反常积分与含参变量积分
目录
1 反常积分 2
1.1 无穷积分收敛的判别法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 柯西收敛准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 绝对收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 有界判别 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 比较判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 一般判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 第二积分中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Dirichlet 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Abel 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.4 常用积分的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 含参变量的常义积分 4
2.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 可积性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 积分限依赖于参变量的积分 4
3.1 连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 含参变量的反常积分 5
4.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 逐点收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.4 一致收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.5 一致收敛的判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.5.1 柯西收敛准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.5.2 Weierstrass 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.5.3 Dirichlet 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.5.4 Abel 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
4.6 连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.7 可积性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.8 可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.9 重要的广义积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.9.1 概率积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.9.2 Dirichlet 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.9.3 Laplace 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.9.4 Fresnel 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Euler 积分 8
5.1 Γ 函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.1.1 连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.1.2 可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.1.3 递推公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.1.4 余元公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 𝐵 函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2.1 Γ 与 𝐵 的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2.2 递推公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2.3 Legendre 加倍公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 反常积分
设 𝑓 (𝑥) 在 [𝑎, +∞) 的任何闭子区间上黎曼可积，则 𝑓 (𝑥) 在无穷区间 [𝑎, ∞) 无穷积分定义为
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑏→+∞
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑏→+∞
𝐹 (𝑏)
1.1 无穷积分收敛的判别法则
1.1.1 柯西收敛准则
∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 收敛的充要条件是: 对 ∀𝜖 > 0, ∃𝐵 = 𝐵(𝜖) > 𝑎, 使得 𝑏
1
, 𝑏
2
> 𝐵 时有
𝑏
2
𝑏
1
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
< 𝜖
1.1.2 绝对收敛
+∞
𝑎
|
𝑓 (𝑥)
|
𝑑𝑥 收敛, 称
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 绝对收敛
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 收敛, 但
+∞
𝑎
|
𝑓 (𝑥)
|
𝑑𝑥 发散, 称
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 条件收敛
绝对收敛则条件收敛 (无穷积分才成立)
1.1.3 有界判别
设 𝑓 (𝑥) 在 [𝑎, +∞) 上非负, 则无穷积分
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 收敛的充要条件为
∃𝑀 > 0, 𝑠.𝑡.∀𝑏 > 𝑎都有
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 < 𝑀
1.1.4 比较判别法
若 𝑥 充分大时有 0 ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
+∞
𝑎
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 收敛 ⇒
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥收敛
若 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥) 在 [𝑎, +∞) 上非负, 且 lim
𝑥→+∞
𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝑘, 那么
1. 0 < 𝑘 < +∞ 时, 两个积分同敛散
2. 𝑘 = 0 时
+∞
𝑎
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 收敛 ⇒
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 收敛
3. 𝑘 = +∞ 时
+∞
𝑎
𝑔(𝑥)𝑑𝑥 发散 ⇒
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 发散
1.2 一般判别法
1.2.1 第二积分中值定理
设函数 𝑓 (𝑥) 在 [𝑎, 𝑏] 上可积, 则
1. 若 𝑔(𝑥) 在 [𝑎, 𝑏] 上非负单调减, 则 ∃𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏] 使得
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑎)
𝜉
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
2. 若 𝑔(𝑥) 在 [𝑎, 𝑏] 上非负单调增, 则 ∃𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏] 使得
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑏)
𝑏
𝜉
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
3. 若 𝑔(𝑥) 在 [𝑎, 𝑏] 上单调, 则 ∃𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏] 使得
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑎)
𝜉
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑏)
𝑏
𝜉
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
1.2.2 Dirichlet 判别法
若 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥) 满足
1. ∃𝑀 > 0, 𝑠.𝑡. ∀𝑏 ∈ [𝑎, +∞),
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
≤ 𝑀
2. 𝑔(𝑥) 在 [𝑎, +∞) 单调趋于零
则
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 收敛
1.2.3 Abel 判别法
若 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥) 满足
1.
