多变量函数的微分学
目录
1 平面点集 2
1.1 两点距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 邻域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 点和点集的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 点集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4.1 界集与无界集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4.2 开集与闭集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.3 点集直径 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.4 连通集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.5 道路连通集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.6 区域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 收敛点列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 多元函数 4
2.1 向量值函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 二重极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 无穷极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2
归结原理
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.3 复合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.4 重极限与累次极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 二元函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 连续函数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 多变量函数的微分与偏导数 5
3.1 偏导数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.1 推论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.2 混合偏导数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 二元函数的可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.1 可微的必要条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.2 可微的充分条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.3 函数可微、连续和偏导数的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 方向导数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
3.3.1 梯度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 混合偏导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 复合函数的偏导数 8
4.1 多元函数与一元函数的复合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 多元函数与多元函数复合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 一阶微分形式不变性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 向量值函数的偏导数 9
5.1 一元向量值函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 二元向量值函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 雅可比矩与换元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.4 隐函数与反函数的微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4.1 由方程式确定的隐函数求导法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4.2 由方程组确定的隐函数求导法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.4.3 对于一般情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 空间中的曲线与曲面 12
6.1 弧长 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2 曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.3 空间参数曲线的切向量与法平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.4 两曲面交线的切向量与法平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.5 参数曲面的法线与切平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.6 隐式曲面的法线和切平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7 多元函数的泰勒公式与极值 16
7.1 多元函数的拉格朗日中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.2 多元函数的泰勒公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.3 多元函数的极值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.3.1 极值的必要条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.3.2 极值的充分条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.3.3 多元函数的极值判定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.4
条件极值
(
拉格朗日数乘法
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.4.1 二元函数和一个约束条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.4.2 多个自变量和多个约束函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 平面点集
1.1
两点距离
平面上两点 𝑀
1
(𝑥
1
, 𝑦
1
), 𝑀
2
(𝑥
2
, 𝑦
2
) 间的距离定义为:
𝜌(𝑀
1
, 𝑀
2
) =
p
(𝑥
1
− 𝑥
2
)
2
+ (𝑦
1
− 𝑦
2
)
2
距离的三要素:
正定性 𝜌(𝑀
1
, 𝑀
2
) ≥ 0 且等号成立当且仅当 𝑀
1
= 𝑀
2
对称性 𝜌(𝑀
1
, 𝑀
2
) = 𝜌(𝑀
2
, 𝑀
1
)
三角不等式 𝜌(𝑀
1
, 𝑀
3
) ≤ 𝜌(𝑀
1
, 𝑀
2
) + 𝜌(𝑀
2
, 𝑀
3
)
1.2 邻域
设 𝑀
0
为平面中的一个点，𝜖 > 0，𝑀
0
的 𝜖− 邻域定义为
𝐵(𝑀
0
, 𝜖) = {𝑀 ∈ ℝ
2
|0 < 𝜌(𝑀, 𝑀
0
) < 𝜖 }
方形邻域
|𝑥
0
− 𝑥| < 𝜖, |𝑦
0
− 𝑦| < 𝜖
去心邻域
𝐵
−
(𝑀
0
, 𝜖) = {𝑀 ∈ ℝ|0 < 𝜌(𝑀, 𝑀
0
) < 𝜖 }
1.3 点和点集的关系
1. 如果存在 𝜖 > 0, 使得 𝐵(𝑀, 𝜖) ⊂ 𝐸, 称点 𝑀 为 𝐸 的内点,𝐸 的全部内点记为 𝐸
𝑜
, 称为 𝐸 的内部。显
然 𝐸
𝑜
⊆= 𝐸
2. 如果存在 𝜖 > 0, 使得 𝐵(𝑀, 𝜖) ⊂ 𝐸
𝑐
, 称点 𝑀 为 𝐸 的外点
3. 如果对任意的 𝜖 > 0, 𝐵(𝑀, 𝜖) 中既有 𝐸 中的点, 也有 𝐸
𝑐
中的点, 称点 𝑀 为 𝐸 的边界点.𝐸 的边界
点可能属于 𝐸 也可能不属于 𝐸.𝐸 的所有边界点的集合称为 𝐸 的边界, 记为 𝜕𝐸. 显然 𝜕𝐸 = 𝜕𝐸
𝑐
4. 如果对任意 𝜖 > 0, 使得 𝐵
−
(𝑀, 𝜖) ∩𝐸 ≠, 即 𝑀 的任意邻域中都含有不同于 𝑀 的 𝐸 中的点, 称点 𝑀
