1 复数的定义
引进虚数单位 𝑖
𝑖
√
−1, 𝑖
2
= −1
𝑖 能和任意实数进行运算, 服从实数的基本运算法则
定义任意由有序实数对 (𝑥, 𝑦) 确定的数
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
为复数,𝑥 为 𝑧 的实部, 记作 𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧),𝑦 为 𝑧 的虚部, 记作 𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧). 当 𝐼𝑚(𝑧) = 0 时,𝑧 为实数, 当
𝑅𝑒(𝑧) = 0, 𝐼𝑚(𝑧) ≠ 0 时,𝑧 为纯虚数
可以用复数的运算表示出实部与虚部
𝑥 =
𝑧 + 𝑧
2
, 𝑦 =
𝑧 − 𝑧
2𝑖
由此可以用复数表示平面曲线
𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝐹
𝑧 + 𝑧
2
,
𝑧 − 𝑧
2𝑖
= 0
2 复数的运算法则
加法交换律
𝑧
1
+ 𝑧
2
= 𝑧
2
+ 𝑧
1
加法结合律
𝑧
1
+ (𝑧
2
+ 𝑧
3
) = (𝑧
1
+ 𝑧
2
) + 𝑧
3
乘法结合律
𝑧
1
(𝑧
2
𝑧
3
) = (𝑧
1
𝑧
2
)𝑧
3
乘法分配律
𝑧
1
(𝑧
2
+ 𝑧
3
) = 𝑧
1
𝑧
2
+ 𝑧
1
𝑧
3
复数不能比较大小
𝑧
1
𝑧
2
= 0 ⇔ 𝑧
1
= 0或𝑧
2
= 0
3 共轭复数
若𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦则(𝑧) = 𝑥 − 𝑖𝑦
运算性质
1. 𝑧 = 𝑧
2. 𝑧
1
+ 𝑧
2
= 𝑧
1
+ 𝑧
2
3. 𝑧
1
𝑧
2
= 𝑧
1
𝑧
2
, 𝑧
𝑛
=
𝑧
1
𝑧
2
=
𝑧
1
𝑧
2
还可以用共轭复数表示实部与虚部
𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧) =
𝑧 + 𝑧
2
, 𝑦 = 𝐼𝑚 (𝑧) =
𝑧 − 𝑧
2𝑖
复数的模长也可以用共轭复数表示
|
𝑧
|
=
|
𝑧
|
, 𝑧𝑧 =
|
𝑧
|
2
利用共轭复数的运算法则, 对整个多项式取共轭可以得到
实系数多项式方程的复数根成对存在
4 复数常用不等式
三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边
||
𝑧
1
|
−
|
𝑧
2
||
≤
|
𝑧
1
± 𝑧
2
|
≤
|
𝑧
1
|
+
|
𝑧
2
|
平方即可证明
5 复数的三角表示
对于复数
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
可以写为
𝑧 = 𝑟 (cos(𝜃) + 𝑖 sin(𝜃))
其中
𝑟 =
|
𝑧
|
, 𝜃 = arctan
𝑦
𝑥
(+𝜋)
𝜃 为辐角, 对于一个复数而言, 辐角有无数个, 它们相差 2𝑘 𝜋 的整数倍. 将位于区间 (−𝜋, 𝜋] 的辐角称为辐
角主值, 记为
arg 𝑧
辐角与辐角主值满足
𝐴𝑟𝑔 𝑧
=
arg
𝑧
+
2
𝑘𝜋
辐角可以认为是复数在复平面的矢量与 𝑥 轴的夹角
6 复数的指数表示
有 Euler 公式
𝑒
𝑖 𝜃
= cos 𝜃 +𝑖 sin 𝜃
那么就可以将复数写为指数形式
𝑧
=
𝑟
(
cos
𝜃
+
𝑖
sin
𝜃
)
=
𝑟𝑒
𝑖 𝜃
7 复数运算的几何意义
7.1 加法与减法
在复平面上考察复数运算的几何意义. 对于加法与减法, 复数的运算与向量运算的几何意义一致, 遵循平
行四边形法则与三角形法则
若把复数视为复平面上的点, 则还可以用
|
𝑧
1
− 𝑧
2
|
表示 𝑧
1
与 𝑧
2
之间的距离. 由此可以在复平面上表示出一些图形. 如
1. 𝐶 = {𝑧
|
𝑧 − 𝑧
0
|
= 𝜌} 表示以 𝑧
0
为中心,𝜌 为半径的圆周
2. 𝐶
=
{
𝑧
|
𝑧
−
𝑧
0
|
< 𝜌
}
表示以
𝑧
0
为中心
,
𝜌
为半径的圆的内部
3. 𝐶 = {𝑧
|
𝑧 − 𝑧
0
|
> 𝜌} 表示以 𝑧
0
为中心,𝜌 为半径的圆的外部
7.2 乘法与除法
由指数形式可以很方便地得到复数相乘与相除
𝑧
1
= 𝑟
1
𝑒
𝑖 𝜑
1
, 𝑧
2
= 𝑟
2
𝑒
𝑖 𝜑
2
则有
𝑧
1
· 𝑧
2
= 𝑟
1
𝑟
2
𝑒
𝑖 (𝜑
1
+𝜑
2
)
反映到几何上即为” 模相乘角相加”
对于除法
𝑧
1
𝑧
2
=
𝑟
1
𝑟
2
𝑒
𝑖 (𝜑
1
−𝜑
2
)
几何上为” 模相除角相减”
由此可以得到棣莫弗定理
𝑧
𝑛
1
= 𝑟
𝑛
1
𝑒
𝑖𝑛 𝜑
= 𝑟
𝑛
1
(cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin 𝑛𝜑)
需要注意的是, 只有当 𝑛 为整数时上式成立
同样的, 该定理逆用可以用于开方
