1 唯一性定理
唯一性定理如下
若 𝑓 (𝑧) 及 𝑔(𝑧) 在区域 𝐷 解析, 若它们在 𝐷 区域一串互不相同的点列 𝛼
1
, · · · , 𝛼
𝑘
, · · · 上值相等, 即
∃𝛼
𝑘
∈ 𝐷, 且 𝑗 ≠ 𝑘时𝛼
𝑘
≠ 𝛼
𝑗
, 𝑠. 𝑡. 𝑓 (𝛼
𝑘
) = 𝑔(𝛼
𝑘
)
并且有
lim
𝑘→+∞
𝛼
𝑘
= 𝑎, 𝑎 ∈ 𝐷
则 𝑓 (𝑧) 与 𝑔(𝑧) 恒等
𝑓 (𝑧) ≡ 𝑔(𝑧)
证明只需令 𝐹 (𝑧) = 𝑓 (𝑧) − 𝑔(𝑧), 则 𝐹 (𝑧) 在 𝐷 解析, 从而在 𝑎 连续. 对 𝑘 ∈ Z
+
,
𝐹 (𝛼
𝑘
) = 𝑓 (𝛼
𝑘
) − 𝑔(𝛼
𝑘
) = 0
由于 𝑎 = lim
𝑘→+∞
𝛼
𝑘
, 故
𝐹 (𝑎) = lim
𝑘→+∞
𝐹 (𝛼
𝑘
) = 0
故 𝑎 是 𝐹(𝑧) 非孤立的零点, 在某个邻域里 𝐹 恒等于零. 可以利用 圆链法 证明在 𝐷 内 𝐹 恒等于零, 该方
法使用了圆域内的幂级数展开
有如下推论
若 𝑓 (𝑧) 及 𝑔(𝑧) 在区域 𝐷 内都解析, 在 𝐷 内某一段长度大于 0 的曲线 𝑙 上有
𝑓 (𝑧) = 𝑔(𝑧)
则在 𝐷 内有
𝑓 (𝑧) ≡ 𝑔(𝑧)
更贴别地, 取 𝐷 为全平面,𝑙 为实轴, 得到
𝑓 (𝑧), 𝑔(𝑧) 在全平面解析,𝑧 = 𝑥 ∈ ℝ 时 𝑓 (𝑥) ≡ 𝑔(𝑥), 则全平面有
𝑓 (𝑧) ≡ 𝑔(𝑧)
因此,实的三角函数公式, 双曲函数公式可以推广到在复平面上成立
2 解析开拓
2.1 解析开拓
设 𝑓 (𝑧) 是定义在非空集合 𝐸 上的函数,𝐸 是 𝐷 的真子集. 若存在 𝐷 上解析的函数 𝐹 (𝑧), 使得在 𝐸
内 𝐹 (𝑧) = 𝑓 (𝑧), 则称 𝐹 (𝑧) 是 𝑓 (𝑧) 在 𝐷 内的解析开拓
如 𝑒
𝑧
= 𝑒
𝑥
(cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑦), cos 𝑧 =
𝑒
𝑖𝑧+𝑒
−𝑖 𝑧
2
, sin 𝑧 =
𝑒
𝑖𝑧
−𝑒
−𝑖 𝑧
2𝑖
分别是实函数 𝑒
𝑥
, cos 𝑥, sin 𝑥 在全平面的唯一解
析开拓,
1
1−𝑧
是
0
+∞
𝑧
𝑛
在
|
𝑧 − 1
|
> 0 的唯一解析开拓
若在区域 𝐷
1
, 𝐷
2
内有解析函数 𝑓
1
, 𝑓
2
, 并且 𝐷
1
𝐷
2
有非空交集 𝐷,𝐷 内有
𝑓
1
= 𝑓
2
则称 𝑓
1
(𝑧) 与 𝑓
2
(𝑧) 互为直接解析开拓. 由唯一性定理知 直接解析开拓是唯一的
若定义
𝑓 (𝑧) =
𝑓
1
(𝑧), 𝑧 ∈ 𝐷
1
𝑓
2
(𝑧), 𝑧 ∈ 𝐷
2
则 𝑓 (𝑧) 在 𝐷
1
∪ 𝐷
2
内解析, 称 𝑓 (𝑧) 是 𝑓
1
(𝑧) 或 𝑓
2
(𝑧) 在 𝐷
1
∪ 𝐷
2
内的解析开拓
2.2 幂级数解析开拓法
设 𝑓 (𝑧) 是区域 𝐷 内的解析函数,∀𝑧
0
∈ 𝐷, 可以将 𝑓 (𝑧) 在 𝑧
0
展开为幂级数
𝑓 (𝑧) =
𝑛=0
+∞
𝑎
𝑛
(𝑧 − 𝑧
0
)
𝑛
, 𝑎
𝑛
=
𝑓
(𝑛)
(𝑧
0
)
𝑛!
若其收敛圆延伸到 𝐷 外, 𝑓 (𝑧) 就被解析开拓到 𝐷 外了. 在 𝐷 内不同的点将 𝑓 (𝑧) 幂级数展开, 就能将 𝑓 (𝑧)
解析开拓到不同的地方
