数项级数
目录
1 基本概念 2
2 级数收敛 2
2.1 收敛级数的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.1 必要条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 收敛级数的线性性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.3 项的改动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.4 级数的结合律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 正项级数的收敛判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.1 部分和有界判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.2 比较判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.3 Cauchy 根值判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.4 d’Alembert 比值判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.5 Cauchy 积分判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.6 Raabe 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 一般级数的收敛性及判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3.1 Leibniz 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3.2 Cauchy
收敛准则
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.3 Weierstrass 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.4 Dirichlet 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.5 Abel 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 绝对收敛级数的性质 4
3.1 交换律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 结合律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2.1 柯西乘积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2.2 Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2.3 Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 分配律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
1 基本概念
∞
Õ
𝑛=1
𝑎
𝑛
= 𝑎
1
+ 𝑎
2
+ ... + 𝑎
𝑛
+ ...
称为数项级数，𝑎
𝑛
称为级数的通项
级数的前 𝑛 项和称为级数的第 𝑛 个部分和
2 级数收敛
∞
Õ
𝑛=1
𝑎
𝑛
敛散性 ⇔ 部分和数列{𝑆
𝑛
}的敛散性
2.1 收敛级数的基本性质
2.1.1
必要条件
∞
Õ
𝑛=1
𝑎
𝑛
收敛 ⇔ lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 0
逆命题不成立!
2.1.2 收敛级数的线性性
两个级数的和仍收敛
∞
Õ
𝑛=1
(𝑐
1
𝑎
𝑛
+ 𝑐
2
𝑏
𝑛
) = 𝑐
1
∞
Õ
𝑛=1
𝑎
𝑛
+ 𝑐
2
∞
Õ
𝑛=1
𝑏
𝑛
2.1.3 项的改动
定理 2.1. 删除级数所有取零的项, 剩余项顺序不变, 则级数敛散性不变, 收敛到同一值
定理 2.2. 添加删除或改变级数的有限项不改变敛散性, 但可能改变收敛级数的和
2.1.4 级数的结合律
收敛级数相邻有限项加括号后形成的新级数仍然收敛, 且和不变
2.2 正项级数的收敛判别法
2.2.1 部分和有界判别法
定理 2.3.
∞
Õ
𝑛=1
𝑎
𝑛
收敛 ⇔ {𝑆
𝑛
}
∞
𝑛=1
有上界
2.2.2 比较判别法
若从某项起有 𝑎
𝑛
≤ 𝑏
𝑛
, 则
𝑛=1
Í
∞
𝑏
𝑛
收敛则
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
收敛
若 lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
= 𝐴, 则
1. 0 < 𝐴 < +∞ 时,
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
与
∞
Í
𝑛=1
𝑏
𝑛
同敛散
2. 𝐴 = 0 且
∞
Í
𝑛=0
𝑏
𝑛
收敛,
∞
Í
𝑛=1
收敛
3. 𝐴 = +∞ 且
∞
Í
𝑛=1
𝑏
𝑛
发散, 则
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
发散
2.2.3 Cauchy 根值判别法
1. 从某项起有
𝑛
√
𝑎
𝑛
≤ 𝑞 < 1, 则
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
收敛