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 收敛
2. 𝑔(𝑥) 在 [𝑎, +∞) 上单调有界
则
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 收敛
1.2.4 常用积分的收敛性
对于积分
+∞
𝑎
sin 𝑥
𝑥
𝑝
𝑑𝑥
𝑝 > 1 时
sin 𝑥
𝑥
𝑝
≤
1
𝑥
𝑝
绝对收敛
0 < 𝑝 ≤ 1 时
𝑏
𝑎
sin 𝑥𝑑𝑥
=
|
cos 𝑎 − cos 𝑏
|
≤ 2
由 Dirchlet 知收敛, 但是
+∞
𝑎
|
sin 𝑥
|
𝑥
𝑝
𝑑𝑥 ≥
+∞
𝑎
sin
2
𝑥
𝑥
𝑝
𝑑𝑥 =
+∞
𝑎
1 − cos 2𝑥
2𝑥
𝑝
𝑑𝑥
一个发散一个收敛, 得原积分条件收敛, 同理也可以得出
+∞
𝑎
cos 𝑥
𝑥
𝑝
𝑝 > 1 时绝对收敛,0 < 𝑝 ≤ 1 时条件收敛
对于 𝑝− 积分
+∞
𝑎
1
𝑥
𝑝
𝑑𝑥(𝑎 > 0)
𝑝 > 1 时收敛,𝑞 ≤ 1 时发散
2 含参变量的常义积分
2.1 定义
二元函数 𝑓 (𝑥, 𝑢) 在 [𝑎, 𝑏] × [𝛼, 𝛽] 上连续, 对于任给定的 𝑢 ∈ [𝛼, 𝛽], 函数 𝑓 (𝑥, 𝑢) 对变量 𝑥 在 [𝑎, 𝑏] 上黎
曼可积, 称积分
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
是含参变量 𝑢 的常义积分, 定义函数
𝜓(𝑢) =
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
2.2 连续性
若 𝑓 (𝑥, 𝑢) 在 𝐼 = [𝑎, 𝑏] × [𝛼, 𝛽] 上连续, 则函数 𝜓(𝑢) =
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 在 [𝛼, 𝛽] 上连续, 即对 ∀𝑢
0
∈ [𝛼, 𝛽]
lim
𝑢→𝑢
0
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑥
0
)𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
lim
𝑎
𝑏 lim
𝑢→𝑢
0
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
即可以交换极限与积分的顺序
2.3 可积性
若 𝑓 (𝑥, 𝑢) 在 𝐼 = [𝑎, 𝑏] × [𝛼, 𝛽] 上连续, 则函数 𝜓(𝑢) 在 [𝛼, 𝛽] 上可积, 且
𝛽
𝛼
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
𝑑𝑢 =
𝑏
𝑎
𝛽
𝛼
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑢
𝑑𝑥
即可以交换积分的顺序
2.4 可微性
若 𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 𝐼 = [𝑎, 𝑏] × [𝛼, 𝛽] 上连续, 且对 𝑢 有连续的偏导数, 则 𝜓(𝑢) 在 [𝛼, 𝛽] 上可导, 且
𝜓
′
(𝑢) =
𝑏
𝑎
𝜕 𝑓 (𝑥, 𝑢)
𝜕𝑢
即可以交换求导与积分的顺序
3 积分限依赖于参变量的积分
𝜓(𝑢) =
𝑏(𝑢)
𝑎(𝑢)
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
3.1 连续性
设 𝑓 (𝑥, 𝑢) 在 𝐼 = [𝑎, 𝑏]×[𝛼, 𝛽] 上连续,𝑎(𝑢), 𝑏(𝑢) 也连续且函数值在 [𝑎, 𝑏 ] 内, 那么 𝜓(𝑢) =
𝑏(𝑢)
𝑎(𝑢)
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
在 [𝛼, 𝛽] 上连续, 即对 ∀𝑢
0
∈ [𝛼, 𝛽]
lim
𝑢→𝑢
0
𝑏(𝑢)
𝑎(𝑢)
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 =
𝑏(𝑢
0
)
𝑎(𝑢
0
)
𝑓 (𝑥, 𝑢
0
)𝑑𝑥
3.2 可微性
𝑓 (𝑥, 𝑢) 在 𝐼 = [𝑎, 𝑏] × [𝛼, 𝛽] 上连续, 且对 𝑢 偏导数连续,𝑎, 𝑏 都可导且函数值在 [𝑎, 𝑏] 内, 则 𝜓(𝑢) 可导
𝜓
′
(𝑢) =
𝑏(𝑢)
𝑎(𝑢)
𝜕 𝑓 (𝑥, 𝑢)
𝜕𝑢
𝑑𝑥 + 𝑓 (𝑏(𝑢), 𝑢)𝑏
′
(𝑢) − 𝑓 (𝑎(𝑢), 𝑢)𝑎
′
(𝑢)
即复合函数求导
4 含参变量的反常积分
4.1 定义
𝑓 (𝑥, 𝑢) 在 𝐼 = [𝑎, +∞] × [𝛼, 𝛽] 上连续, 若对 ∀𝑢 ∈ [𝛼, 𝛽]
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
都收敛, 则称为含参变量 𝑢 的反常积分, 可以定义函数
𝜙(𝑢) =
