复变函数的积分
目录
1 复变函数的积分 3
1.1 积分的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 参数法积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 积分的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 积分的常用结论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 常用参数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2 圆周上的积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.3 小圆弧引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.4 大圆弧引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.5 Jordan 引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 积分的估算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 柯西积分定理 6
2.1 复闭路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 原函数 8
4 柯西积分公式 9
4.1 柯西积分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 高阶导数的柯西积分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 无界区域柯西积分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
5 解析函数的性质 12
5.1 平均值公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 最大模原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3 解析函数导数模的估算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.3.1 柯西不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.4 刘维尔定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.5 代数学基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 复变函数的积分
1.1 积分的定义
分割-近似-求和-取极限
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 ≡ lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑘=1
𝑓 (𝜁
𝑘
)Δ𝑧
𝑘
1.2 参数法积分
设 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 , 𝑓 (𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣 在 𝐶 上连续, 则可以证明 𝑓 (𝑧) 在 𝐶 上可积且有
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =
𝐶
𝑢𝑑𝑥 − 𝑣𝑑𝑦 + 𝑖
𝐶
𝑣𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑦
可以形式地记为
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =
𝐶
(𝑢 + 𝑖𝑣)(𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦)
如果有 𝑧(𝑡) = 𝑧(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, 那么
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑧(𝑡))
[
𝑥
′
(𝑡) + 𝑖𝑦
′
(𝑡)
]
𝑑𝑡 =
𝑏
𝑎
𝑓 (𝑧(𝑡))𝑧