2. 若有无穷多个 𝑛 使
𝑛
√
𝑎
𝑛
≥ 1, 则
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
发散
3. 若 lim
𝑛→∞
𝑛
√
𝑎
𝑛
= 𝑞,𝑞 < 1 时收敛,𝑞 > 1 时发散,𝑞 = 1 时判别失效
2.2.4 d’Alembert 比值判别法
1. 从某项起有
𝑎
𝑛+1
𝑎
𝑛
≤ 𝑞 < 1, 则
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
收敛
2. 从某项起有
𝑎
𝑛+1
𝑎
𝑛
≤ 𝑞 ≥ 1, 则
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
发散
3. 若 lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛+1
𝑎
𝑛
= 𝑞, 则当 𝑞 < 1 时级数收敛,𝑞 > 1 时级数发散,𝑞 = 1 时判别失效
2.2.5 Cauchy 积分判别法
𝑓 (𝑥) 是 [1, +∞) 上的非负单调递减函数, 则
∞
Í
𝑛=0
𝑓 (𝑛) 与
∫
+∞
1
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 同敛散
2.2.6 Raabe 判别法
1. 从某项起 𝑛
𝑎
𝑛
𝑎
𝑛+1
− 1
≥ 𝛾 > 1, 则
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
收敛
2. 从某项起 𝑛
𝑎
𝑛
𝑎
𝑛+1
− 1
≤ 1, 则
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
发散
3. 若 lim
𝑛→∞
𝑛
𝑎
𝑛
𝑎
𝑛+1
− 1
= 𝛼, 则 𝛼 > 1 时收敛,0 < 𝛼 < 1 时发散
2.3 一般级数的收敛性及判别法
2.3.1 Leibniz 判别法
若 {𝑎
𝑛
}
∞
𝑛=1
单调趋于零, 则
∞
Í
𝑛=1
(−1)
𝑛−1
𝑎
𝑛
收敛, 该级数称为 Leibniz 级数, 和介于首项和 0 之间
2.3.2 Cauchy 收敛准则
级数
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
收敛当且仅当对 ∀𝜖 > 0, ∃𝑁 > 0, 使得
𝐴
𝑛+𝑝
− 𝑆 − 𝑛
=
𝑎
𝑛+1
+ ... + 𝑎
𝑛+𝑝
< 𝜖
对所有 𝑛 > 𝑁 及 ∀𝑝 ∈ N
∗
成立
2.3.3 Weierstrass 判别法
若有正项级数
∞
Í
𝑛=1
𝑏
𝑛
|
𝑎
𝑛
|
≤ 𝑏
𝑛
, 𝑛 ∈ N
则
∞
Í
𝑛=1
𝑏
𝑛
收敛时
∞
Í
𝑛=1
也收敛
绝对值级数收敛则呈级数绝对收敛, 若收敛但绝对值级数不收敛, 则称条件收敛
2.3.4 Dirichlet 判别法
1.
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
的部分和数列 {𝑆
𝑛
}
∞
𝑛=1
有界
2. {𝑏
𝑛
}
∞
𝑛=1
单调趋于零
则
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
收敛
2.3.5 Abel 判别法
1.
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
收敛
2. {𝑏
𝑛
}
∞
𝑛=1
单调有界
则
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
收敛
3 绝对收敛级数的性质
3.1 交换律
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
绝对收敛, 那么任意交换此级数的各项顺序后得到的新级数也收敛, 且和不变
推论:
∞
Õ
𝑛=1
𝑎
𝑛
绝对收敛 ⇔ 正负通项对应的两个正项级数都收敛
若
∞
Õ
𝑛=1
𝑎
𝑛
条件收敛, 则其通项正负部对应的两个正项级数都发散
3.2 结合律
3.2.1 柯西乘积
设
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
与
∞
Í
𝑛=1
𝑏
𝑛
均收敛, 用对角线法展开乘积
𝑎
1
𝑏
1
+ (𝑎
1
𝑏
2
+ 𝑎
2
𝑏
1
) + ... + (𝑎
1
𝑏
𝑛
+ 𝑎
2
𝑏
𝑛−1
+ ... + 𝑎
𝑛
𝑏
1
) + ... =
∞
Õ
𝑛=1
𝑐
𝑛
称为级数
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
和
∞
Í
𝑛=1
𝑏
𝑛
的柯西乘积, 其中
𝑐
𝑛
=
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
𝑏
𝑛+1−𝑘
= 𝑎
1
𝑏
𝑛
+ 𝑎
2
𝑏
𝑛−1
+ ... + 𝑎
𝑛−1
𝑏
2
+ 𝑎
𝑛
𝑏
1
3.2.2 Mertens
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
与
∞
Í
𝑛=1
𝑏
𝑛
分别收敛于 𝐴 和 𝐵, 若其中至少一个绝对收敛, 则柯西乘积收敛且
∞
Õ
𝑛=1
𝑐
𝑛
= 𝐴𝐵
3.2.3 Abel
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
与
∞
Í
𝑛=1
𝑏
𝑛
分别收敛于 𝐴 和 𝐵, 若柯西乘积收敛, 则
∞
Õ
𝑛=1
𝑐
𝑛
= 𝐴𝐵
3.3 分配律
若
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
与
∞
Í
𝑛=1
𝑏
𝑛
绝对收敛于 𝐴, 𝐵, 则各项乘积 𝑎
𝑖
𝑏
𝑗
按任意顺序依次相加得到的级数绝对收敛于 𝐴𝐵
特别地, 柯西乘积收敛于 𝐴𝐵
