1 复数列极限
设 𝑧
1
, 𝑧
2
, ..., 𝑧
𝑛
, ... 是一个有序复数列,𝑧
0
是一个给定复数, 若有
lim
𝑛→+∞
|
𝑧
𝑛
− 𝑧
0
|
= 0
则称 𝑧
0
是复数列 {𝑧
𝑛
} 的极限, 记作
lim
𝑛→+∞
𝑧
𝑛
= 𝑧
0
对于复数的一般形式, 有如下定理: 设 𝑧
0
= 𝑥
0
+ 𝑖𝑦
0
, 𝑧
𝑛
= 𝑥
𝑛
+ 𝑖𝑦
𝑛
, 则
lim
𝑛→+∞
𝑧
𝑛
= 𝑧
0
⇔ lim
𝑛→+∞
𝑥
𝑛
= 𝑥
0
和 lim
𝑛→+∞
𝑦
𝑛
= 𝑦
0
同时成立
对于指数形式有:𝑧
0
= 𝑟
0
𝑒
𝑖 𝜑
0
≠ 0, 𝑧
𝑛
= 𝑟
𝑛
𝑒
𝑖 𝜑
𝑛
, 则
lim
𝑛→+∞
𝑧
𝑛
= 𝑧
0
⇔ lim
𝑛→+∞
𝑟
𝑛
= 𝑟
0
与 lim
𝑛→+∞
arg 𝑧
𝑛
= arg 𝑧
0
同时成立
2 复平面与复球面
取一个与复平面相切于原点 𝑧 = 0 的单位球面 (半径为 1 ), 球面上一点 𝑆 与原点重合. 通过 𝑆 作垂直于
复平面的直线于球面相交于另一点 𝑁, 称 𝑁 为北极,𝑆 为南极. 复平面上任一点 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 与 𝑁 的连线于
球面交于一点, 记为 𝑍 则 𝑧 与 𝑍 一一对应. 球面上的北极 𝑁 不能对应复平面上的定点, 但球面上的点 𝑍
离北极 𝑁 越近, 则复平面上与它对应的复数 𝑧 的模越大
约定在复平面引进一个理想点, 称为” 无穷远点”, 使它与球面上的北极 𝑁 相对应, 记为 ∞
扩充复平面即增加了无穷远点的复平面, 也可称为闭复平面; 不包含无穷远点的复平面称为开复平面, 简
称复平面. 与扩充复平面对应的整个球面称为复数球面或黎曼球面
3 平面点集
与数学分析 B2-多变量函数的微分学中的平面点集相同, 略