′
(𝑡)𝑑𝑡
得到了参数法积分
1.3 积分的性质
常数可以提出积分号
𝐶
𝑘 𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑘
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧
被积函数的线性可加性
𝐶
[
𝑓 (𝑧) + 𝑔(𝑧)
]
𝑑𝑧 =
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +
𝐶
𝑔(𝑧)𝑑𝑧
积分的方向性 (雾)
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = −
𝐶
−
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧
积分路径的可加性
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =
𝐶
1
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +
𝐶
2
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 + · · ·
1.4 积分的常用结论
1.4.1 常用参数法
对于直线, 可以设
𝑧 = (𝑏 − 𝑎)𝑡 + 𝑎
其中 𝑎, 𝑏 分别为起点和终点
对于圆, 可以设参数为 𝜃
𝑧 = 𝑂 + 𝑟𝑒
𝑖 𝜃
其中 𝑂 为复平面上为圆心的复数,𝑟 为半径
1.4.2 圆周上的积分
设 𝐶 为以 𝑎 为圆心,𝑅 > 0 为半径的圆周, 以逆时针方向为正向, 则
𝐶
1
(𝑧 − 𝑎)
𝑛
𝑑𝑧 =
2𝜋𝑖 , 𝑛 = 1
0 , 𝑛 ≠ 𝑖且𝑛 ∈ Z
欲得到此式只需要令 𝑧 = 𝑎 + 𝑅𝑒
𝑖 𝜃
利用参数积分法
𝐶
1
(𝑧 − 𝑎)
𝑛
𝑑𝑧 =
2 𝜋
0
𝑧
′
(𝜃)
(
𝑧 − 𝑎
)
𝑛
𝑑𝜃 =
2 𝜋
0
𝑅𝑖𝑒
𝑖 𝜃
(𝑅𝑒
𝑖 𝜃
)
𝑛
𝑑𝜃
即证
1.4.3 小圆弧引理
设 𝜌 > 0 充分小, 𝑓 (𝑧) 在 𝐶
𝜌
: 𝑧 = 𝑎 + 𝜌𝑒
𝑖 𝜃
, 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 上连续, 且有
lim
𝑧→𝑎
(𝑧 − 𝑎) 𝑓 (𝑧) = 𝑘
则有
lim
𝜌→0
𝐶
𝜌
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑖(𝛽 − 𝛼)𝑘
采取先猜后证的方式. 只需要证明
𝐶
𝜌
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 − 𝑖( 𝛽 − 𝛼)𝑘
= 0
即可. 利用上面的结论将后一项写成积分的形式再合并
𝐶
𝜌
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 − 𝑖( 𝛽 − 𝛼)𝑘
=
𝐶
𝜌
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 − 𝑘
𝐶
𝜌
1
𝑧 − 𝑎
𝑑𝑧
=
𝐶
𝜌
(𝑧 − 𝑎) 𝑓 (𝑧) − 𝑘
𝑧 − 𝑎
𝑑𝑧
由极限条件可以得到 ∀𝜖 > 0 , ∃𝛿 > 0 , 当 𝜌 =
|
𝑧 − 𝑎
|
< 𝛿 时, 有
(𝑧 − 𝑎) 𝑓 (𝑧) − 𝑘 ≤
𝜖
𝛽 − 𝛼
而
|
𝑧 − 𝑎
|
= 𝜌 因此
(𝑧 − 𝑎) 𝑓 (𝑧) − 𝑘
𝑧 − 𝑎
≤
𝜖
𝜌( 𝛽 − 𝛼)
又有 𝐶
𝜌
的长度为 𝜌(𝛽 − 𝛼), 因此
𝑅𝐻𝑆 ≤
𝜖
𝜌( 𝛽 − 𝛼)
· 𝜌(𝛽 − 𝛼) = 𝜖
即证
1.4.4 大圆弧引理
设 𝜌 > 0 充分大, 𝑓 (𝑧) 在 𝐶
𝜌
: 𝑧 = 𝑎 + 𝜌𝑒
𝑖 𝜃
, 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 上连续, 且有
lim
𝑧→∞
(𝑧 − 𝑎) 𝑓 (𝑧) = 𝑘
则有
lim
𝜌→+∞
𝐶
𝜌
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑖(𝛽 − 𝛼)𝑘
由于
𝑑𝑧 = 𝑖𝜌𝑒
− 𝜃
𝑑𝜃 = 𝑖(𝑧 − 𝑧
0
)𝑑𝜃
那么
𝐶
𝜌
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑖
𝛽
𝛼
(𝑧 − 𝑧
0
) 𝑓 (𝑧)𝑑𝜃
令 𝜌 → +∞, 得到
𝐶
𝜌
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑖
𝛽
𝛼
𝐴𝑑𝜃 = 𝑖( 𝛽 − 𝛼) 𝐴
就完成了证明
1.4.5 Jordan 引理
设有上半平面上的半圆弧 𝐿 : 𝑧 = 𝜌𝑒
𝑖 𝜃
, 𝑓 (𝑧) 满足在 𝐿 上连续, 并且有极限
lim
𝑧→
∞
,𝐼 𝑚𝑧 ≥0
𝑓 (𝑧) = 0
则 ∀𝜆 > 0 都有
lim
𝜌→+∞
𝐿
𝑓 (𝑧)𝑒
𝜆𝑖𝑧
𝑑𝑧 = 0
取 𝐿 : 𝑧 = 𝜌𝑒
𝑖 𝜃
, 𝜃 ∈ [0, 𝜃
0
], 那么
𝑑𝑧 = 𝑖𝜌𝑒
𝑖 𝜃
𝑑𝜃 = 𝑖𝑧𝑑𝜃
又有
𝑧𝑒
𝜆𝑖𝑧
= 𝜌𝑒
𝑖 (𝜆 cos 𝜃+𝜃 )
𝑒
−𝜆𝜌 sin 𝜃
两边取模得到
𝑧𝑒
𝜆𝑖𝑧
= 𝑒
−𝜆𝜌 sin 𝜃
由于 𝜃 ∈ (0, 𝜋], 那么 sin 𝜃 > 0, 那么取极限就有
lim
𝜌→+∞
𝜌𝑒
−𝜆𝜌 sin 𝜃
= 0
因而
lim
𝜌→+∞
𝐿
𝑓 (𝑧)𝑒
𝜆𝑖𝑧
𝑑𝑧 = lim
𝜌→+∞
𝑖
𝜃
0
0
𝑓 (𝑧)𝑧𝑒
𝜆𝑖𝑧
𝑑𝜃 = 𝑖
𝜃
0
0
lim
𝜌→+∞
𝑓 (𝑧)𝑧𝑒
𝜆𝑖𝑧
= 0
1.5 积分的估算
在积分的定义中取模即可得到不等式
𝐶
𝑓
(
𝑧
)
𝑑𝑧
≤
𝐶
|
𝑓 (𝑧)
|
𝑑𝑠
≡
𝐶
|
𝑓 (𝑧)
| |
𝑑𝑧
|
≡
𝑏
𝑎
|
𝑓 (𝑧)
| |
𝑧
′
|
𝑑𝑡
若有 𝑓 (𝑧) 在 𝐶 上的模的最大值 𝐴, 那么就得到了长大不等式 (好奇怪的名字)
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧
≤ 𝐴𝐿
其中 𝐿 为 𝐶 的长度
2 柯西积分定理
设 𝐷 是由简单闭曲线 𝐶 围成的单连通区域, 𝑓 (𝑧) 在闭域 𝐷 = 𝐷 + 𝐶 上解析, 则
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0
也可以记为
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0
证明只需要将其展开
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =
𝐶
(𝑢 + 𝑖𝑣)(𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦) =
𝑐
𝑢𝑑𝑥 − 𝑣𝑑𝑦 + 𝑖
𝐶
𝑣𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑦
对实部和虚部分别使用改进型 Green 公式, 即
单连通区域 𝐷 由分段光滑曲线 𝐿(逆时针方向) 围成 𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑄(𝑥, 𝑦) 在 𝐷 上有偏导数
𝜕𝑃
𝜕𝑦
,
𝜕𝑄
𝜕𝑥
, 并
且
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
在 𝐷 上连续, 则
𝐿
𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 =
𝐷
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
然后利用柯西黎曼方程分别证明实部虚部等于零即可. 需要注意的是 𝑓 (𝑧) 必须在 𝐷 中解析而不能有奇
点
推论 1
设 𝑓 (𝑧) 在单连通区域 𝐷 内解析,𝐶 是 𝐷 内任意封闭曲线 (可以自交), 则有
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0
只需将 𝐶 切成若干个简单闭曲线即可
推论 2
设 𝑓 (𝑧) 在单连通区域 𝐷 内解析,𝐿 是 𝐷 内任一条起于 𝑧
0
终于 𝑧 的简单曲线, 则积分
𝐿
𝑓 (𝜁)𝑑𝜁
值不依赖于路径 𝐿
起点
𝑧
0
和终点
𝑧
确定
,
记作
𝑧
𝑧
0
𝑓 (𝜁)𝑑𝜁
只需要有连接 𝑧
0
与 𝑧 的曲线, 连接起来构成一条闭曲线即证
2.1 复闭路
设 𝐶
0
, 𝐶
1
, · · · , 𝐶
𝑛
为 (𝑛 + 1) 条简单闭曲线, 满足
1. 𝐶
1
, 𝐶
2
. . . 都在 𝐶
0
的内部
2. 𝐶
1
, 𝐶
2
. . . 中每一条都在其余各条的外部
则 𝐶
0
, 𝐶
1
, ..., 𝐶
𝑛
围成了一个多联通区域 𝐷. 由 𝐶
0
, 𝐶
1
, . . . , 𝐶
𝑛
构成的多联通区域 𝐷 的全部边界称为一个
复闭路
规定复闭路正向:𝐷 的内部总在正向的左边; 则外边界 𝐶
0
的正向为逆时针, 内边界为顺时针, 记为 𝐶
−
1
, 𝐶
−
2
. . .
