函数项级数
目录
1 基本概念 3
1.1 收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 一致收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 函数项级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 函数项级数一致收敛的判别法 3
2.1 Cauchy 收敛准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 推论 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 推论 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Weierstrass 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Dirichlet 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Abel 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 一致收敛级数和函数的性质 4
3.1 连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 可积性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 幂级数 5
4.1 Abel 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 收敛半径 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2.1 收敛半径 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2.2 收敛半径的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 幂级数及其和函数性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3.1 内闭一致收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3.2 和函数连续 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3.3 和函数可导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3.4 和函数可积性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3.5 Abel 第二定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Taylor 级数 6
5.1 Taylor 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2 可以泰勒展开的条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
5.3 常见函数 Taylor 展开式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.4 关于阶乘重要公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.4.1 Wallis 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.4.2 Stirling 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 基本概念
1.1 收敛
函数列就是一列定义在区间 𝐼
0
上的函数 {𝑓
𝑛
(𝑥)}
∞
𝑛=1
若对于 𝑥
0
∈ 𝐼
0
, 𝑛 → ∞ 时,{ 𝑓
𝑛
(𝑥
0
)}
∞
𝑛=1
收敛, 称 𝑥
0
为该函数列的收敛点
全体收敛点的集合 𝐼 称为该函数列的收敛域
记 lim
𝑛→∞
𝑓
𝑛
(𝑥) 称为该函数列的极限函数, 称函数列 { 𝑓
𝑛
(𝑥)}
∞
𝑛=1
在 𝐼 中逐点收敛到 𝑓 (𝑥), 记为
lim
𝑛→∞
𝑓
𝑛
(𝑥) = 𝑓 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼
即 𝑥 ∈ 𝐼, 对 ∀𝜖 > 0, ∃𝑁 (𝑥, 𝜖) ∈ 𝑁, 使得 𝑛 > 𝑁 ( 𝑥, 𝜖) 时,
|
𝑓
𝑛
(𝑥) − 𝑓 (𝑥)
|
≤ 𝜖 成立
1.2 一致收敛
若对 ∀𝜖 > 0, ∃𝑁 (𝜖), 𝑠.𝑡. 𝑛 > 𝑁 (𝜖) 时，
|
𝑓
𝑛
(𝑥) − 𝑓 (𝑥)
|
< 𝜖 对于所有 𝑥 ∈ 𝐼 都成立，则称函数列 { 𝑓
𝑛
(𝑥)}
∞
𝑛=1
在 𝐼 中一致收敛于 𝑓 (𝑥)
{𝑓
𝑛
(𝑥)}
∞
𝑛=1
在 𝐼 上一致收敛于 𝑓 (𝑥) 的充要条件是
lim
𝑛→∞
𝛽
𝑛
= 0, 𝛽
𝑛
= sup
𝑥∈𝐼
|
𝑓
𝑛
(𝑥) − 𝑓 (𝑥)
|
如果 {𝑓
𝑛
(𝑥)}
∞
𝑥=1
在 𝐼 的任何有界闭子区间上都一致收敛, 则称 {𝑓
𝑛
(𝑥)}
∞
𝑛=1
在 𝐼 上内闭一致收敛
1.3 函数项级数
设函数项级数
∞
Í
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥) 的通项 𝑢
𝑛
(𝑥) 在数集 𝐼
0
中有定义, 则其部分和函数列 {𝑆
𝑛
(𝑥) =
𝑛
Í
𝑘=1
𝑢
𝑘
(𝑥)}
∞
𝑛=1
在 𝐼
0
中也有定义
1. 称部分和函数列的收敛域和极限函数分别是函数项级数的收敛域于和函数
2. 定义函数项级数的收敛类型与和函数相同
3. 函数项级数在 𝐼 中一致收敛的充要条件为余和函数列 𝑟
𝑛
(𝑥) = 𝑆(𝑥) − 𝑆
𝑛
(𝑥) 在 𝐼 中一致趋于零
4. 函数项级数在 𝐼 = 𝐼
1
∪ 𝐼
2
中有定义当且仅当在 𝐼
𝑘
中都一致收敛
2 函数项级数一致收敛的判别法
2.1 Cauchy 收敛准则
∞
Í
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥) 在 𝐼 中一致收敛当且仅当 ∀𝜖 > 0, ∃𝑁 (𝜖) ∈ N
∗
使得 𝑛 > 𝑁 (𝜖) 时
𝑆
𝑛+𝑝
(𝑥) − 𝑆
𝑛
(𝑥)
=
𝑛+𝑝
Õ
𝑘=𝑛+1
𝑢
𝑘
(𝑥) < 𝜖
对所有的正整数 𝑝 和每个 𝑥 ∈ 𝐼 都成立
2.1.1 推论 1
若
∞
Í
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥) 在 𝐼 中一致收敛, 则其通项 𝑢
𝑛
(𝑥) 在 𝐼 中一致趋于零
2.1.2 推论 2
∞
Í
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥) 在 (𝑎, 𝑏) 内收敛,𝑢
𝑛
(𝑥) 在右端点 𝑥 = 𝑏 处左连续, 且
∞
Í
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑏) 发散, 则
∞
Í
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥) 在区间 (𝑎, 𝑏) 内
非一致收敛
2.2 Weierstrass 判别法
若正项级数
∞
Í
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥) 收敛, 在 𝐼 上恒有
|
𝑢
𝑛
(𝑥)
|
≤ 𝑎
𝑛
, 则函数项级数
∞
Í
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥) 在 𝐼 上一致收敛
2.3 Dirichlet 判别法
1.