为 𝐸 的聚点. 内点, 非孤立的边界点都是聚点
5. 如果存在 𝜖 > 0, 使得 𝐵(𝑀, 𝜖) ∩ 𝐸 = 𝑀, 则称点 𝑀 为 𝐸 的孤立点
1.4 点集
1.4.1 界集与无界集
设 𝐸 为平面点集: 若 ∃𝐾 > 0, 使得 𝐸 ⊂ 𝐵(𝑂, 𝐾), 称 𝐸 为有界集若 ∀𝑟 > 0, ∃𝑀
0
∈ 𝐸, 𝑀
0
∉ 𝐵(𝑂, 𝑟), 称 𝐸
无界集
1.4.2 开集与闭集
设 𝐸 为平面点集:
若 𝐸 中每个点都是内点, 即对 𝐸 中任意一点 𝑀, 都 ∃𝜖 > 0, 𝑠.𝑡. 𝐵(𝑀, 𝜖) ⊂ 𝐸, 则称 𝐸 为开集
若 𝐸 的补集 𝐸
𝑐
为开集, 则称 𝐸 为闭集
平面子集 𝐸 为闭集当且仅当 𝐸 的每个聚点都属于 𝐸
闭包:𝐸 = 𝐸 ∪ {所有聚点}
性质:
1. 有限个开集/闭集的并仍然开/闭
2. 任意个开集的交不一定开, 闭集不一定闭
3. 𝐸 为开集 ⇔ 𝜕𝐸 ∩ 𝐸 =
4. 𝐸 为闭集 ⇔ 𝜕𝐸 ⊂ 𝐸
1.4.3 点集直径
𝑑𝑖𝑎𝑚𝐸 = sup{𝜌(𝑀
0
, 𝑀
00
)|𝑀
0
, 𝑀
00
∈ 𝐸 ≥ 0}
1.4.4 连通集
∀𝐸 = 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ≠, 𝐵 ≠, 𝐴 ∩ 𝐵 =, 有 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ 或 𝐴 ∩ 𝐵 ≠, 则 𝐸 为连通集
1.4.5 道路连通集
设 𝑥 (𝑡), 𝑦(𝑡) 为区间 [𝛼, 𝛽] 上的连续函数, 称点集
𝐿 = { 𝑥 (𝑡), 𝑦 (𝑡)|𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽}
为一条连接 (𝑥(𝛼), 𝑦(𝛼)) 和 (𝑥 (𝛽), 𝑦(𝛽)) 的平面曲线
若 𝑥
0
(𝑡), 𝑦
0
(𝑡) 都在 [𝛼, 𝛽] 上连续且不同时为 0, 则称 𝐿 为一条光滑曲线
若曲线无自交点, 即对 ∀𝛼 ≤ 𝑡
1
< 𝑡
2
< 𝛽, 都有 (𝑥(𝑡
1
), 𝑦(𝑡
2
)) ≠ (𝑥(𝑡
2
), 𝑦(𝑡
2
)), 则称 𝐿 为一条简单曲线或若当
(Jordan) 曲线
若 (𝑥(𝛼), 𝑦(𝛼)) = (𝑥 (𝛽), 𝑦(𝛽)), 则称 𝐿 为一条闭曲线
设 𝐸 为平面点集, 若对于 𝐸 中任意两点都可以用 𝐸 中的一条曲线连接起来, 称 𝐸 为道路连通集. 独立集
也是道路连通集连通集默认道路连通
1.4.6 区域
连通的开集称为开区域, 一个开区域和它的边界称为闭区域若平面区域 𝐺 内任一条简单闭曲线的内部还
在 𝐺 内, 则称 𝐺 为单连通域. 否则, 称 𝐺 为多连通域
1.5 收敛点列
设 {𝑀
𝑛
} 为平面点列, 若存在点 𝑀
0
∈ ℝ
2
, 使得
lim
𝑛→∞
𝜌(𝑀
𝑛
, 𝑀
0
) = 0
即对 ∀𝜖 > 0, ∃𝑁 > 0, 当 𝑛 > 𝑁 时,𝜌(𝑀
𝑛
, 𝑀
0
) < 𝜖, 称 {𝑀
𝑛
} 为收敛点列, 并称 𝑀
0
为点列 {𝑀
𝑛
} 的极限, 记
为 lim
𝑛→∞
𝑀
𝑛
= 𝑀
0
平面有界点列必有收敛子列 (𝑥
𝑛
, 𝑦
𝑛
都收敛子列)
设 {𝑀
𝑛
} 为平面点列, 若对 ∀𝜖 > 0, ∃𝑁 > 0, 当 𝑛, 𝑚 > 𝑁 时 𝜌(𝑀
𝑛
, 𝑀
𝑚
) < 𝜖 >, 称 {𝑀
𝑛
} 为柯西点列
柯西收敛准则
:
点列
{
𝑀
𝑛
}
收敛
⇒ {
𝑀
𝑛
}
为柯西点列
2 多元函数
2.1 向量值函数
𝐷 ∈ ℝ
𝑛
®
𝑓
→ ℝ
𝑚
称
®
𝑓 为 𝑛 元 𝑚 维向量值函数 𝑚 = 𝑛 且可逆时称为变换
2.2 二重极限
设 𝐷 ⊂ ℝ
2
, 𝑓 : 𝐷 → ℝ 为二元函数,𝑀
0
为 𝐷 的聚点, 若 ∃𝑎, 𝑠.𝑡. ∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0, 当 𝑀 ∈ 𝐷 且 0 < 𝜌(𝑀, 𝑀
0
)
时,| 𝑓 (𝑀) − 𝑎| < 𝜖, 则称 𝑀 趋于 𝑀
0
时, 𝑓 (𝑀) 的极限存在且为 𝑎, 记为
lim
𝑀→𝑀
0
𝑓 (𝑀) = 𝑎
2.2.1 无穷极限
lim
𝑥 →∞
𝑦→∞
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑎 ⇔ ∀𝜖 > 0, ∃𝑀 > 0 𝑠.𝑡. 当 |𝑥| > 𝑀 且 𝑦 > 𝑀 时, 都有 | 𝑓 (𝑥, 𝑦) − 𝑎| < 𝜖
2.2.2 归结原理
lim
𝑥 →𝑥
0
𝑦→𝑦
0
= 𝑎 ⇔ ∀(𝑥
𝑛
, 𝑦
𝑛
) → (𝑥
0
, 𝑦
0
)(𝑛 → ∞) 且 (𝑥
𝑛
, 𝑦
𝑛
) ≠ (𝑥
0
, 𝑦
0
) 都有 lim
𝑛→∞
𝑓 (𝑥
𝑛
, 𝑦
𝑛
) = 𝑎
2.2.3 复合
lim
𝑥 →𝑥
0
𝑦→𝑦
0
= 𝑎, lim
𝑡→𝑡
0
𝑥(𝑡) = 𝑥
0
, lim
𝑡→𝑡
0
𝑦(𝑡) = 𝑦
0
⇒ lim
𝑡→𝑡
0
𝑓 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = 𝑎
2.2.4 重极限与累次极限
设二元函数 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 (𝑥
0
, 𝑦
0
) 的某一去心邻域中有定义, 若对任意固定 𝑦, 极限 lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥, 𝑦) 存在, 令
𝜑(𝑦) = lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥, 𝑦)
若 lim
𝑦→𝑦
0
𝜑(𝑦) 存在, 则令
lim
𝑦→𝑦
0
lim
𝑥→𝑥
0
𝑓 (𝑥, 𝑦) = lim
𝑦→𝑦
0
𝜑(𝑦)
称之为 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 (𝑥
0
, 𝑦
0
) 处的一个累次极限 (先 𝑥 后 𝑦)
定义不同! 重极限和累次极限没有必然关系!
但是当三个极限都存在时, 三个极限都相等
2.3 二元函数的连续性
设 𝐷 ⊂ ℝ, 𝑓 : 𝐷 → ℝ, 𝑀
0
∈ 𝐷, 若对任意 𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0, 𝑠.𝑡. 𝑀 ∈ 𝐷 且 𝜌(𝑀, 𝑀
0
) < 𝛿 时,| 𝑓 (𝑀)− 𝑓 (𝑀
0
)| < 𝜖,
则称 𝑓 在 𝑀
0
处连续
若 𝑀
0
为 𝐷 的聚点, 则 𝑓 在 𝑀
0
处连续 ⇔ lim
𝑀→𝑀
0
𝑓 (𝑀) = 𝑓 ( lim
𝑀→𝑀
0
𝑀)
当 𝑀
0
为 𝐷 中的孤立点时, 𝑓 在 𝑀
0
处连续
若 𝑓 在 𝐷 中的每一点都连续, 则称 𝑓 在 𝐷 上连续
设 𝐷 ⊂ ℝ
2
, 𝑓 : 𝐷 → ℝ 为二元函数, 若对 ∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0, 当 𝑀, 𝑀
0
∈ 𝐷 且 𝜌(𝑀, 𝑀
0
) < 𝛿 时,| 𝑓 (𝑀) −
𝑓 (𝑀
0
)| < 𝜖, 则称 𝑓 在 𝐷 中一致连续
2.3.1
连续函数的性质
定理 2.1 (介值定理). 设 𝑓 为连通集 𝐷 上的连续函数,𝑀
1
, 𝑀
2
∈ 𝐷, 则 𝑓 可以取到介于 𝑓 (𝑀
1
) 和 𝑓 (𝑀
2
)
之间的所有值
定理 2.2 (最值定理). 设 𝑓 为有界闭集 𝐷 上的连续函数, 则 𝑓 可以在 𝐷 上取到最大值和最小值
定理 2.3 (一致连续性). 设 𝑓 为有界闭集 𝐷 上的连续函数, 则 𝑓 在 D 上一致连续
3 多变量函数的微分与偏导数
3.1 偏导数
设 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) 为区域 𝐷 ⊂ ℝ 上的二元函数,(𝑥
0
, 𝑦
0
) ∈ 𝐷. 如果极限
lim
Δ𝑥→0
𝑓 (𝑥
0
+ Δ𝑥, 𝑦
0
) − 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
)
Δ𝑥
存在，则称其为 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)(𝑥
0
, 𝑦
0
) 关于 x 的偏导数或偏微商
记作
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
),
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
), 𝑓
0
𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
),
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
|
(𝑥
0
,𝑦
0
)
, 𝑓
0
1
(第一个变量的偏导), 𝑓
0
2
···
3.1.1 推论
若
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
≡ 0, 则 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝜑(𝑦)
若
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
≡ 0, 则 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝜓(𝑥)
若函数的各偏导数在某点的邻域内存在且有界, 则函数在该点连续