记复闭路(负号是因为需要的区域在内部闭曲线的外侧)
𝐶 = 𝐶
0
+ 𝐶
−
1
+ 𝐶
−
2
+ · · · 𝐶
−
𝑛
设 𝑓 (𝑧) 在复闭路 𝐶 = 𝐶
0
+ 𝐶
−
1
+ 𝐶
−
2
+ · · · 𝐶
−
𝑛
及其围成的多联通区域 𝐷 内解析, 即 𝑓 (𝑧) 在 𝐷 上解
析, 则
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0
则
𝐶
0
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +
𝐶
−
1
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 + · · · +
𝐶
−
𝑛
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0
也就是
𝐶
0
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =
𝐶
1
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 + · · · +
𝐶
𝑛
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0
注意此处均取正向为逆时针方向
证明只需要将 𝐶
0
与 𝐶
1
连接,𝐶
1
与 𝐶
2
连接,𝐶
2
与 𝐶
2
连接…𝐶
𝑛
与 𝐶
0
连接, 整个区域就变成了两个单连
通区域, 在两个区域上积分分别为零; 将积分相加, 中间连线部分抵消, 即证
于是柯西积分定理可以用于多联通区域
3 原函数
若 𝐹
′
(𝑧) = 𝑓 (𝑧) 处处成立, 则称 𝐹 (𝑧) 为 𝑓 (𝑧) 在区域 𝐷 内的一个原函数
若 𝑓 (𝑧) 在单连通区域 𝐷 内解析, 则 ∀𝑧
0
∈ 𝐷, 变上限积分函数
𝐹 (𝑧) ≡
𝑧
𝑧
0
𝑓 (𝜁)𝑑𝜁
是 𝐷 内的单值解析函数, 有
𝐹
′
(𝑧) = 𝑓 (𝑧)
即 𝐹 (𝑧) 是 𝑓 (𝑧) 在 𝐷 内的原函数; 其中积分路径可以是 𝐷 内任一条 𝑧
0
到 𝑧 的简单曲线
需要注意的是,若 𝐷 为多联通区域,𝐹(𝑧) 是多值的
由不依赖积分路径, 可知 𝐹 (𝑧) 是单值函数; 只需证
∀𝑧 ∈ 𝐷, lim
Δ𝑧→0
𝐹 (𝑧 + Δ𝑧) − 𝐹 (𝑧)
Δ 𝑧
= 𝑓 (𝑧)
以 𝑧 为圆心取一个完全在 𝐷 内的小圆
𝐹 (𝑧 + Δ𝑧) − 𝐹 (𝑧)
Δ 𝑧
=
1
Δ 𝑧
𝑧+Δ𝑧
𝑧
0
𝑑(𝜁)𝑑𝜁 −
𝑧
𝑧
0
𝑓 (𝜁)𝑑𝜁
=
1
Δ 𝑧
𝑧+Δ𝑧
𝑧
𝑓 (𝜁)𝑑𝜁
由于 𝑓 (𝑧) 解析, 积分与路径无关, 因此取直线段为积分路径. 显然有
1
Δ 𝑧
𝑧+Δ𝑧
𝑧
𝑑𝜁 = 1
那么
𝐹 (𝑧 + Δ𝑧) − 𝐹 (𝑧)
Δ 𝑧
− 𝑓 (𝑧) =
1
Δ 𝑧
𝑧+Δ𝑧
𝑧
𝑓 (𝜁)𝑑𝜁 −
𝑓 (𝑧)
Δ 𝑧
𝑧+Δ𝑧
𝑧
𝑑𝜁 =
1
Δ 𝑧
𝑧+Δ𝑧
𝑧
[ 𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)]𝑑𝜁
由解析得连续, 因此
∀𝜖 > 0, ∃𝛿(𝜖) > 0, 𝑠.𝑡.0 <
|
Δ 𝑧
|
< 𝛿,
|
𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)
|
< 𝜖
因而由长大不等式
1
Δ 𝑧
𝑧+Δ𝑧
𝑧
[ 𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)]𝑑𝜁
≤
1
|
Δ 𝑧
|
𝜖
|
Δ 𝑧
|
= 𝜖
因而即证导数. 处处导数存在, 因而解析
推论:
若 𝑓 (𝑧) 在单连通区域 𝐷 内解析,𝐻 (𝑧) 的 𝑓 (𝑧) 的任一原函数,𝑧
0
∈ 𝐷, 则 ∀𝑧 ∈ 𝐷, 有
𝐹 (𝑧) ≡
𝑧
𝑧
0
𝑓 (𝜁)𝑑𝜁 = 𝐻 (𝑧)
𝑧
𝑧
0
= 𝐻(𝑧) − 𝐻(𝑧
0
)
称为牛顿-莱布尼茨公式. 使用时需要注意 𝑓 (𝑧) 需要在一个包含积分路径的单联通区域解析
推论 (莫雷拉定理):
若 𝑓 (𝑧) 在区域 𝐷 内连续, 对 𝐷 内任一闭曲线 𝐶 有
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0
则 ∀𝑧
0
∈ 𝐷,𝐹 (𝑧) =
𝑧
𝑧
0
𝑓 (𝜁)𝑑𝜁 在 𝐷 内解析, 有
𝐹
′
(𝑧) = 𝑓 (𝑧)
有条件得到 𝐹 (𝑧) 积分与路径无关, 由原函数得到 𝐹
′
(𝑧) = 𝑓 (𝑧), 并且 𝐹(𝑧) 解析. 由柯西积分公式得
到解析函数 𝐹 (𝑧) 有任意阶导数,𝐹
(𝑛)
(𝑧) 解析, 𝑓
′
(𝑧) 自然解析
4 柯西积分公式
4.1 柯西积分公式
若 𝑓 (𝑧) 在闭路 𝐶 及其所围区域 𝐷 处处解析, 则 ∀𝑧 ∈ 𝐷
𝑓 (𝑧) =
1
2𝜋𝑖
𝐶
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑧
𝑑𝜁
𝜁 = 𝑧 是唯一的奇点, 取小圆 Γ
𝑝
=
|
𝜁 − 𝑧
|
= 𝜌, 全落在 𝐷 内, 得新复闭路
˜
𝐶 = 𝐶 + Γ
𝜌
−
由柯西积分定理得到
𝐶
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑧
𝑑𝜁 +
Γ
−
𝑝
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑧
𝑑𝜁 = 0
于是
𝐶
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑧
𝑑𝜁 =
Γ
𝑝
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑧
𝑑𝜁
利用小圆弧引理
设 𝜌 > 0 充分小, 𝑓 (𝑧) 在 𝐶
𝜌
: 𝑧 = 𝑎 + 𝜌𝑒
𝑖 𝜃
, 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 上连续, 且有
lim
𝑧→𝑎
(𝑧 − 𝑎) 𝑓 (𝑧) = 𝑘
则有
lim
𝜌→0
𝐶
𝜌
𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑖(𝛽 − 𝛼)𝑘
于是得到
lim
𝜌→0
Γ
𝑝
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑧
𝑑𝜁 = 𝑖(2𝜋) lim
𝜁 →𝑧
(𝜁 − 𝑧)
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑧
= 2𝜋𝑖 𝑓 (𝑧)
还可以再有推论
若 𝑔(𝑧), ℎ(𝑧), ℎ(𝑧) ≠ 0, 则 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐶, 𝐴 ≠ 0,
𝑏
𝑎
∈ 𝐷
𝐶
𝑔(𝑧)
ℎ(𝑧)(𝑎𝑧 − 𝑏)
𝑑𝑧 =
𝐶
𝑔(𝑧)
𝑎ℎ(𝑧)(𝑧 −
𝑏
𝑎
)
𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖
𝑔(𝑧)
𝑎ℎ(𝑧)
𝑧=
𝑏
𝑎
= 2𝜋𝑖
𝑔(
𝑏
𝑎
)
𝑎ℎ(
𝑏
𝑎
)
4.2 高阶导数的柯西积分公式
𝑓 (𝑧) 在闭路 𝐶 及其所围区域 𝐷 内处处解析, 则 ∀ 𝑧 ∈ 𝐷, 𝑓 (𝑧) 有任意阶导数, 且
𝑓
(𝑛)
(𝑧) =
𝑛!