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
4.2 收敛性
4.3 逐点收敛
对于每个给定 𝑢, 有
lim
𝑏→+∞
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 = lim
𝑎
+∞𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
即对 ∀𝜖 > 0,∃𝐵 = 𝐵(𝑢, 𝜖) > 𝑎,𝑏 > 𝐵 时有
lim
𝑎
𝑏 𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 − lim
𝑎
+∞𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
=
lim
𝑏
+∞𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
< 𝜖
称在 𝐼 上逐点收敛或收敛
4.4 一致收敛
若收敛不依赖参数 𝑢, 则称一致收敛, 若
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
在区间 𝐼 的任何有界闭子区间上一致收敛, 则称内闭一致收敛
一致收敛的等价定义:
𝛽(𝑏) = sup
𝑢∈[𝛼,𝛽]
+∞
𝑏
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
则一致收敛的充要条件为
lim
𝑏→+∞
𝛽(𝑏) = 0
4.5 一致收敛的判别法
4.5.1 柯西收敛准则
∀𝜖 > 0, ∃𝐵 = 𝐵(𝜖) > 𝑎, 𝑠.𝑡. 𝑏
1
, 𝑏
2
> 𝐵 时有
𝑏
2
𝑏
1
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
< 𝜖
对所有的 𝑢 ∈ 𝐼 都成立
4.5.2 Weierstrass 判别法
𝑓 (𝑥, 𝑢) 在 [𝑎, +∞) × 𝐼 上连续, 若存在 [𝑎, +∞) 上的连续函数 𝑝(𝑥), 使得对充分大的 𝑥 及 ∀𝑢 ∈ 𝐼, 都有
|
𝑓 (𝑥, 𝑢)
|
≤ 𝑝(𝑥)
且积分
+∞
𝑎
𝑝(𝑥)𝑑𝑥 收敛, 则广义含参变量积分在 𝐼 上一致收敛,𝑝(𝑥) 称为控制函数
4.5.3 Dirichlet 判别法
设 𝑓 (𝑥, 𝑢) 和 𝑔(𝑥, 𝑢) 对每个 𝑢 ∈ 𝐼 在区间 [𝑎, +∞) 的任意有限区间 [𝑎, 𝑏] 上可积, 且
1.
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 关于 𝑏, 𝑢 一致有界 (界不依赖于 𝑢, 𝑏)
2. 𝑔(𝑥, 𝑢) 对于每个 𝑢 ∈ 𝐼 有 𝑥 → +∞ 单调一致趋于零
则
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑔(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
在 𝐼 上一致收敛
4.5.4 Abel 判别法
设 𝑓 (𝑥, 𝑢) 和 𝑔(𝑥, 𝑢) 对每个 𝑢 ∈ 𝐼 在区间 [𝑎, +∞) 的任意有限区间 [𝑎, 𝑏] 上可积, 且
1.
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 在 𝐼 上一致收敛
2. 𝑔(𝑥, 𝑢) 对于每个 𝑢 关于 𝑥 单调且关于 𝑢 一致有界
则
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑔(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
在 𝐼 上一致收敛
4.6 连续性
𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 [𝑎, +∞) × 𝐼 上连续, 且 𝜙(𝑢) 在 𝐼 上内闭一致收敛, 则 𝜙(𝑢) 在 𝐼 上连续, 即 ∀𝑢
0
∈ 𝐼
lim
𝑢→𝑢
0
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 =
+∞
𝑎
lim
𝑢→𝑢
0
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
即极限与积分可交换
4.7 可积性
𝑓 (𝑥, 𝑦) 在 [𝑎, +∞) × [𝛼, 𝛽] 上连续, 且 𝜙(𝑢) 在 [𝛼, 𝛽] 上一致收敛, 则 𝜙(𝑢) 在 [𝛼, 𝛽] 上可积且
𝛽
𝛼
𝜙(𝑢)𝑑𝑢 =
𝛽
𝛼
+∞
𝑎
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑥
𝑑𝑢 =
+∞
𝑎
𝛽
𝛼
𝑓 (𝑥, 𝑢)𝑑𝑢
𝑑𝑥
即可以交换积分顺序
4.8 可微性
若 𝑓 (𝑥, 𝑢) 满足
1. 𝑓 , 𝑓
′
𝑢
在 [𝑎, +∞) × 𝐼 上连续
2. 𝜙(𝑢) 在 𝐼 上收敛
3.