证明 P13
3.1.2 混合偏导数
设 𝑓 (𝑥, 𝑦)在域 D 中有定义, 若
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
在 D 中连续, 则
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
证明
P22
3.2 二元函数的可微性
设 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) 为区域 𝐷 ⊂ ℝ
2
上的二元函数,(𝑥
0
, 𝑦
0
) ∈ 𝐷, 记
𝜌 =
p
(Δ𝑥)
2
+ (Δ𝑦)
2
若存在常数 𝐴, 𝐵, 使得 𝜌 → 0 时
𝑓 (𝑥
0
+ Δ𝑥, 𝑦
0
+ Δ𝑦) − 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
) = 𝐴Δ𝑥 + 𝐵Δ𝑦 + 𝑜(𝜌)
则称 𝑓 在点 (𝑥
0
, 𝑦
0
) 处可微，且称 𝐴Δ𝑥 + 𝐵Δ𝑦 为 𝑓 在 (𝑥
0
, 𝑦
0
) 处的微分, 记为 𝑑𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
)
令 Δ𝑦 = 0 得 𝐴 = 𝑓
0
𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
), 令 Δ𝑥 = 0 得 𝐵 = 𝑓
0
𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
)
𝑓 (𝑥
𝑦
) 在点 (𝑥
0
, 𝑦
0
) 处的全微分:
𝑑𝑧 =
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
)Δ𝑥 +
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
)Δ𝑦
=
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
)𝑑𝑥 +
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
)𝑑𝑦
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
)𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
)𝑑𝑦
3.2.1 可微的必要条件
lim
Δ𝑥→0
Δ𝑦→0
Δ 𝑧 − 𝑑𝑧
𝜌
= lim
Δ𝑥→0
Δ𝑦→0
𝑓 (𝑥
0
+ Δ𝑥, 𝑦
0
+ Δ𝑦) − 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
) − 𝑓
0
𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
)Δ𝑥 − 𝑓
0
𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
)Δ𝑦
p
(Δ𝑥)
2
+ (Δ𝑦)
2
= 0
函数可微 ⇒ 函数连续
函数可微 ⇒ 函数的各偏导数存在
3.2.2 可微的充分条件
若 𝑓 (𝑥, 𝑦)的两个偏导数
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
和
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
都在𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
)的某邻域存在且在𝑀
0
连续，则 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
)在𝑀
0
可微
证明. (𝑥
0
+ Δ𝑥, 𝑦
0
+ Δ𝑦) ∈ 𝐷, 𝜌 =
p
Δ𝑥
2
+ Δ𝑦
2
,
Δ 𝑧 = 𝑓 (𝑥
0
+ Δ𝑥, 𝑦
0
+ Δ𝑦) − 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
)
微分中值
= 𝑓
0
𝑦
(𝑥
0
+ Δ𝑥, 𝑦
0
+ 𝜃Δ𝑦)Δ𝑦 + 𝑓
0
𝑥
(𝑥
0
+ 𝜃Δ𝑥, 𝑦
0
)Δ𝑥
加一项减一项
= 𝑓
0
𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
)Δ𝑥 + 𝑓
0
𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
)Δ𝑦 + 𝜖
1
Δ𝑥 + 𝜖
2
Δ𝑦𝜖
1
= 𝑓
0
𝑥
(𝑥
0
+ 𝜃Δ𝑥, 𝑦
0
) − 𝑓
0
𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
), 𝜖
2
同
则有 lim
𝜌→0
𝜖
1
= 0, lim
𝜌→0
𝜖
2
= 0(由连续)
又有|
Δ𝑥
𝜌
|, |
Δ𝑦
𝜌
| ∴ 原极限 = lim
𝜌→0
𝜖
1
Δ𝑥+𝜖
2
Δ𝑦
𝜌
= 0 ∴ 可微 □
3.2.3 函数可微、连续和偏导数的关系
函数连续未必偏导数存在
函数偏导数存在未必连续
若 𝑓 (𝑥) 的各偏导数在 𝑀
0
的邻域内存在且有界, 则 𝑓 (𝑥) 在 𝑀
0
连续
证明
(𝑥
0
+ Δ𝑥, 𝑦
0
+ Δ𝑦) ∈ 𝐷 则:
Δ 𝑧 = 𝑓 (𝑥
0
+ Δ𝑥, 𝑦
0
+ Δ𝑦) − 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
) − 𝑓 (𝑥
0
+ Δ𝑥, 𝑦
0
) + 𝑓 (𝑥
0
+ Δ𝑥, 𝑦
0
)
= 𝑓
0
𝑦
(𝑥
0
+ Δ𝑥, 𝑦
0
+ 𝜃
1
Δ𝑦)Δ𝑦 + 𝑓
0
𝑥
(𝑥
0
+ 𝜃
2
Δ𝑥, 𝑦
0
)Δ𝑥
∃𝑀 > 0, 𝑠.𝑡.|𝑓
0
𝑥
| ≤ 𝑀, | 𝑓
0
𝑦
| ≤ 𝑀
|Δ 𝑧| ≤ 𝑀 |Δ𝑥| + 𝑀 |Δ𝑦| ≤ 2𝑀 𝜌 → 0(𝜌 → 0)
∴ 连续
3.3 方向导数
设方向向量®𝑒 = cos 𝛼
®
𝑖 + cos 𝛽
®
𝑗, 𝛼 + 𝛽 =
𝜋
2
若极限
lim
𝑡→0
𝑓 (𝑥 + 𝑡 cos 𝛼, 𝑦 +𝑡 cos 𝛽) − 𝑓 (𝑥, 𝑦)
𝑡
存在, 则称极限值为 𝑓 在 (𝑥, 𝑦) 沿 ®𝑒 方向的方向导数，记作
𝜕 𝑓
𝜕 ®𝑒
(𝑥, 𝑦)
若 𝑓 (𝑥, 𝑦) 为区域 𝐷 上的可微函数, 则 𝑓 在 𝐷 中任何一点沿任何方向 ®𝑒 = cos 𝛼
®
𝑖 + cos 𝛽
®
𝑗 的方向导数都
存在，且有
𝜕 𝑓
𝜕 ®𝑒
=
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
cos 𝛼 +
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
cos 𝛽
3.3.1 梯度
记
grad 𝑓 =
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
®
𝑖 +
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
®
𝑗
称为函数 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在点 (𝑥, 𝑦) 处的梯度，则有
𝜕 𝑓
𝜕 ®𝑒
= grad 𝑓 · ®𝑒
𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 (𝑥, 𝑦) 处沿方向 ®𝑒 的方向导数等于梯度在方向 ®𝑒 上的投影，大小取决于求导方向与梯度的夹角
3.4 混合偏导
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
) = 𝑓
0
21
= 𝑓
0
𝑦𝑥
设 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦), 𝐷,
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
,
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
存在且在 𝐷 上连续, 则
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
, 即若 𝑓 ∈ 𝐶
2
(𝐷) 则二阶混合偏导与求导
次序无关
证明
∀𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
) ∈ 𝐷, ℎ, 𝑘, (𝑥
0
+ ℎ, 𝑦
0
+ 𝑘) ∈ 𝐷
𝜑( 𝑥) = 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
+ 𝑘) − 𝑓 (𝑥, 𝑦
0
), 𝜓(𝑦) = 𝑓 (𝑥
0
+ ℎ, 𝑦) − 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
)
𝜑( 𝑥
0
+ ℎ) − 𝜑(𝑥
0
) = 𝑓 (𝑥
0
+ ℎ, 𝑦
0
+ 𝑘) − 𝑓 (𝑥
0
+ ℎ, 𝑦
0
) − 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
+ 𝑘) + 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
)
𝜓(𝑦
0
+ 𝑘) − 𝜓(𝑦
0
) = 𝑓 (𝑥
0