2𝜋𝑖
𝐶
𝑓 (𝜁)
(𝜁 − 𝑧)
𝑛+1
𝑑𝜁
𝑛 = 0 时显然成立,𝑛 = 1 时, 由导数定义
𝑓
′
(𝑧) −
1
2𝜋𝑖
𝐶
𝑓 (𝜁)
(𝜁 − 𝑧)
2
𝑑𝜁
=
𝑓 (𝑧 + Δ𝑧) − 𝑓 (𝑧)
Δ 𝑧
−
1
2𝜋𝑖
𝐶
𝑓 (𝜁)
(𝜁 − 𝑧)
2
𝑑𝜁
=
1
Δ 𝑧
1
2𝜋𝑖
𝐶
𝑓 (𝜁)
𝜁 − (𝑧 + Δ𝑧)
𝑑𝜁 −
1
2𝜋𝑖
𝐶
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑧
𝑑𝜁
−
1
2𝜋𝑖
𝐶
𝑓 (𝜁)
(𝜁 − 𝑧)
2
𝑑𝜁
=
1
2𝜋𝑖
𝐶
1
Δ 𝑧
1
𝜁 − 𝑧 − Δ𝑧
−
1
𝜁 − 𝑧
−
1
(𝜁 − 𝑧)
2
𝑓 (𝜁)𝑑𝜁
=
1
2𝜋
𝐶
Δ 𝑧
(𝜁 − 𝑧)
2
(𝜁 − 𝑧 − Δ𝑧)
𝑓 (𝜁)𝑑𝜁
由于
|
𝜁 − 𝑧
|
为非零值,
|
𝑓 (𝜁)
|
有上界, 因此当 Δ𝑧 → 0 时有原式的极限为零. 于是 𝑛 = 1 的公式即证, 由归
纳法可以证明 𝑛 > 1 的情况 (绝对不是我懒得写)
与 1 同样有
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐶, 𝑎 ≠ 0,
𝑏
𝑎
∈ 𝐷
𝐶
𝑓 (𝑧)
(𝑎𝑧 − 𝑏)
𝑚
𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖
𝐶
𝑓 (𝑧)
𝑎
𝑚
(𝑧 −
𝑏
𝑎
)
𝑚
𝑑𝑥 =
2𝜋𝑖
𝑎
𝑚
(𝑚 − 1)!
𝑓
(𝑚−1)
𝑏
𝑎
并且可以得到推论
:解析函数的任意阶导数解析
4.3 无界区域柯西积分公式
设 𝑓 (𝑧) 在闭路 𝐶 及其外区域 𝐷 内解析, 且有
lim
𝑧→∞
𝑓 (𝑧) = 𝐴 ≠ ∞
则有
1
2𝜋𝑖
𝐶
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑎
𝑑𝜁 =
− 𝑓 (𝑎) + 𝐴 , 𝑎 ∈ 𝐷
𝐴 , 𝑎 ∈ 𝐶的内区域
取 𝑀 > 0 使得闭路 𝐶 完全包含在圆周 𝐶
1
:
|
𝜁 − 𝑎
|
= 𝑀 的区域中, 利用大圆弧引理 有
lim
𝑧→∞
(𝑧 − 𝑎)
𝑓 (𝑧)
(𝑧 − 𝑎)
= 𝐴 ⇒ lim
𝑀→+∞
1
2𝜋𝑖
𝐶
1
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑎
𝑑𝜁 = 𝐴
若 𝑎 ∈ 𝐷, 即 𝑎 在中间区域, 则可以由多联通区域的柯西积分公式得到
𝑓 (𝑎) =
1
2𝜋𝑖
𝐶
1
∪𝐶
−
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑎
𝑑𝜁 =
1
2𝜋𝑖
𝐶
1
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑎
𝑑𝜁 −
𝐶
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑎
𝑑𝜁
→ 𝐴 −
𝐶
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑎
𝑑𝜁
于是即证 𝑎 ∈ 𝐷 情形
若 𝑎 在 𝐶 的内区域, 则由多联通区域的柯西积分定理, 在 𝐶
1
∪ 𝐶
−
上的积分为零 (只需要将 𝑓 (𝑎) 换成 0
就好了!)