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
(𝑥) 的部分和数列 {𝑆
𝑛
(𝑥)}
∞
𝑛=1
在 𝐼 上一致有界
2. {𝑏
𝑛
(𝑥)}
∞
𝑛=1
对每个 𝑥 ∈ 𝐼 都单调, 且在 𝐼 上一直趋于零
则函数项级数
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
(𝑥)𝑏
𝑛
(𝑥) 在 𝐼 上一致收敛
2.4 Abel 判别法
1.
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
(𝑥) 在 𝐼 上一致收敛
2. {𝑏
𝑛
(𝑥)}
∞
𝑛=1
对于每个 𝑥 ∈ 𝐼 单调, 且在 𝐼 上一致有界
则函数项级数
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
(𝑥)𝑏
𝑛
(𝑥) 在 𝐼 上一致收敛
3 一致收敛级数和函数的性质
3.1 连续性
若
∞
Í
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥) 在 𝐼 中一致收敛于 𝑆(𝑥), 且通项在 𝐼 上连续, 则 𝑆(𝑥) 也连续
lim
𝑥→𝑥
0
𝑆(𝑥) = lim
𝑥→𝑥
0
∞
Õ
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥)
!
=
∞
Õ
𝑛=1
lim
𝑥→𝑥
0
𝑢
𝑛
(𝑥)
= 𝑆(𝑥
0
)
即可以逐项求极限, 内闭一致收敛则开区间连续, 逆不成立
对于开区间上的一致收敛, 若通项在端点处极限存在, 那么在端点处也可以交换求和与极限
3.2 可积性
若
∞
Í
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥) 在 [𝑎, 𝑏] 一致收敛于 𝑆(𝑥), 且通项连续, 则
∫
𝑏
𝑎
𝑆(𝑥)𝑑𝑥 =
∫
𝑏
𝑎
∞
Õ
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥)
!
𝑑𝑥 =
∞
Õ
𝑛=1
∫
𝑏
𝑎
𝑢
𝑛
(𝑥)𝑑𝑥
即求和与积分可以交换顺序
3.3 可微性
∞
Í
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥) 在 [𝑎, 𝑏] 上收敛于 𝑆(𝑥),𝑢
𝑛
(𝑥) ∈ 𝐶
1
, 且
∞
Í
𝑛=1
𝑢
′
𝑛
(𝑥) 在 [𝑎, 𝑏] 上一致收敛, 则 𝑆(𝑥) 在 [𝑎, 𝑏] 上有连
续的微商
𝑆
′
(𝑥) =
"
∞
Õ
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥)
#
′
=
∞
Õ
𝑛=1
𝑢
′
𝑛
(𝑥)
即求导和求和能交换顺序
若 𝑢
𝑛
(𝑥) ∈ 𝐶
∞
, 且各阶导函数级数
∞
Í
𝑛=1
𝑢
(𝑘)
𝑛
(𝑥) 在 𝐼 中皆内闭一致收敛, 那么 𝑆(𝑥) ∈ 𝐶
∞
𝑆
(𝑘)
(𝑥) =
∞
Õ
𝑛=1
𝑢
𝑛
(𝑥)
!