+ ℎ, 𝑦
0
+ 𝑘) − 𝑓 (𝑥
0
+ ℎ, 𝑦
0
) − 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
+ 𝑘) + 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
)
由一元中值
𝜑( 𝑥
0
+ ℎ) − 𝜑(𝑥
0
) = 𝜑
0
(𝑥
0
+ 𝜃
1
ℎ)ℎ
= ℎ(𝑓
0
𝑥
(𝑥
0
+ 𝜃
1
ℎ, 𝑦
0
+ 𝑘) − 𝑓
0
𝑥
(𝑥
0
+ 𝜃
1
ℎ, 𝑦
0
))
= ℎ𝑘 𝑓
00
𝑥𝑦(𝑥
0
+ 𝜃
1
ℎ, 𝑦
0
+ 𝜃
2
𝑘)
同理
𝜓(𝑦
0
+ 𝑘) − 𝜓(𝑦
0
) = ℎ𝑘 𝑓
00
𝑦𝑥
(𝑥
0
+ 𝜃
4
ℎ, 𝑦
0
+ 𝜃
3
𝑘)
∴ 𝑓
00
𝑦𝑥
(···) = 𝑓
00
𝑥𝑦
(···) ℎ, 𝑘 → 0 即证
4 复合函数的偏导数
4.1 多元函数与一元函数的复合
设 𝑢 = 𝜑(𝑥), 𝑣 = 𝜓(𝑥) 在点 𝑥 处可导,𝑧 = 𝑓 (𝑢, 𝑣) 在对应点 (𝑢, 𝑣) 处可微, 则 𝑧 = 𝑓 (𝜑(𝑥), 𝜓(𝑥)) 在 𝑥 处可导
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑥
4.2 多元函数与多元函数复合
设 𝑢 = 𝜑(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝜓 (𝑥, 𝑦) 在点 (𝑥, 𝑦) 处存在偏导数,𝑧 = 𝑓 (𝑢, 𝑣) 在对应点 (𝑢, 𝑣) 处可微, 则 𝑧 = 𝑓 (𝜑(𝑥, 𝑦), 𝜓 (𝑥, 𝑦))
在 (𝑥, 𝑦) 处存在偏导数
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝜕 𝑓
𝜕𝑢
𝜕𝜑
𝜕𝑥
+
𝜕 𝑓
𝜕𝑣
𝜕𝜓
𝜕𝑥
= 𝑓
0
1
𝜕𝜑
𝜕𝑥
+ 𝑓
0
2
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝜕 𝑓
𝜕𝑢
𝜕𝜑
𝜕𝑦
+
𝜕 𝑓
𝜕𝑣
𝜕𝜓
𝜕𝑦
= 𝑓
0
1
𝜕𝜑
𝜕𝑦
+ 𝑓
0
2
𝜕𝜓
𝜕𝑦
z
u
v
x
y
‘
4.3 一阶微分形式不变性
可微函数 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦), 不管 𝑥, 𝑦 是自变量还是可微的中间变量, 总有
𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦 =
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
全微分四则运算
设
𝑢
=
𝑢
(
𝑥, 𝑦
)
, 𝑣
=
𝑣
(
𝑥, 𝑦
)
为可微的多元函数
1. 𝑑 (𝑢 + 𝑣) = 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 2. 𝑑(𝑢𝑣 = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢) 3. 𝑑 (
𝑢
𝑣
) =
𝑣𝑑𝑢−𝑢𝑑𝑣
𝑣
2
(𝑣 ≠ 0)
5 向量值函数的偏导数
5.1 一元向量值函数
®𝑟 (𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)), 𝑡 ∈ [𝛼, 𝛽]则
®𝑟
0
(𝑡) = (𝑥
0
(𝑡), 𝑦
0
(𝑡), 𝑧
0
(𝑡)), 𝑑®𝑟 (𝑡) = ®𝑟
0
(𝑡)𝑑𝑡
𝑦 = 𝑓 (𝑥) ⇔ ®𝑟 (𝑡) = (𝑥, 𝑓 (𝑥), 0)
5.2 二元向量值函数
®𝑟 (𝑢, 𝑣) = (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣)), 则
®𝑟
0
𝑢
= (𝑥
0
𝑢
+ 𝑦
0
𝑢
+ 𝑧
0
𝑢
), ®𝑟
0
𝑣
= (𝑥
0
𝑣
+ 𝑦
0
𝑣
+ 𝑧
0
𝑣
), 𝑑®𝑟 = (𝑑𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑑𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑑𝑧(𝑢, 𝑣)) = ®𝑟
0
𝑢
𝑑𝑢 + ®𝑟
0
𝑣
𝑑𝑣
𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) ⇔ ®𝑟 (𝑡) = (𝑥, 𝑦, 𝑓 (𝑥, 𝑦))
若有: 𝑓 (𝑡), ®𝑟
1
(𝑡), ®𝑟
2
(𝑡)
1.
𝑑
𝑑𝑡
( 𝑓 ®𝑟
1
) = 𝑓
0
(𝑡)®𝑟
1
(𝑡) + 𝑓 (𝑡)®𝑟
0
1
(𝑡)
2.
𝑑
𝑑𝑡
(®𝑟
1
(𝑡) · ®𝑟
2
(𝑡)) = ®𝑟
0
1
(𝑡) · ®𝑟
2
(𝑡) + ®𝑟
1
(𝑡) · ®𝑟
0
2
(𝑡)
3.
𝑑
𝑑𝑡
(®𝑟
1
(𝑡) × ®𝑟
2
(𝑡)) = ®𝑟
0
1
(𝑡) × ®𝑟
2
(𝑡) + ®𝑟
1
(𝑡) × ®𝑟
0
2
(𝑡)
5.3 雅可比矩与换元
先考察二维情况, 设有坐标系 𝑂
𝑥𝑦
, 有变换
𝑥 = 𝑓 (𝑥
1
, 𝑦
1
)
𝑦 = 𝑔(𝑥
2
, 𝑦
2
)
给出 𝑂
𝑥𝑦
与 𝑂
𝑥
1
,𝑦
1
的关系
设 𝑥, 𝑦 各有一小增量 Δ𝑥, Δ𝑦, 与之对应的 𝑥
1
, 𝑦
1
也有一微小增量 Δ𝑥
1
, Δ𝑦
1
, 那么由微分中值定理
Δ𝑥 = 𝑓 (𝑥
1
+ Δ𝑥
1
, 𝑦
1
+ Δ𝑦
1
) − 𝑓 (𝑥, 𝑦)
= 𝑓
0
𝑥
(𝑥
1
+ 𝜃Δ𝑥
1
, 𝑦
1
+ Δ𝑦
1
)Δ𝑥
1
+ 𝑓
0
𝑦
(𝑥
1
+ Δ𝑥
1
, 𝑦
1
+ 𝜃Δ𝑦
1
)Δ𝑦
1
令 Δ𝑥
1
, Δ𝑦
1
→ 0 得
𝑑𝑥 = 𝑓
0
𝑥
(𝑥
1
, 𝑦
1
)𝑑𝑥
1
+ 𝑓
0
𝑦
(𝑥
1
, 𝑦
1
)𝑑𝑦
1
𝑑𝑦 = 𝑔
0
𝑥
(𝑥
1
, 𝑦
1
)𝑑𝑥
1
+ 𝑔
0
𝑦
(𝑥
1
, 𝑦
1
)𝑑𝑦
1
即
"
𝑑𝑥
𝑑𝑦
#
=
"
𝑓
0
𝑥
𝑓
0
𝑦
𝑔
0
𝑥
𝑔
0
𝑦
#"
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
#
那么
"
𝑑𝑥
𝑑𝑦
#
=
"
𝑓
0
𝑥
𝑓
0
𝑦
𝑔
0
𝑥
𝑔
0
𝑦
#"
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
#
取行列式得
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝑓
0
𝑥
𝑓
0
𝑦
𝑔
0
𝑥
𝑔
0
𝑦
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
记
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑥
1
, 𝑦
1
)
=
𝑓
0
𝑥
𝑓
0
𝑦
𝑔
0
𝑥
𝑔
0
𝑦
称为雅可比矩阵的行列式. 雅可比矩阵的行列式给出了不同面元, 体积元等的变换关系, 可以推广至更高
维情形
对于极坐标变换
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
,
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑟, 𝜃)
= 𝑟
对于球坐标变换
𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑
𝑧 = 𝑟 cos 𝜑
,
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑟, 𝜃, 𝜑)
= 𝑟
2
sin 𝜃
若有
(𝑥
1
, ··· , 𝑥
𝑛
)
®
𝑓
→ (𝑦
1
, ··· , 𝑦
𝑚
)
®𝑔
→ (𝑧
1
, ··· , 𝑧
𝑙
), ®𝑧 = ®𝑔 ·
®
𝑓 (®𝑥)
则
©
«
𝜕𝑧
1
𝜕𝑥
1
···
𝜕𝑧
1
𝜕𝑥
𝑛
···
𝜕𝑧
𝑙
𝜕𝑥
1
···
𝜕𝑧
𝑙
𝜕𝑥
𝑛
ª
®
®
®
¬
=
©
«
𝜕𝑧
1
𝜕𝑦
1
···
𝜕𝑧
1
𝜕𝑦
𝑚
···
𝜕𝑧
𝑙
𝜕𝑦
1
···
𝜕𝑧
𝑙
𝜕𝑦
𝑚
ª
®
®
®
¬
©
«
𝜕𝑦
1
𝜕𝑥
1
···
𝜕𝑦
1
𝜕𝑥
𝑛
···
𝜕𝑦
𝑚
𝜕𝑥
1
···
𝜕𝑦
𝑚
𝜕𝑥
𝑛
ª
®
®
®
¬
5.4 隐函数与反函数的微分法
5.4.1 由方程式确定的隐函数求导法
对于一元函数
设 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在点 𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
) 的某邻域内有连续的偏导数 ( 𝑓 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶
1
), 且
𝐹 (𝑀
0
) = 0, 𝐹
0
𝑦
(𝑀
0
) ≠ 0
则方程 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0 在点 𝑀
0
的某邻域内确定唯一连续的隐函数 𝑦 = 𝑦(𝑥)
𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥)) = 0, 𝑦
0
= 𝑦(𝑥
0
)
且该隐函数 𝑦(𝑥) 具有连续导数 𝑦
0
= −
𝐹
0
𝑥
𝐹
0
𝑦
推导.
