝑖𝑛 𝜔 𝑥
=
+∞
−∞
𝐹
𝑛
𝑒
𝑛 𝜔 𝑥
其中
𝐹
0
=
𝑎
0
2
=
1
2𝑙
𝑙
−𝑙
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
𝐹
±𝑛
=
𝑎
𝑛
∓ 𝑏
𝑛
𝑖
2
=
1
2𝑙
𝑙
−𝑙
𝑓 (𝑥)(cos 𝑛𝜔𝑥 ∓ +𝑖 sin 𝑛𝜔𝑥)𝑑𝑥 =
1
2𝑙
𝑙
−𝑙
𝑓 (𝑥)𝑒
∓𝑖𝑛 𝜔 𝑥
𝑑𝑥
2 平方平均收敛
2.1 基本概念
𝐿
2
[𝑎, 𝑏] 表示 [𝑎, 𝑏] 中可积且平方可积的函数全体即
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥,
𝑏
𝑎
𝑓
2
(𝑥)𝑑𝑥存在且有限
再引入 𝐿
2
度量: 定义内积
( 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥)) =
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
那么就有度量 (距离)
|| 𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)|| =
( 𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥), 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) =
𝑏
𝑎
[𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)]
2
𝑑𝑥
称为 𝐿
2
度量. 在该度量下, 有标准正交系
1
√
2𝜋
,
1
√
𝜋
sin 𝑥,
1
√
𝜋
cos 𝑥, ··· ,
1
√
𝜋
sin 𝑛𝑥,
1
√
𝜋
cos 𝑛𝑥
对 𝐿
2
[𝑎, 𝑏] 中的函数 𝑓 (𝑥), 若存在 𝐿
2
[𝑎, 𝑏] 中的函数列 𝑓
𝑛
(𝑥), 使得
lim
𝑛→∞
|| 𝑓
𝑛
(𝑥) − 𝑓 (𝑥)|| = lim
𝑛→∞
𝑏
𝑎
[𝑓
𝑛
(𝑥) − 𝑓 (𝑥)]
2
𝑑𝑥 = 0
则称 {𝑓
𝑛
(𝑥)} 平方平均收敛于 𝑓 (𝑥)
2.2 Bessel 不等式
设 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐿
2
[−𝜋, 𝜋], 则在所有的 𝑛 次三角多项式中, 以 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 系数构成的三角多项式与 𝑓 (𝑥) 的平方平
均偏差 Δ
𝑛
最小且有最小值
Δ
𝑛
= || 𝑓 − 𝑆
𝑛
||
2
=
𝜋
−𝜋
𝑓
2
(𝑥)𝑑𝑥 − 𝜋
𝑎
2
0
2
𝑛
𝑘=1
(𝑎
2
𝑘
+ 𝑏
2
𝑘
)
由 Δ
𝑛
≥ 0 就得到了 Bessel 不等式
𝑎
2
0
2
+
𝑛
𝑘=1
(𝑎
2
𝑘
+ 𝑏
2
𝑘
) ≤
1
𝜋
𝜋
−𝜋
𝑓
2
(𝑥)𝑑𝑥
进而有推论
1. 级数
∞
𝑛=1
|
𝑎
𝑛
|
+
|
𝑏
𝑛
|
𝑛
收敛
2.
lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= lim
𝑛→∞
1
𝜋
𝜋
−𝜋
𝑓 (𝑥) cos 𝑛𝑥𝑑𝑥 = 0
lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= lim
𝑛→∞
1
𝜋
𝜋
−𝜋
𝑓 (𝑥) sin 𝑛𝑥𝑑𝑥 = 0
2.3 Parseval 等式
𝑓 (𝑥) ∈ 𝐿
2
[−𝜋, 𝜋], 则 𝑓 (𝑥) 的 Fourier 级数部分和 𝑆
𝑛
(𝑥) 构成的三角多项式列平方平均收敛于 𝑓 (𝑥), 即
𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙 不等式等号成立
𝑎
2
0
2
+
∞
𝑛=1
(𝑎
2
𝑛
+ 𝑏
2
𝑛
) =
1
𝜋
𝜋
−𝜋
𝑓
2
(𝑥)𝑑𝑥
称为 Parseval 等式. 这说明向量组
1
√
2𝜋
,
1
√
𝜋
sin 𝑥,
1
√
𝜋
cos 𝑥, ··· ,
1
√
𝜋
sin 𝑛𝑥,
1
√
𝜋
cos 𝑛𝑥
为 𝐿
2
[−𝜋, 𝜋] 中的一组标准正交基, 其中任何一个向量 𝑓 (𝑥) 模长的平方等于其在标准正交基下各坐标的
平方和 (推广的勾股定理!)
该结论可以推广: 若有 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿
2
[−𝜋, 𝜋],{𝑎
𝑛
}, {𝑏
𝑛
} 与 {𝛼
𝑛
}, {𝛽
𝑛
} 分别是 𝑓 (𝑥) 和 𝑔(𝑥) 的 Fourier 系
数, 则
1
𝜋
𝜋
−𝜋
𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑎
0
𝛼
0
2
+
∞
𝑛=1
(𝑎
𝑛
𝛼
𝑛
+ 𝑏
𝑛
𝛽
𝑛
)
即两个平方可积函数的内积等于其在标准正交基下对应坐标乘积之和. 𝑓 ±𝑔 的 𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑒𝑣𝑎𝑙 等式相减再除以
4 即证
2.4 Fourier 级数的逐项积分
设 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐿
2
[−𝜋, 𝜋], 其 Fourier 级数为
𝑓 (𝑥) ∼
𝑎
0
2
+
∞
𝑛=1
(𝑎
𝑛
cos 𝑛𝑥 + 𝑏
𝑛
sin 𝑛𝑥)
那么对 ∀𝑎, 𝑏 ∈ [−𝜋, 𝜋], 有如下积分公式 (不需要收敛到自身!)
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 =
𝑏
𝑎
𝑎
0
2
𝑑𝑡 +
∞
𝑛=1
𝑏
𝑎
(cos 𝑎
𝑛
cos 𝑛𝑡 + 𝑏
𝑛
sin 𝑛𝑡)𝑑𝑡
利用推广的
Parseval
等式再取特殊
𝑔
(
𝑥
)
即证
.
特别地
,
取
𝑎
=
0
, 𝑏
=
𝑥
得到
𝑥
0
𝑓 (𝑡) −
𝑎
0
2
𝑑𝑡 =
∞
𝑛=1
𝑏
𝑛
𝑛
+
∞
𝑛=1
−
𝑏
𝑛
𝑛
cos 𝑛𝑥 +
𝑎
𝑛
𝑛
sin 𝑛𝑥
由于
∞
𝑛=1
|
𝑎
𝑛
|
+
|
𝑏
𝑛
|
𝑛
收敛, 右端的级数一致收敛
2.5
广义
Fourier
级数
不考, 略
3 Fourier 变换
不考, 略 (暑假再补)
