初等函数

目录

1 单叶函数 3

2 多值函数 3

2.1 辐角变化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 支点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 支割线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 单值解析分支 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 幂函数 (整数次幂) 4

3.1 可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.1 可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.2 单叶性区域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6 对数函数 7

6.1 对数函数的支点与支割线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1

6.2 对数函数的可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7 三角函数和双曲函数 8

7.1 可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7.2 周期性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7.3 零点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 单叶函数

若 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 是区域 𝐷 内的一一解析映照, 则称 𝑓 (𝑧 ) 是 𝐷 内的单叶函数, 称 𝐷 为单叶性区域

𝑤 = 𝑓 (𝑧) 在 𝐷 内为一一映照即

不存在两个不同的 𝑧

1

, 𝑧

2

2 多值函数

2.1 辐角变化

设 𝑙 为连续曲线, 起点为 𝑎, 终点为 𝑏, 选定 𝑎 的一个辐角值, 当 𝑧 沿 𝑙 连续地从 𝑎 向 𝑏 运动时,arg 𝑧 从

2.2 支点

设 𝑤 = 𝑓 (𝑧) 是多值函数, 在点 𝑧 = 𝑎 充分小邻域内, 作一条包围该点 𝑎 的简单闭曲线 𝐶. 若 𝑧 从 𝐶 上某点

出发, 沿 𝐶 逆时针连续转一圈回到出发点时函数 𝑓 (𝑧) 从一值变到另一个不同的值, 称 𝑎 时 𝑓 (𝑧) 的支点

特别地称

∀𝑅 > 0,

𝑧

|

先对 𝐺 内某一点 𝑧

0

, 从 𝑓 (𝑧

0

𝑓 (𝑧

0

)

)

, 对 𝐺 内其他任一点 𝑧, 用 𝐺 内一条简

单曲线 𝑙 连接 𝑧 和 𝑧

0

)

)

连续变化到唯一的值, 记为

(

𝑓 (𝑧)

)

, 这样确定的单值函数

(

𝑓 (𝑧)

规定 0

为幂函数

3.1 可微性

𝑤 = 𝑧

在复平面处处连续可微, 处处解析, 且由二项式定理有

(𝑧

)

= 𝑛𝑧

3.2 单叶性

𝑤 = 𝑧

是单值函数, 但不是全平面一一映照. 每一个像对应着 𝑛 个不同的原像, 它们均匀地分布在一个圆

𝑛

此外, 对于每一个角域

𝑛

(2𝑘 + 1)𝜋

𝑛

都被单叶映照为了

都是 𝑧

4 根式函数

√

√

∞ = ∞

若 𝑧 ≠ 0, ∞ 时, 定义

𝑤 =

√

𝑧 =

𝑧

+𝑖 sin

𝑧

𝑒

当 𝑧 ≠ 0 时,𝑤 =

|

𝑧

|

是 𝑛 值函数

4.1 根式函数的支点和支割线

显然 0 是 𝑤 =

√

√

√

除了 0 和 ∞ 以外,𝑤 =

√

𝑧 没有其他支点

因此任意一条从原点出发的射线均可作为其支割线, 如正负实轴或上下半虚轴

4.2 根式函数的单值连续分支

若选取负实轴为支割线, 在沿负实轴割开的 𝑧 复平面内,𝑤 =

𝑧 有 𝑛 个单值连续分支

因此 𝑤 =

有无穷多单值连续分支

𝑤

= (𝐿𝑛𝑧)

|

𝑧

|

+𝑖(arg 𝑧 + 2𝑘𝜋), 𝑘 ∈ Z

6.2 对数函数的可微性

由反函数理论, 在沿支割线割开的复平面内 𝐿𝑛𝑧 的每一个单值连续分支解析

𝑑(𝐿𝑛𝑧)

7 三角函数和双曲函数

由欧拉公式可以定义三角函数

+ 𝑒

, sin 𝑧 ≡

𝑒

三角函数与双曲函数有如下关系

7.1 可微性

由指数函数性质可以推得三角函数和双曲函数在全平面处处解析, 且有与实数相同的导函数

(cos 𝑧)

= −sin 𝑧, (sin 𝑧)

(cosh 𝑧)

7.2 周期性

𝜋

, 𝑛 ∈ Z

𝜋

2

) = sin 𝑧

2

± cos 𝑧

2

1

∓ sin 𝑧

1

对于双曲函数也有类似性质

1

1

2

2

𝑛𝜋 , 𝑛𝜋 +

, 𝑛 ∈ Z

奇点外它们解析, 并且与实数相同有

𝑧

, (tan 𝑧)

=