𝜕𝐹 (𝑥,𝑦 (𝑥))
𝜕𝑥
= 𝐹
0
1
+ 𝑦
0
𝐹
0
2
= 0 ∴ 𝑦
0
= −
𝐹
0
𝑥
𝐹
0
𝑦
□
对于二元函数: 背个鬼的公式不如用求导法和微分法算
设 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 在点 𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
, 𝑧
0
) 的某邻域内有连续的偏导数, 且 𝐹(𝑀
0
) = 0, 𝐹
0
𝑧
(𝑀
0
) ≠ 0, 则方程
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
在点 𝑀
0
的某邻域内确定唯一连续的隐函数 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), 它满足
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦)) = 0, 𝑧
0
= 𝑧(𝑥, 𝑦)
且有连续偏导数
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝐹
0
𝑥
𝐹
0
𝑧
,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
𝐹
0
𝑦
𝐹
0
𝑧
证明.
𝜕𝐹 (𝑥,𝑦, 𝑧(𝑥,𝑦))
𝜕𝑥
= 𝐹
0
𝑥
+
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝐹
0
𝑧
= 0 𝑦 同理 □
5.4.2 由方程组确定的隐函数求导法
三个变量, 两个方程构成的方程组
𝐹 (𝑥, 𝑢, 𝑣) = 0
𝐺 (𝑥, 𝑢, 𝑣) = 0
其中 𝐹, 𝐺 在点 𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑢
0
, 𝑣
0
) 的某邻域内有连续偏导数, 且
𝐹 (𝑀
0
) = 𝐺 (𝑀
0
) = 0,
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑢, 𝑣)
𝑀
0
=
𝐹
0
𝑢
𝐹
0
𝑣
𝐺
0
𝑢
𝐺
0
𝑣
≠ 0
则该方程组在点 𝑀
0
的某邻域内确定唯一的隐函数组 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥)
𝐹 (𝑥, 𝑢(𝑥), 𝑣(𝑥)) = 0
𝐺 (𝑥, 𝑢(𝑥), 𝑣(𝑥)) = 0
,
𝑢
0
= 𝑢(𝑥
0
)
𝑣
0
= 𝑣(𝑥
0
)
且它们有连续导数
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
−
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑥, 𝑣)
/
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑢, 𝑣)
,
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
−
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑢, 𝑥)
/
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑢, 𝑣)
推导. 分别对 𝑥
0
求导: 𝐹
0
𝑥
+ 𝑢
0
𝐹
0
𝑢
+ 𝑣
0
𝐹
0
𝑣
= 0, 𝐺
0
𝑥
+ 𝑢
0
𝐺
0
𝑢
+ 𝑣
0
𝐺
0
𝑣
= 0 联立即可解得 □
四个变量, 两个方程构成的方程组
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣) = 0
𝐺 (𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣) = 0
其中 𝐹, 𝐺 在点 𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
, 𝑢
0
, 𝑣
0
) 的某邻域内有连续偏导数, 且
𝐹 (𝑀
0
) = 𝐺 (𝑀
0
) = 0,
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑢, 𝑣)
𝑀
0
=
𝐹
0
𝑢
𝐹
0
𝑣
𝐺
0
𝑢
𝐺
0
𝑣
𝑀
0
≠ 0
则该方程组在点 𝑀
0
的某邻域内确定唯一的隐函数组 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦)
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣 (𝑥, 𝑦)) = 0
𝐺 (𝑥, 𝑦, 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)) = 0
,
𝑢
0
= 𝑢(𝑥
0
, 𝑦
0
)
𝑣
0
= 𝑣(𝑥
0
, 𝑦
0
)
且它们有连续的偏导数
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= −
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑥, 𝑣)
/
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑢, 𝑣)
,
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= −
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑢, 𝑥)
/
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑢, 𝑣)
只要 grad𝐹|
𝑀
0
≠ 0 即可有隐函数存在, 将 𝑦 换成 𝑥/𝑧 即可
5.4.3 对于一般情况
®
𝐹 : 𝐷 ⊂ ℝ
𝑚+𝑛
→ ℝ
𝑛
,
®
𝐹 (®𝑥, ®𝑦) = 0 ⇔
𝐹
1
(𝑥®𝑥, ®𝑦) = 0
···
𝐹
𝑛
(®𝑥, ®𝑦) = 0
®𝑥 = (𝑥
1
, ···𝑥
𝑛
), ®𝑦 = 𝑦(𝑦
1
, ··· , 𝑦
𝑛
))
若
®
𝐹 ∈ 𝐶
1
,
®
𝐹 (𝑀
0
) =
®
0且
𝜕(𝐹
1
, ··· , 𝐹
𝑛
)
𝜕(𝑦
1
, ··· 𝑦
𝑛
)
≠ 0则在𝑀
0
某邻域内存在唯一隐函数 (组)
®𝑦 = ®𝑦(®𝑥) ⇔
𝑦
1
= 𝑦
1
(𝑣𝑒𝑐𝑥)
···
𝑦
𝑛
= 𝑦
𝑛
(®𝑥)
𝑠.𝑡.
®
𝐹 (®𝑥, ®𝑦(𝑥)) =
®
0
对上式微分, 得
𝑚
Í
𝑖=1
𝜕𝐹
1
𝜕𝑥
𝑖
d𝑥
𝑖
+
𝑛
Í
𝑗=1
𝜕𝐹
1
𝜕𝑦
𝑖
d𝑦
𝑖
= 0
···
𝑚
Í
𝑖=1
𝜕𝐹
𝑛
𝜕𝑥
𝑖
d𝑥
𝑖
+
𝑛
Í
𝑗=1
𝜕𝐹
𝑛
𝜕𝑦
𝑖
d𝑦
𝑖
= 0
求极坐标变换反变换的偏导数
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
求
𝜕𝑟
𝜕𝑥
,
𝜕𝑟
𝜕𝑦
,
𝜕𝜃
𝜕𝑥
,
𝜕𝜃
𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑥
𝜕𝑟
𝜕𝑦
𝜕𝜃
𝜕𝑥
𝜕𝜃
𝜕𝑦
!
=
𝜕𝑟
𝜕𝑥
𝜕𝑟
𝜕𝑦
𝜕𝜃
𝜕𝑥
𝜕𝜃
𝜕𝑦
!
−1
=
cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃
sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃
!
=
1
𝑟
𝑟 cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃
−sin 𝜃 cos 𝜃
!
