单变量函数的微分学
导数
定义
在 内有定义，若 存在且有限，则称 在 点处可导，该极限值称为导数，记作
或
等价定义：（1）
）
（2）左右极限存在有限且相等
注：可导具有逐点性；
求导是一种分析运算，计算前应先确认该函数可导
导数是"局部放大率"
可导与连续的关系
可导必连续
(最后一个等式两式极限都存在，可运用极限四则运算法则打开）
连续不一定可导
考虑 ,在 处,该函数连续，但该函数左右极限不相等，导数不存在
导数的运算
四则运算
。
。
。
复合求导链式法则
写成微商形式更易理解
条件 在该点均可导
反函数求导法则
若存在反函数，其反函数记为
有
写成微商就是
例：求反三角函数 的导函数
参数方程表示的函数求导法则
常用函数的导数
1.
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微分中值定理
极值点定义：在 的去心领域内，有 则称 为极小(大)值
或
（极值点与该点是否可导，甚至是否连续均无关）
Fermat 定理
是可导的极值点，则
证明：不妨取极小值，我们有 和
又由于可导 左导数=右导数=0=导数
Rolle中值定理
在 中可导，且 则
证明：闭区间内存在最大值和最小值，两端相等仅能为最大/小值，
区间内有最值 区间内有极值 + Fermat定理，证毕
注1.仅存在性
注2.关注条件：闭区间连续，开区间可导
拉格朗日中值定理
在 中可导，
证明: (减去端点弦) 由Rolle中值定理， 代入化简即
得证
其他表示形式：
1.
2.
令
3.
4.
导函数与函数的桥梁
柯西中值定理
在 内可导，且 则
证明：构造
几何理解：
未定式的极限
Th: L'Hopital法则
设 和 满足以下条件:
1. 在 的去心邻域内可导,
2.
3.
则 (有限或无穷)
证明:
令 在 邻域内连续
由Cauchy中值定理, 在 与 之间,
当 时,
若 ,令 ,则
Th: L'Hopital法则
设 和 满足以下条件:
1. 在 的去心邻域内可导,
2.
3.
则 (有限或无穷)
证明:取 单调递增趋于 则
在 的去心邻域内 在 的去心邻域内单调
注
1. 对其他的极限过程如 以上两个定理也成立
2. 如果不知道 是否存在,不能用洛必达法则
3. 只要满足条件,洛必达法则可以反复使用
4. 洛必达法则可以看作是Stloz定理的推广
例
1.
2.
3.
其他类型未定式的极限
1. 可以转化成 型
2. 可以取对数转化成 型
Taylor公式
Taylor公式
若 在 阶可导， 为 在 点 阶泰勒公式
的余项
证: 若 在 可微,则
令 则有
一般地.若 阶可导,
要求
带Peano余项的Taylor公式(局部泰勒公式)
证明:
带Lagrange型余项的Taylor公式
证:
推论:
1. 在区间 上 阶导有界,即
2. 在 有 阶导,则 是 的 重零点的充分必要条件是存在一个函数 使得
Maclaurin公式
在Taylor公式中令 即得
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Taylor展开
1. 直接法:直接计算 处各阶导数,并代入相应的泰勒公式
2. 间接法:对所求函数作相应的初等变形,利用已知的基本初等函数的泰勒公式,写出所求的泰勒公式
3. 待定系数法
例: 求函数 在 时的泰勒公式
例: 写出函数 的带Peano型余项的四阶麦克劳林公式,并计算
例: 写出函数 的带Peano型余项的三阶麦克劳林公式
法一
法二
设
则
解之即可得答案
Taylor展开应用
例:
原式
例: 证明 是无理数
假设
时,
取 且
等式左边是整数,而 矛盾 是无理数
例: 计算
原式
例: 设 是自然数,求极限
原式
例:
原式
例:
原式
例:
原式
例: 设 在点 处二阶可导,且 ,求 的带Peano余项的二阶麦克劳林公式
原式
\
例: 当 时,证明
例: 设函数 在 内具有一阶导数,且 存在, ,试证:
在 内连续,且具有一阶导数
连续
时 连续
例: 设函数 在 上有二阶连续导数, ,且
1. 证明数列 收敛并求极限
严格调递减,收敛,设 下确界
且
2. 求
原式
单调递增趋于 , 原式