0 =
1
2𝜋𝑖
𝐶
1
∪𝐶
−
𝑓
(
𝜁
)
𝜁 − 𝑎
𝑑𝜁 =
1
2𝜋𝑖
𝐶
1
𝑓 (𝜁)
𝜁 − 𝑎
𝑑𝜁 −
𝐶
𝑓
(
𝜁
)
𝜁 − 𝑎
𝑑𝜁
→ 𝐴 −
1
2𝜋𝑖
𝐶
𝑓
(
𝜁
)
𝜁 − 𝑎
𝑑𝜁, (𝑀 → ∞)
于是即证 𝑎 ∈ 𝐶 内区域的情形
5 解析函数的性质
5.1 平均值公式
设 𝑓 (𝑧) 在闭圆
|
𝑧 − 𝑎
|
≤ 𝑅 上解析, 则
𝑓 (𝑎) =
1
2𝜋𝑅
|
𝑧−𝑎
|
=𝑅
𝑓 (𝑧)𝑑𝑠 =
1
2𝜋
2 𝜋
0
𝑓 (𝑎 + 𝑅𝑒
𝑖 𝜃
)𝑑𝜃
因为柯西积分公式
𝑓 (𝑎) =
1
2𝜋𝑖
𝐶
𝑓 (𝑧)
𝑧 − 𝑎
𝑑𝑧 =
1
2𝜋𝑖
2 𝜋
0
𝑓 (𝑎 + 𝑅𝑒
𝑖 𝜃
)
𝑅𝑒
𝑖 𝜃
(𝑅𝑒
𝑖 𝜃𝑖
𝑑𝜃) =
1
2𝜋
2 𝜋
𝑓 (𝑎 + 𝑅𝑒
𝑖 𝜃
)
在 𝐶 上,𝑧 = 𝑎 + 𝑅𝑒
𝑖 𝜃
, 则
𝑑𝑠
=
|
𝑑𝑧
|
=
|
𝑧
′
(𝜃)
|
𝑑𝜃 = 𝑅𝑑𝜃
因此
1
2𝜋𝑖
𝐶
𝑓 (𝑧)𝑑𝑠 =
1
2𝜋𝑅
2 𝜋
0
𝑓 (𝑎 + 𝑅𝑒
𝑖 𝜃
𝑅𝑑𝜃) = 𝑓 (𝑎)
5.2 最大模原理
设 𝑓 (𝑧) 在有界区域 𝐷 内解析, 在有界闭域 𝐷 = 𝐷 + 𝐶 上连续, 其中 𝐶 是 𝐷 的边界, 𝑓 (𝑧) 在 𝐷 内不恒等
于常数, 则
|
𝑓 (𝑧)
|
能且只能在边界 𝐶 上取到它在整个闭域 𝐷 = 𝐷 + 𝐶 上的最大值
, 即
∃𝑎 ∈ 𝐶, 𝑠.𝑡.
|
𝑓 (𝑧)
|
= max
|
𝑓 (𝑧)
|
, 且∀𝑧 ∈ 𝐷,
|
𝑓 (𝑧)
|
<
|
𝑓 (𝑎)
|
由 𝑓 (𝑧) 在 𝐷 + 𝐶 上连续, 故
|
𝑓 (𝑧)
|
连续, 故 ∃𝑧
0
∈ 𝐷 + 𝐶, 使得 𝑀 ≡ 𝑚𝑎𝑥
|
𝑓 (𝑧)
|
=
|
𝑓 (𝑧
0
)
|
假设 𝑧
0
∈ 𝐷
因 𝐷 为开集,𝑧
0
∈ 𝐷, ∃𝑅 > 0, 使得圆周
|
𝑧 − 𝑧
0
|
= 𝑅 及其内区域属于 𝐷, 取其同心圆 𝑧 = 𝑧
0
+ 𝑟𝑒
𝑖 𝜃
, 其中
𝑟 ≤ 𝑅, 由平均值公式
𝑀 =
|
𝑓 (𝑧
0
)
|
=
1
2𝜋
2 𝜋
0
𝑓 (𝑧 + 𝑟𝑒
𝑖 𝜃
)𝑑𝜃
≤
1
2𝜋
2 𝜋
0
𝑓 (𝑧
0
+ 𝑟𝑒
𝑖 𝜃
)
𝑑𝜃 ≤
1
2𝜋
2 𝜋
0
𝑀𝑑𝜃 = 𝑀
于是上式中等号成立
1
2𝜋
2 𝜋
0
𝑓 (𝑧
0
+ 𝑟𝑒
𝑖 𝜃
)
𝑑𝜃 =
1
2𝜋
2 𝜋
0
𝑀𝑑𝜃
于是
1
2𝜋
2 𝜋
0
𝑀 −