=
©
«
𝑥
√
𝑥
2
+𝑦
2
−
𝑦
√
𝑥
2
+𝑦
2
−
𝑥
𝑥
2
+𝑦
2
𝑦
𝑥
2
+𝑦
2
ª
®
¬
6 空间中的曲线与曲面
6.1 弧长
对于光滑曲线 𝐿 : ®𝑟 (𝑡), 𝑡 ∈ [𝛼, 𝛽]
分割:𝑇 : 𝛼 = 𝑡
0
< 𝑡
1
< ··· < 𝑡
𝑛
= 𝛽
𝑙(𝑇) =
𝑛
Õ
𝑖=1
|
®𝑟 (𝑡
𝑖
) − ®𝑟 (𝑡
𝑖−1
)
|
=
𝑛
Õ
𝑖=1
p
(𝑥(𝑡
𝑖
) − 𝑥 (𝑡
𝑖−1
))
2
+ (𝑦(𝑡
𝑖
) − 𝑦(𝑡
𝑖−1
))
2
+ (𝑧(𝑡
𝑖
) − 𝑧(𝑡
𝑖−1
))
2
由微分中值
原式 =
𝑛
Õ
𝑖=1
p
𝑥
02
(𝜉
𝑖
) + 𝑦
02
(𝜂
𝑖
) + 𝑧
02
(𝜏
𝑖
)Δ𝑡
𝑖
, 𝜉, 𝜂, 𝜏 ∈ [𝑡
𝑖−1
, 𝑡
𝑖
]
𝑓 (𝜉
𝑖
, 𝜂
𝑖
, 𝜏
𝑖
) =
p
𝑥
2
(𝜉
𝑖
) + 𝑦
0
2
(𝜂
𝑖
) + 𝑧
0
2
(𝜏
𝑖
) ∈ 𝐶
3
则一致连续, 即对 ∀𝜖 > 0∃𝛿
1
> 0, 𝑠.𝑡.||𝑇 ||, 𝛿
1
时,
p
𝑥
02
(𝜉
𝑖
) + 𝑦
02
(𝜂
𝑖
) + 𝑧
02
(𝜏
𝑖
) −
p
𝑥
02
(𝑡
𝑖
) + 𝑦
02
(𝑡
𝑖
) + 𝑧
02
(𝑡
𝑖
)
< 𝜖
𝑛
𝑙(𝑇) −
𝑛
Õ
𝑖=1
|®𝑟
0
(𝑡
𝑖
)|Δ𝑡
𝑖
< (𝛽 − 𝛼)𝜖
®𝑟 (𝑡) ∈ 𝐶
1
, |®𝑟 (𝑡)|[𝛼, 𝛽] 上可积
∫
𝛽
𝛼
|
®𝑟
0
(𝑡)
|
𝑑𝑡 −
𝑛
Õ
𝑖=1
|
®𝑟
0
(𝑡)
|
Δ𝑡
< 𝜖
∴
𝑙(𝑇) −
∫
𝛽
𝛼
|®𝑟
0
(𝑡)𝑑𝑡|
< (𝛽 − 𝛼 + 1) < 𝜖
∴ 𝑙 =
∫
𝛽
𝛼
|®𝑟 (𝑡)|𝑑𝑡 =
∫
𝛽
𝛼
p
𝑥
02
+ 𝑦
02
+ 𝑧
02
𝑑𝑡
对于正则曲线 𝐿, |®𝑟
0
(𝑡)| > 0, 起点 𝐴, 𝑀
𝑠(𝑡) =
∫
𝑡
𝛼
|®𝑟
0
(𝜏)|𝑑𝜏
d𝑠
d𝑡
= 𝑆
0
(𝑡) = |®𝑟
0
(𝑡)| > 0严格单调递增, 有反函数, 𝑡 = 𝑡 (𝑆)
𝐿 : ®𝑟 (𝑡) = ®𝑟 (𝑡 (𝑆)) = (𝑥(𝑆), 𝑦(𝑆), 𝑧(𝑆))
称为自然方程, 用弧长作为参变量
d®𝑟
d𝑠
=
d®𝑟
d𝑡
d𝑡
d𝑆
=
®𝑟
0
(𝑡)
|®𝑟
0
(𝑡)|
∴
d®𝑟
d𝑆
= |®𝑟
0
(𝑆)| = 1单位向量
(
d𝑥
d𝑆
)
2
+ (
d𝑦
d𝑠
)
2
+ (
d 𝑧
d𝑠
)
2
= 1
∴ 𝑑
2
𝑠 = 𝑑
2
𝑥 + 𝑑
2
𝑦 + 𝑑
2
𝑧
𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 是 𝑑𝑆 在三个方向上的有向投影
®𝑟
0
(𝑆) = (cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾)
6.2 曲率
𝜅 = lim
Δ𝑆→0
Δ𝛼
Δ𝑆
正则曲线 𝐿 : |®𝑟
0
(𝑡) > 0| ∈ 𝐶
2
由于
d®𝑟
d𝑠
·
d
2
®𝑟
d𝑠
2
垂直于法向量, 主法向量
®𝜅
0
= 𝑟. ×𝑟 ···副法向量
6.3 空间参数曲线的切向量与法平面
𝛼 : ®𝑟 = ®𝑟 (𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) ⇔
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
𝑧 = 𝑧(𝑡)
𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽
若 ®𝑟 (𝑡) ∈ 𝐶
1
[𝛼, 𝛽] 则称光滑曲线
若 ®𝑟
0
(𝑡
0
) ≠ 0 则称 𝑀
0
= ®𝑟 (𝑡
0
) 正则点
若 |®𝑟
0
(𝑡)| > 0 称为 𝐿 正则曲线
®𝑟
0
(𝑡
0
) = lim
𝑡→𝑡
0
®𝑟 (𝑡) − ®𝑟 (𝑡
0
)
𝑡 − 𝑡
0
= ··· = (𝑥
0
(𝑡
0
), 𝑦
0
(𝑡
0
), 𝑧
0
(𝑡
0
))
称为切向量
𝐿 是一条光滑曲线 ®𝑟 (𝑡) , 𝑀
0
∈ 𝐿, ®𝑟 (𝑡
0
) 是过 𝑀
0
切线 𝐿
1
∀𝑀 ∈ 𝐿
1
𝑀 𝑀
0
//®𝑟
0
(𝑡
0
), 可得切线方程
𝑥 − 𝑥 (𝑡
0
)
𝑥
0
(𝑡
0
)
=
𝑦 − 𝑦(𝑡
0
)
𝑦
0
(𝑡
0
)
=
𝑧 − 𝑧(𝑡
0
)
𝑧
0
(𝑡
0
)
设其法平面为 𝑇
1
则 ∀𝑀 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑇
1
都有
®
𝑀 𝑀
0
⊥ ®𝑟
0
(𝑡
0
), 由此可得法平面方程
𝑥
0
(𝑡
0
)
(
𝑥 − 𝑥 (𝑡
0
)
)
+ 𝑦
0
(𝑡
0
)
(
𝑦 − 𝑦(𝑡
0
)
)
+ 𝑧
0
(𝑡
0
)
(
𝑧 − 𝑧(𝑡
0
)
)
= 0
6.4 两曲面交线的切向量与法平面
若空间曲线
𝐿
的方程为
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
𝐺 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷 ⊂ ℝ
3
其中 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 与 𝐺 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 在 𝐷 上有连续导数, 并且
grad𝐹 × grad𝐺 ≠
®
0
则 𝐿 在其上一点 𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
, 𝑧
0
) 的切向量为
grad𝐹 × grad𝐺 =
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑦, 𝑧)
,
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑧, 𝑥)
,
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕𝑥, 𝑦
𝑀
0
切线方程为
𝑥 − 𝑥
0
𝜕(𝐹 ,𝐺)
𝜕(𝑦,𝑧 )
𝑀
0
=
𝑦 − 𝑦
0
𝜕(𝐹 ,𝐺)
𝜕(𝑧,𝑥 )
𝑀
0
=
𝑧 − 𝑧
0
𝜕(𝐹 ,𝐺)
𝜕(𝑥,𝑦)
𝑀
0
法平面方程为
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑦, 𝑧)
𝑀
0
(𝑥 − 𝑥
0
) +
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑧, 𝑥)
𝑀
0
(𝑦 − 𝑦
0
) +
𝜕(𝐹, 𝐺)
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝑀
0
(𝑧 − 𝑧
0
) = 0
6.5 参数曲面的法线与切平面
若空间曲面 𝑆 表示为参数方程
𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣)
𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)
𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)
, (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷
或表示为二元向量值函数
r(𝑢, 𝑣) =
(
𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣)
)
, (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷
其中 r(u,v) 对参数 𝑢, 𝑣 有连续的偏导向量 r
0
𝑢
, r
0
𝑣
), 则当 n = r
0
𝑢
× r
0
𝑣
≠ 0 时,n 为 𝑆 的法向量
𝑛 =
𝜕(𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑢, 𝑣)
,
𝜕(𝑧, 𝑥)
𝜕(𝑢, 𝑣)
,
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
由此可得切平面
𝜕(𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑢, 𝑣)
𝑀
0
(𝑥 − 𝑥
0
) +
𝜕(𝑧, 𝑥)
𝜕(𝑢, 𝑣)
𝑀
0
(𝑦 − 𝑦
0
) +
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
𝑀
0
(𝑧 − 𝑧
0
) = 0
证明.