(𝑘)
=
∞
Õ
𝑛=1
𝑢
(𝑘)
𝑛
(𝑥)
4 幂级数
4.1 Abel 定理
若幂级数
∞
Í
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
在 𝑥
1
≠ 0 处收敛, 则在 (−
|
(
|
𝑥
1
),
|
(
|
𝑥
1
)) 内绝对收敛; 若在 𝑥
2
发散, 则在所有
|
𝑥
|
>
|
𝑥
2
|
的 𝑥 处发散
4.2 收敛半径
4.2.1 收敛半径
若幂级数有非零的收敛点和发散点, 则存在 𝑅 > 0 使得幂级数在 (−𝑅, 𝑅) 内绝对收敛,
|
𝑥
|
> 𝑅 时幂级数发
散. 称 𝑅 为幂级数的收敛半径,(−𝑅, 𝑅) 为幂级数的收敛区间. 幂级数的收敛域可能比收敛区间多一个或者
两个端点
4.2.2 收敛半径的计算
设从某项起
∞
Í
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
所有系数 𝑎
𝑛
≠ 0, 若有 lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛+1
𝑎
𝑛
= 𝐿 或
𝑛
p
|
𝑎
𝑛
|
, 则
1. 𝐿 有限且 𝐿 > 0,𝑅 =
1
𝐿
2. 𝐿 = 0,𝑅 = +∞
3. 𝐿 = +∞,𝑅 = 0
4.3 幂级数及其和函数性质
4.3.1 内闭一致收敛
∞
Í
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
收敛半径为 𝑅, 则在 (−𝑅, 𝑅) 内闭一致收敛
4.3.2 和函数连续
𝑆(𝑥) 在 (−𝑅, 𝑅) 内连续, 即 ∀𝑥
0
∈ (−𝑅, 𝑅) 有
lim
𝑥→𝑥
0
𝑆(𝑥) = lim
𝑥→𝑥
0
∞
Õ
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
=
∞
Õ
𝑛=0
lim
𝑥→𝑥
0
𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
=
∞
Õ
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
0
= 𝑆(𝑥
0
)
4.3.3 和函数可导
𝑆(𝑥) 在 (−𝑅, 𝑅) 可导, 且可逐项求导,𝑥 ∈ (−𝑅, 𝑅) 时
𝑆
′
(𝑥) =
∞
Õ
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
!
′
=
∞
Õ
𝑛=0
(𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
)
′
=
∞
Õ
𝑛=1
𝑛𝑎
𝑛
𝑥
𝑛−1
逐项求导后的幂级数收敛半径不变
4.3.4 和函数可积性
𝑆(𝑥) 在 (−𝑅, 𝑅) 上可以逐项积分
∫
𝑥
0
𝑆(𝑡)𝑑𝑡 =
∫
𝑥
0
∞
Õ
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑡
𝑛
!
𝑑𝑡 =
∞
Õ
𝑛=0
∫
𝑥
0
𝑎
𝑛
𝑡
𝑛
𝑑𝑡 =
∞
Õ
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑛 + 1
𝑥
𝑛+1
逐项积分后的幂级数收敛半径不变
4.3.5 Abel 第二定理
∞
Í
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
收敛半径 𝑅 > 0, 若级数在 𝑥 = 𝑅 收敛, 则 𝑆(𝑥) 在 𝑥 = 𝑅 连续,−𝑅 同理
5 Taylor 级数
5.1 Taylor 级数
若 𝑓 (𝑥) 在 𝑥
0
处有任意阶微商, 则可以构造幂级数
∞
Õ
𝑛=0
𝑓
(𝑛)
(𝑥
0
)
𝑛!
(𝑥 − 𝑥
0
)
𝑛
称之为 𝑓 (𝑥) 在 𝑥
0
的泰勒级数,𝑥
0
= 0 时称为马克劳林级数, 记作
𝑓 (𝑥) ∼
∞
Õ
𝑛=0
𝑓
(0)
(𝑥
0
)
𝑛!
(𝑥 − 𝑥
0
)
𝑛
当泰勒级数收敛到自身称其为泰勒展开,𝑥
0
= 0 时为马克劳林展开式
5.2 可以泰勒展开的条件
设 𝑓 (𝑥) 在 𝐽 = (𝑥
0
− 𝑅, 𝑥
0
+ 𝑅) 任意阶可导, 则可以泰勒展开的充要条件为 ∀𝑥
lim
𝑛→∞
𝑅
𝑛
(𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑓
𝑛+1
(𝜉)
(𝑛 + 1)!
(𝑥 − 𝑥
0
)
𝑛+1
= 0
若 𝑓 (𝑥) 各阶微商在 𝐽 任何闭区间一致有界, 则 𝑓 (𝑥) 在 𝐽 内可以泰勒展开
5.3 常见函数 Taylor 展开式
略
5.4 关于阶乘重要公式
5.4.1 Wallis 公式
lim
𝑛→∞
1
𝑛
(2𝑛)!!
(2𝑛 − 1)!!
2
= 𝜋,
(2𝑛)!!
(2𝑛 − 1)!!
∼
√
𝜋𝑛 (𝑛 → ∞)
5.4.2 Stirling 公式
∀𝑛 ∈ N
∗
, ∃𝜃
𝑛
, 𝑡
𝑛
∈ (0, 1) 使得
𝑛! =
√
2𝜋𝑛
𝑛
𝑒
𝑛
𝑒
𝜃
𝑛
12𝑛
, 𝑛! =
√
2𝜋𝑛
𝑛
𝑒
𝑛
𝑒
1
12𝑛
−
𝑡
𝑛
360𝑛
3
令 𝑛 → ∞ 得到
𝑛! ∼
√
2𝜋𝑛
𝑛
𝑒
𝑛
,
𝑛
√
𝑛! ∼
𝑛
𝑒
, ln(𝑛!) ∼ 𝑛 ln 𝑛