𝑓 (𝑧
0
+ 𝑟𝑒
𝑖 𝜃
)
𝑑𝜃 = 0
而
𝑀 −
𝑓 (𝑧
0
+ 𝑟𝑒
𝑖 𝜃
)
≥ 0
于是
𝑓 (𝑧
0
+ 𝑟𝑒
𝑖 𝜃
)
= 𝑀
由 𝑟 和 𝜃 的任意性得到恒有
|
𝑓 (𝑧)
|
= 𝑀
因 𝐷 有界联通, 可以用一条在 𝐷 内的连续逐段光滑长度有限的曲线 𝐿 连接 𝑧
0
和 𝑧
记 𝜌 为曲线上的点到边界的最短距离. 作圆周
𝐾
0
:
|
𝑧 − 𝑧
0
|
=
𝜌
2
𝐾
0
与 𝐿 又交点即为 𝑧
1
, 同样再作 𝐾
1
, 依次类推, 则存在最后一个圆 (设为第 𝑛 个), 满足 𝑧 在其内部. 则
由上结论, 在每个圆内都有
|
𝑓 (𝑧)
|
= 𝑀
由 𝑧 的任意性得到
|
𝑓 (𝑧)
|
在 𝐷 内恒等于 𝑀. 因此 𝑓 (𝑧) 在 𝐷 内等于复常数, 矛盾. 故 𝑧
0
∈ 𝐶
5.3 解析函数导数模的估算
5.3.1 柯西不等式
设 𝜁 在 𝐷 内解析,∀𝑧 ∈ 𝐷, 以 𝑧 为圆心任作一个含 𝐷 在内的圆周 𝐶 :
|
𝜁 − 𝑧
|
= 𝑅, 则
𝑓
(𝑛)
(𝑧)
≤
𝑛!𝑀 (𝑅)
𝑅
𝑛
其中 𝑀 (𝑅) 是
|
𝑓 (𝜁)
|
在 𝐶 上的最大值. 先使用柯西积分公式, 再使用长大不等式即证. 特别地有
|
𝑓
′
(𝑧)
|
≤
𝑀 (𝑅)
𝑅
5.4 刘维尔定理
定义整函数为在开复平面 (不含 ∞) 处处解析的函数 (没有奇点)
则有刘维尔定理
若 𝑓 (𝑧) 是整函数, 且
|
𝑓 (𝑧)
|
有界, 则 𝑓 (𝑧) 在整个开复平面内必是常数
证明只需要取 ∀𝑧 ∈ C, ∀𝑅 > 0, 作圆周 𝐶
𝑅
:
|
𝜁 − 𝑧
|
= 𝑅, 假设上界为 𝑀, 则有柯西不等式
|
𝑓
′
(𝑧)
|
≤
1
𝑅
𝑚𝑎𝑥
|
𝑓 (𝜁)
|
≤
𝑀
𝑅
令 𝑅 → ∞, 则得到 𝑓
′
(𝑧) = 0, 那么 𝑓 (𝑧) 为常数
由此有推论: 非恒等于常数的整函数的模在开复平面无界
5.5 代数学基本定理
代数学基本定理: 任意复多项式函数
𝑓 (𝑧) = 𝑎
0
𝑧
𝑛
+ 𝑎
1
𝑧
𝑛−1
+ · · · + 𝑎
𝑛−1
𝑧 + 𝑎
𝑛
必有 𝑛 个零点. 先证明有根: 采用反证法, 假设无根, 则
𝜑(𝑧) =
1
𝑓 (𝑧)
解析且有界, 那么 𝜑(𝑧) 为常数, 显然不对. 于是得到 𝑓 (𝑧) 有零点, 假设为 𝑧
0
, 于是
𝑓 (𝑧) = 𝑎
0
(𝑧 − 𝑧
0
)𝑔(𝑧)
其中 𝑔(𝑧) 是 𝑛 − 1 次多项式. 依次递归下去, 就可以即证