设有过 𝑀
0
的 𝑢− 曲线:®𝑟
𝑢
(𝑢, 𝑣
0
) 与 𝑣− 曲线 ®𝑟
𝑣
(𝑢
0
, 𝑣), 其在 𝑀
0
的切向量张成切平面
对 ∀光滑曲线𝐿 ∈ 𝑆 且 𝑀
0
∈ 𝐿, 设 𝐿 = ®𝑟 (𝑡), 𝑀
0
= ®𝑟
®𝑟 (𝑡) = (𝑥(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)), 𝑦(𝑢(𝑡), 𝑣 (𝑡)), 𝑧(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)))
则其切向量
®𝜏 = ®𝑟
0
(𝑡) = (𝑥
0
𝑢
𝑢
0
(𝑡
0
) + 𝑥
0
𝑣
𝑣
0
(𝑡
0
), 𝑦
0
𝑢
𝑢
0
(𝑡
0
) + 𝑦
0
𝑣
𝑣
0
(𝑡
0
), 𝑧
0
𝑢
𝑢
0
(𝑡
0
) + 𝑧
0
𝑣
𝑣
0
(𝑡
0
))
= F
0
|
𝑀
0
𝑢
0
(𝑡
0
) + F
0
𝑣
𝑀
0
𝑣
0
(𝑡
0
)
∴ ®𝜏 是两个切向量的线性组合, 可得该平面为切平面 □
6.6 隐式曲面的法线和切平面
若空间曲面表示为方程
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
, 𝑧
0
) 为其上一点,𝐹 在该点可导, 且 grad𝐹
|
𝑀
0
≠ 0, 则法向量为
n =
𝐹
0
𝑥
(𝑀
0
), 𝐹
0
𝑦
(𝑀
0
), 𝐹
0
𝑧
(𝑀
0
)
切平面方程为
𝐹
0
𝑥
(𝑀
0
)(𝑥 − 𝑥
0
) + 𝐹
0
𝑦
(𝑀
0
)(𝑦 − 𝑦
0
) + 𝐹
0
𝑧
(𝑀
0
)(𝑧 − 𝑧
0
)
法线方程为
𝑥 − 𝑥
0
𝐹
0
𝑥
(𝑀
0
)
=
𝑦 − 𝑦
0
𝐹
0
𝑦
(𝑀
0
)
=
𝑧 − 𝑧
0
𝐹
0
𝑧
(𝑀
0
)
证明. ∀𝐿 ⊂ 𝑆, 𝐹 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) = 0 求导得
𝐹
0
𝑥
𝑥
0
(𝑡) + 𝐹
0
𝑦
𝑦
0
(𝑡) + 𝐹
0
𝑧
𝑧
0
(𝑡) = 0
即
grad𝐹
|
𝑀
0
· ®𝑟
0
(𝑡
0
) = 0
∴ grad𝐹
|
⊥ ®𝑟
0
(𝑡
0
)
可得 grad𝐹 垂直于任何切向量, 故为法向量 □
7 多元函数的泰勒公式与极值
7.1 多元函数的拉格朗日中值定理
对于二元函数
定理 7.1. 设 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 𝐷 ⊂ ℝ 可微, 链接 𝐷 中点 𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
) 与 𝑀 (𝑥
0
+ℎ, 𝑦
0
+𝑘) 的直线段仍在 𝐷 内, 则
∃0 < 𝜃 < 1 𝑠.𝑡. 𝑓 (𝑥
0
+ ℎ, 𝑦
0
+ 𝑘) − 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
) = 𝑓
0
𝑥
(𝑥
0
+ 𝜃ℎ, 𝑦
0
+ 𝜃 𝑘)ℎ + 𝑓
0
𝑦
(𝑥
0
+ 𝜃ℎ, 𝑦
0
+ 𝜃 𝑘)𝑘
证明. 设 𝑀 𝑀
0
(𝑥
0
+ 𝑡ℎ, 𝑦
0
+ 𝑡𝑘) , 𝜑(𝑡) = 𝑓 (𝑥
0
+ 𝑡ℎ, 𝑦
0
+ 𝑡𝑘) , 𝑡 ∈ [0, 1], 则
𝜑
0
(1) − 𝜑
0
(0) = 𝜑
0
(𝜃)
如此化为一元函数即证 □
对于多元函数:
定理 7.2. 条件同二元函数:
𝑓 (®𝑥) − 𝑓 (®𝑦) = If
|
®𝑐
· (®𝑦 − ®𝑥) , ®𝑥, ®𝑦, ®𝑐 ∈ ℝ, ®𝑐在连线上
也就是
𝑓 (®𝑥
0
+ Δ®𝑥) − 𝑓 (®𝑥
0
) = If · Δ®𝑥 = If(®𝑥
0
+ 𝜃Δ𝑥) · Δ®𝑥
7.2 多元函数的泰勒公式
对于二元函数
定理 7.3 (拉格朗日余项). 设 𝐷 ⊂ ℝ
2
为凸区域, 𝑓 ∈ 𝐶
𝑛+1
(𝐷), (𝑥
0
, 𝑦
0
), (𝑥
0
+ ℎ, 𝑦
0
+ 𝑘) ∈ 𝐷, 则 ∃0 < 𝜃 < 1
使得
𝑓 (𝑥
0
+ ℎ, 𝑦
0
+ 𝑘) =
𝑛
Õ
𝑚=0
1
𝑚!
ℎ
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑦
𝑚
𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
) + 𝑅
𝑛
其中
𝑅
𝑛
=
1
(𝑛 + 1)!
ℎ
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑦
𝑛+1
𝑓 (𝑥
0
+ 𝜃ℎ, 𝑦
0
+ 𝜃 𝑘)
定理 7.4 (皮亚诺余项). 设 𝐷 ⊂ ℝ
2
为凸区域, 𝑓 ∈ 𝐶
𝑛+1
(𝐷), (𝑥
0
, 𝑦
0
), (𝑥
0
+ ℎ, 𝑦
0
+ 𝑘) ∈ 𝐷, 则 ∃0 < 𝜃 < 1 使
得
𝑓 (𝑥
0
+ ℎ, 𝑦
0
+ 𝑘) =
𝑛
Õ
𝑚=0
1
𝑚!
ℎ
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑦
𝑚
𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
) + 𝑅
𝑛
其中
𝑅
𝑛
= 𝑜(𝜌
𝑛
) , (𝜌 =
√
ℎ
2
+ 𝑘
2
→ 0)
证明. 设线段 𝑀 (𝑡) = (𝑥
0
+ 𝑡ℎ, 𝑦
0
+ 𝑡𝑘) , 𝜑(𝑡) = 𝑓 (𝑥
0
+ 𝑡ℎ, 𝑦
0
+ 𝑡𝑘) , 𝜑(𝑡) ∈ 𝐶
𝑛+1
[0, 1], 则
𝜑(𝑡) = 𝜑(0) + 𝜑
0
(0)𝑡 + ··· +
𝜑
(𝑛)
(𝑡)
𝑛!
𝑡
𝑛
+
𝜑
𝑛+1
(𝜃𝑡)
(𝑛 + 1)!