+∞
𝑎
𝑓
′
𝑢
𝑑𝑥 在 𝐼 上内闭一致收敛
则 𝜙(𝑢) 在 𝐼 上可导, 且
𝜙
′
(𝑢) =
+∞
𝑎
𝑓
′
𝑢
𝑑𝑥
即求导与积分可交换
4.9 重要的广义积分
4.9.1 概率积分
+∞
0
𝑒
−𝑥
2
𝑑𝑥 =
√
𝜋
2
4.9.2 Dirichlet 积分
+∞
0
sin 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 =
𝜋
2
引入收敛因子 𝑒
−𝑢𝑥
再令 𝑢 = 0 即证
4.9.3 Laplace 积分
+∞
0
cos 𝛽𝑥
𝛼
2
+
𝑥
2
𝑑𝑥 =
𝜋
2
𝛼
𝑒
−𝛼𝛽
, (𝛼 > 0, 𝑏𝑒𝑡𝑎 ≥ 0)
+∞
0
𝑥 sin 𝛽𝑥
𝛼
2
+ 𝑥
2
𝑑𝑥 =
𝜋
2
𝑒
−𝛼𝛽
, (𝛼 > 0, 𝛽 > 0)
4.9.4 Fresnel 积分
+∞
0
sin 𝑥
2
𝑑𝑥 =
+∞
0
cos 𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
𝜋
2
5 Euler 积分
5.1 Γ 函数
Γ(𝑥) =
+∞
0
𝑡
𝑥−1
𝑒
−𝑡
𝑑𝑡
5.1.1 连续性
Γ(𝑥) 是 (0, +∞) 上的连续函数, 令 𝑡 = 𝑢
2
得到
Γ(𝑥) =
+∞
0
𝑢
2𝑥−1
𝑒
−𝑢
2
𝑑𝑢
5.1.2 可微性
Γ(𝑥)𝑦𝑜𝑢,
Γ
(𝑘)
(𝑥) =
+∞
0
𝑡
𝑥−1
𝑒
−𝑡
(ln 𝑡)
𝑘
𝑑𝑡
5.1.3 递推公式
由分部积分可得
Γ(𝑥 + 1) = 𝑥Γ(𝑥), 𝑥 > 0
由此可以得到
Γ(1) = 1, Γ(
1
2
) = 2
+∞
0
𝑒
−𝑥
2
𝑑𝑥 =
√
𝜋
Γ(𝑛 + 1) = 𝑛!, Γ(𝑛 +
1
2
) =
(2𝑛 − 1)!!
2
𝑛
√
𝜋
5.1.4 余元公式
𝑥 ∈ (0, 1) 时有
Γ(𝑥)Γ (1 − 𝑥) =
𝜋
sin(𝜋𝑥)
5.2 𝐵 函数
𝐵(𝑥, 𝑦) =
1
0
𝑡
𝑥−1
(1 − 𝑡)
𝑦−1
𝐵(𝑥, 𝑦) 在 (0, +∞) × (0, +∞) 上连续, 若令 𝑡 =
1
1 + 𝑧
, 则可化为无穷积分形式
𝐵(𝑥, 𝑦) =
+∞
0
𝑧
𝑦−1
(1 + 𝑧)
𝑥+𝑦
令 𝑡 = sin
2
𝜃 或 𝑡 = cos
2
𝜃, 可以得到
𝐵(𝑥, 𝑦) =
𝜋
2
0
sin
2𝑥−1
𝜃 cos
2𝑦−1
𝜃𝑑𝜃
𝐵(𝑥, 𝑦) =
𝜋
2
0
cos
2𝑥−1
𝜃 sin
2𝑦−1
𝜃𝑑𝜃
5.2.1 Γ 与 𝐵 的关系
𝐵(𝑥, 𝑦) =
Γ(𝑥)Γ (𝑦)
Γ(𝑥 + 𝑦)
, (𝑥, 𝑦 > 0)
特别地有 𝐵 函数的对称性
𝐵(𝑥, 𝑦) = 𝐵(𝑦, 𝑥)
由 Γ 的整数取值得到
𝐵(𝑚, 𝑛) =
(𝑚 − 1)!(𝑛 − 1)!
(𝑚 + 𝑛 − 1)!
, (𝑚, 𝑛 ∈ N)
5.2.2 递推公式
由 Γ 的递推公式可以得到 𝐵 的递推公式
𝐵(𝑥 + 1, 𝑦) =
𝑥
𝑥 + 𝑦
𝐵(𝑥, 𝑦), 𝐵(𝑥, 𝑦 + 1) =
𝑦
𝑥 + 𝑦
𝐵(𝑥, 𝑦), 𝐵(𝑥 + 1, 𝑦 + 1) =
𝑥𝑦
(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦 + 1)
𝐵(𝑥, 𝑦)
5.2.3 Legendre 加倍公式
Γ(2𝑥) =
2
2𝑥−1
√
𝜋
Γ(𝑥)Γ (𝑥 +
1
1
)
由 𝐵(𝑥, 𝑥) 即证