𝑡
𝑛+1
, 0 ∈ (0, 1)
又有
𝜑
0
(𝑡) = ℎ 𝑓
0
𝑥
+ 𝑘 𝑓
0
𝑦
⇒ 𝜑
0
(0) =
ℎ 𝑓
0
𝑥
+ 𝑘 𝑓
0
𝑦
(𝑥
0
,𝑦
0
)
同样地
𝜑
00
(𝑡) =
ℎ
2
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑥
2
+ 𝑘
2
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑦
2
+ 2ℎ𝑘
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
⇒ 𝜑
00
(0) =
ℎ
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑦
2
𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
)
以此归纳
𝜑
𝑚
(0) =
ℎ
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑦
𝑚
𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
)
代入即证 □
对于 𝑛 元
定理 7.5 (𝑛 元泰勒公式). 设 𝐷 ⊂ ℝ
𝑛
为凸区域, 𝑓 ∈ 𝐶
𝑛+1
(𝐷),
®
ℎ = (ℎ
1
, ··· , ℎ
𝑛
) ∈ 𝐷, 则
𝑓 (®𝑥 +
®
ℎ) =
𝑛
Õ
𝑚=0
1
𝑚!
𝐷
𝑛
𝑓 (®𝑥) + 𝑅
𝑛
, 𝐷 = ∇ ·
®
ℎ = ℎ
1
𝜕
𝜕𝑥
1
+ ··· + ℎ
𝑛
𝜕
𝜕𝑥
𝑛
7.3 多元函数的极值
定义 7.6. 𝑓 (𝑥, 𝑦), 𝐷 ⊂ ℝ
2
, 𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
) ∈ 𝐷, 若 ∃𝐵(𝑀
0
, 𝑟) 𝑠.𝑡. [𝑥.𝑦] ∈ 𝐵(𝑀
0
, 𝑟) 有
𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
) ≥ 𝑓 (𝑥, 𝑦)
称 𝑀
0
为 𝑓 的一个极值点, 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
) 称为极大值 (极小值同理)
7.3.1 极值的必要条件
若可微函数 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 (𝑥
0
, 𝑦
0
) 处取到极值, 则
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
) = 0 ,
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
) = 0
两个偏导数都为零的点称为驻点
证明. 设 𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
), 𝑓 极值, 则
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
(𝑥
0
, 𝑦
0
) =
d
d𝑥
( 𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑦))
𝑥=𝑥
0
则 𝑥
0
为 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
) 极值点,𝑦 同理
注意: 逆不成立! □
定理 7.7 (推论). 若 𝑓 (𝑥, 𝑦), 𝐷 可微, 则
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
= 0 ⇔ 𝑓 ≡ 𝑐
同样地
𝑓 (
®
𝑋) Jf =
®
0则 𝑓 ≡ 𝑐
®
𝑓 ℝ
𝑛
→ ℝ
𝑚
微, 则
®
𝑓 ≡ ®𝑐
证明. 取 𝑀
0
∈ 𝐷, ∀𝑀 ∈ 𝐷, 取折线使 𝑀 𝑀
0
连起, 分段用中值定理即证 □
7.3.2 极值的充分条件
设 𝑓 (𝑥, 𝑦) 为 𝐷 上的 𝐶
2
函数,(𝑥
0
, 𝑦
0
) 为 𝑓 (𝑥, 𝑦) 的驻点, 记 Δ = 𝐴𝐶 − 𝐵
2
, 其中
𝐴 =
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑥
2
(𝑥
0
, 𝑦
0
), 𝐵 =
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
(𝑥
0
, 𝑦
0
), 𝐶 =
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑦
2
(𝑥
0
, 𝑦
0
)
则
1. Δ > 0 且 𝐴 > 0,(𝑥 − 0, 𝑦
0
) 为极小值点
2. Δ > 0 且 𝐴 < 0,(𝑥 − 0, 𝑦
0
) 为极大值点
3. Δ < 0,(𝑥 − 0, 𝑦
0
) 不是极值点
4. Δ = 0, 判别法失效
证明. 令 cos 𝛼 =
ℎ
𝜌
, sin 𝛼 =
𝑘
𝜌
, 则
𝑓 (𝑥, 𝑦) − 𝑓 (𝑥
0
, 𝑦
0
) =
1
2
𝜌
2
(𝐴 cos
2
𝛼 + 2𝐵 sin 𝛼 cos 𝛼 +𝐶 sin
2
𝛼 + Δ
2
𝜌
𝑜(𝜌
2
))
𝜑(𝛼) = (cos 𝛼 +
𝐵
𝐴
sin 𝛼) +
Δ
𝐴
sin
2
𝛼
判断是否变号以及符号正负即可 □
7.3.3 多元函数的极值判定
对于多元函数, 可以定义 Hepsian 矩阵
𝐹
𝑓
=
𝑓
00
11
𝑓
00
12
··· 𝑓
00
1𝑛
𝑓
00
21
𝑓
00
22 ··· 𝑓
00
2𝑛
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑓
00
𝑛1
𝑓
00
𝑛2
··· 𝑓
00
𝑛𝑛
若 𝐻
𝑓
正定 (各阶主子式大于零), 则为极小值; 若为负定 (−𝐻
𝑓
正定), 则为极大值; 其他情况判定失效
7.4 条件极值 (拉格朗日数乘法)
7.4.1 二元函数和一个约束条件
求 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在约束条件 𝜑(𝑥, 𝑦) = 0 下的极值:
引进辅助函数
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓 (𝑥, 𝑦) + 𝜆𝜑(𝑥, 𝑦)
则条件极值应满足如下驻点方程组
𝐹
0
𝑥
(𝑥, 𝑦) = 𝑓
0
𝑥
(𝑥, 𝑦) +𝜆
0
𝑥
(𝑥, 𝑦) = 0
𝐹
0
𝑦
(𝑥, 𝑦) = 𝑓
0
𝑦
(𝑥, 𝑦) +𝜆𝜑
0
𝑦
(𝑥, 𝑦) = 0
𝐹
0
𝜆
= 𝜑(𝑥, 𝑦) = 0
解出驻点在判断极值点即可
证明. 设 𝑀
0
为条件极值点, 则有 𝜑(𝑀
0
) = 0, ∇𝜑(𝑀
0
) ≠ 0
则在 𝑀
0
邻域内存在隐函数 𝑦 = 𝑦(𝑥) 且 𝑦
0
(𝑥) = −
𝜑
0
𝑥
𝜑
0
𝑦
由 𝑥
0
是 𝑓 (𝑥, 𝑦(𝑥)) 的极值点:
𝑓
0
𝑥
+ 𝑓
0
𝑦
𝑦
0
= 0 (𝑥 = 𝑥
0
) ⇒ 𝑦
0
(𝑥) = −
𝑓
0
𝑥
𝑓
0
𝑦
= −
𝜑
0
𝑥
𝜑
0
𝑦
那么在 𝑀
0
,∇𝑓 与 ∇𝜑 共线, 故
∃𝜆𝑠.𝑡.(∇𝑓 + 𝜆∇𝜑)|
𝑀
0
= 0
即证 □
7.4.2 多个自变量和多个约束函数
考虑目标函数 𝑓 (𝑥
1
, 𝑥 − 2, ··· , 𝑥
𝑛
) 在 𝑚(< 𝑛) 个约束条件
𝜑
1
(𝑥
1
, ··· , 𝑥
𝑛
) = 0
.
.
.
𝜑
𝑚
(𝑥
1
, ··· , 𝑥
𝑛
) = 0
下的极值问题. 作辅助函数
𝐹 (𝑥
1
, ··· , 𝑥
𝑛
) = 𝑓 +𝜆
1
𝜑
1
+ ··· + 𝜆
𝑚
𝜑
𝑚
得到驻点方程组
𝜕𝐹
𝜕𝑥
1
=
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
1
+𝜆
1
𝜕𝜑
1
𝜕𝑥
1
+ ··· + 𝜆
𝑚
𝜕𝜑
𝑚
𝜕𝑥
1
= 0
···
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝑛
=
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
𝑛
+𝜆
1
𝜕𝜑
1
𝜕𝑥
𝑛
+ ··· + 𝜆
𝑚
𝜕𝜑
𝑚
𝜕𝑥
𝑛
= 0
𝜑
1
(𝑥
1
, ··· , 𝑥
𝑛
) = 0
···
𝜑
𝑚
(𝑥
1
, ··· , 𝑥
𝑛
) = 0
解出驻点并判断极值点即可
